第04讲 用一元二次方程解决问题（2大考点8题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第04讲 用一元二次方程解决问题 课程标准 学习目标 1 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程； 2 会用一元二次方程解决实际问题中的销售、增长率、面积等问题； 3 体会方程模型的作用，增强应用意识. 1. 熟练掌握用一元二次方程解决问题的方法； 2. 提高运用方程解决实际问题的能力； 3. 培养数学建模和分析问题的能力. 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 题型01 变化率问题 1．据悉，尽管巴以冲突带来的地缘风险加深了市场对原油供应短缺的担忧，参考原油变化率仍处于负值区间．2023年10月24日，新一轮成品油调价窗口开启，零售限价或遇“二连跌”，若92#汽油连续两次降价a%后售价由8.1元降低至7.8元，下列所列方程正确的是（　　） A．8.1（1+a%）2＝7.8 B．8.1（1﹣a%）2＝7.8 C．7.8（1+a%）2＝8.1 D．8.1（1﹣a2%）＝7.8 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：8.1（1﹣a%）2＝7.8， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4月11日当天的营业额是21万元，4月13日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 　 　． 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），用x表示4月 13 日的营业额即可得解． 【解答】解：依题意得4月 13 日的营业额21（1+x）2， ∴21（1+x）2＝80． 故答案为：21（1+x）2＝80． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键． 3．某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 　 ． 【分析】设年平均增长率是x，利用该乡镇2023年旅游总收入＝该乡镇2021年旅游总收入×（1+年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设年平均增长率是x， 根据题意得：50（1+x）2＝60.5， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率． 【分析】设该品牌头盔月销售量的平均增长率为x，根据题意列一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该品牌头盔月销售量的平均增长率为x， 依题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔月销售量的平均增长率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 题型02 传染问题 1．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（　　） A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81 【分析】根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有196名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（x+1）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 　　人． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x（2+2x）被传染，根据“有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x（2+2x）被传染， 根据题意得：2+2x+x（2+2x）＝50， 整理得：（1+x）2＝25， 解得：x1＝4，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是4人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题． 【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）＝121， ∴x＝10或x＝﹣12（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人． 【点评】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 题型03 握手问题 1．毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【分析】设这次参加聚会的同学有x人，利用握手的总次数＝这次参加聚会的同学人数×（这次参加聚会的同学人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝780， 整理得：x2﹣x﹣1560＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程． 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）； 依题意，可列方程为：10． 故选：A． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 3．在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为4，共握手 　　次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手 　　次； （2）若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； （3）嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有m个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出 　 　张照片． 【分析】（1）根据握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可求出结论，论结合参会人数为n，即可得出结论； （2）由（1）的结论结合共握手45次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）由每两个人之间互送一张照片可得出每个同学需送出（m﹣1）张照片，再乘人数即可求出结论． 【解答】解：（1）参加聚会的人数为4，则共握手4×3＝6（次）； 参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次． 故答案为：6，n（n﹣1）； （2）设有x 人参加聚会，根据题意得， x（x﹣1）＝45， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得m（m﹣1）（张）． 答：共送出m（m﹣1）张照片， 故答案为：m（m﹣1）． 【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． 题型04 单循环比赛 1．一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍支数×（参赛队伍支数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝15． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 　． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛班级数×（参赛班级数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：28． 故答案为：28． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 【分析】设八年级有x个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：设八年级有x个班， ， ， x2﹣x﹣30＝0， （x﹣6）（x+5）＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣5（舍）， 则八年级有6个班． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型05 双循环比赛 1．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝380 C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝380． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 　 　． 【分析】设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝90， 化成一般形式是x2﹣x﹣90＝0． 故答案为：x2﹣x﹣90＝0． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 3．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【分析】设共有x支球队参加比赛，根据每两个队之间按主客场共要进行两场比赛，且共要进行240场比赛，可得x（x﹣1）＝240；解一元二次方程，求得x值，结合实际确定答案即可． 【解答】设共有几支球队参加比赛，根据题意得： x（x﹣1）＝240， 解得x＝16或x＝﹣15（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系列方程是解答的关键． 4．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 【分析】（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，根据“一共组织30场比赛”列出方程并解答； （2）根据计分规则计算总积分． 【解答】解：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛， 依题意得，x（x﹣1）＝30， 解方程得，x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， （2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16， 答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 题型06 面积问题 1．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝864 【分析】根据长与宽之间的关系，可得出宽为（x﹣12）步，结合矩形面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵宽比长少12步，且长为x步， ∴宽为（x﹣12）步． 根据题意得：x（x﹣12）＝864 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　　m． 【分析】设道路的宽为x m，则剩余空地可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形，根据种植花苗的面积为522m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设道路的宽为x m，则剩余空地可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522， 整理得：x2﹣40x+39＝0， 解得：x1＝1，x2＝39（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为1m． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　　． 【分析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为80m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m， 根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意． 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m， 根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”． 题型07 市场营销问题 1．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 【分析】当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50]台，利用总利润＝每台的销售利润×月销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50]台， 根据题意得：（x﹣80）[50]＝2500． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【分析】设每件售价应定为x元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设每件售价应定为x元， 根据题意得：（x﹣40）[20+2（60﹣x）]＝（60﹣40）×20， 解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）， 即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 　 　． 【分析】利润＝售价﹣进价，由每降价1元，每天可多卖出5件，可知每件售价降低x元，每天可多卖出5x件，从而列出方程即可． 【解答】解：原来售价为每件50元，进价为每件25元，利润为每件25元，又每件售价降价x元后，利润为每件（25﹣x）元． 每降价1元，每星期可多卖出5件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出5x件，现在的销量为（100+5x）． 根据题意得：（25﹣x）×（100+5x）＝1500， 故答案为：（25﹣x）×（100+5x）＝1500． 【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 4．某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合两批衬衫购进的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出； （2）设定价为a元，根据后一批衬衫每天的销售利润为3000元，即可得出关于a的一元二次方程的解法，一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为（x+10）元， 依题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意． 答：原来衬衫每件进价为50元． （2）设定价为a元，根据题意得 （a﹣60）[50+5（100﹣a）]＝3000． 整理得a2﹣170a+7200＝0， 解得a1＝80，a2＝90， ∵为了尽可能让利给顾客， ∴a＝80， 答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． 题型08 动态几何问题 1．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝10cm，AD＝4cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t s．当PQ＝5cm时，t的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝4cm，当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，CQ＝tcm，QE＝|10﹣2t﹣t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝4cm，如图所示． 当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，CQ＝tcm，QE＝|10﹣2t﹣t|， 依题意得：PQ2＝PE2+QE2， 即52＝42+|10﹣2t﹣t|2， 解得：，． ∴当PQ＝5cm时，t的值为秒或秒， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【分析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQCQ•CP， ∴42t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了　 秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2． 【分析】设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类讨论当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【解答】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2， 当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动， PB＝6﹣x，BQ＝2x， 所以S△PBQPB•BQ2x×（6﹣x）＝8， 解得x＝2或4， 又知x＜3， 故x＝2符合题意， 当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动， S△PBQ（6﹣x）×6＝8， 解得x． 故答案为：2或． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般． 4．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 1．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【分析】如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据第二季度共生产零件182万个可得出方程． 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 2．电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）＝7 B．4（1+x）2＝7 C．4+4（1+x）2＝7 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝7 【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约为4（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约为2（1+x）2亿元， 依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2，问道路应为多宽？若设道路宽为x m，则下列方程正确的是（　　） A．40×60﹣40×2x﹣60x＝2024 B．40×60﹣（40﹣x）（60﹣2x）＝2024 C．（40﹣x）（60﹣2x）＝2024 D．40×60﹣40×2x﹣60x﹣2x2＝2024 【分析】设道路宽x m，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为2024m2，列方程即可． 【解答】解：由题意得，（40﹣x）（60﹣2x）＝2024． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【分析】首先根据2月份售价为23万元，月平均降价率是x可得出3月份的售价为23（1﹣x）万元，4月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据4月份售价为18.63万元可列出方程，进而可得出答案． 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村BA”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村BA”大赛总冠军．某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15 C． D． 【分析】利用比赛的总场数＝参加比赛的班级球队数×（参加比赛的班级球队数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．如图，一农户要建一个80m2的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为x m，则根据题意列方程为 　x（26﹣2x）＝80　． 【分析】根据各边之间的关系，可得出猪舍平行于墙的边为（26﹣2x）m，根据猪舍面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵另外三边用25m长的建筑材料围成，且猪舍垂直于墙的边为x m， ∴猪舍平行于墙的边为25+1﹣2x＝（26﹣2x）（m）， 又∵猪舍面积为80m2， ∴x（26﹣2x）＝80． 故答案为：x（26﹣2x）＝80． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　10%　． 【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x， 根据题意得：40（1+x）2＝48.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为ts（t＞0）．在这个运动过程中，四边形APQD的面积等于29cm2时，此时t的值是 　3或　． 【分析】分0＜t≤4，4＜t≤5及5＜t三种情况考虑：当0＜t≤4时，连接AQ，DQ，此时AP＝t cm，BQ＝2t cm，由四边形APQD的面积等于29cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值；当4＜t≤5时，AP＝t cm，DQ＝（8+5﹣2t）cm，由四边形APQD的面积等于29cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值（该值不符合题意）；当5＜t时，AP＝5cm，AQ＝（8+5﹣2t）cm，由四边形APQD的面积等于29cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值． 【解答】解：5÷1＝5（秒），8÷2＝4（秒），（5+8）÷2（秒）. 当0＜t≤4时，连接AQ，DQ，此时AP＝t cm，BQ＝2t cm，如图1所示． 依题意得：AP•BQAD•AB＝29， 即t•2t8×5＝29， 解得：t1＝3，t2＝﹣3（不合题意，舍去）； 当4＜t≤5时，AP＝t cm，DQ＝（8+5﹣2t）cm，如图2所示． 依题意得：AD•（AP+DQ）＝29， 即8（t+8+5﹣2t）＝29， 解得：t（不合题意，舍去）； 当5＜t时，AP＝5cm，AQ＝（8+5﹣2t）cm，如图3所示． 依题意得：AD•（AP+DQ）＝29， 即8（5+8+5﹣2t）＝29， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键． 9．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　50　元． 【分析】设售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解，结合“从消费者的角度考虑”取舍后可得． 【解答】解：设售价为x元， 根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000， 解得：x＝50或x＝80， 从消费者的角度考虑， x＝80舍去， 答：这种台灯的售价应定为50元． 故答案为：50． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 10．我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　10　个班级篮球队参加． 【分析】设共有x个班级球队参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛， 根据题意得：45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 即（x﹣10）（x+9）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）， 则共有10个班级球队参加比赛， 故答案为：10． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排45场比赛”． 11．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数＝该景区6月份游客人数×（1+这两个月中该景区游客人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：2.225+9y≤2.5×（1+25%）， 解得：y≤0.1， ∴y的最大值为0.1． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 12．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？ 【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可； （2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50）， 将（60，600），（80，400）代入，得： ， 解得：， ∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200； （2）由题意得： 10000＝（﹣10x+1200）（x﹣50）， 解得x＝70或100， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%， ∴x≤50×（1+50%），即x≤75， ∴x＝70， ∴售价定为70元可获得利润是10000元． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 13．梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【分析】设彩色纸带的宽为x cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以． 【解答】解：设彩色纸带的宽为x cm， 根据题意，得90•2x+5x•（30﹣2x）＝90×30﹣520×4， 整理，得x2﹣33x+62＝0． 解方程，得x1＝2，x2＝31（不合题意，舍去）． 答：彩色纸带的宽为2cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的运用．关键解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 14．某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率． （1）这是一个增长率问题，可设所求增长率为x，依题意填写下列表格： 亩产量（千克） 出油率（%） 出油量（千克） 原来 200 50 200×50 现在 132 （2）求新品种花生亩产量的增长率． 【分析】（1）增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）． （2）每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x）•50%（1x），依此即可列方程求解． 【解答】解：（1）花生的现在亩产量200（1+x），花生的现在出油率50%（1x）； （2）设新品种花生亩产量的增长率为x． 200（1+x）×50%（1x）＝132 x1，x2（舍去）． x20%． 故新品种花生亩产量的增长率为20%． 【点评】本题考查的是增长率问题，首先表示新植花生的亩产量，再表示出出油率增长后出的油，然后列方程求解． 15．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【解答】解：如图， ①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②当面积等于5时，•（6﹣t）•t＝5． t2﹣6t+10＝0． ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 所以△PBQ的面积不能等于5cm2， 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 16．为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下： 活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【分析】判断得到这次春游活动的人数超过24人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：∵24人的费用为2880元＜3520元， ∴参加这次春游活动的人数超过24人， 设该班参加这次春游活动的人数为x名． 根据题意，得[120﹣2（x﹣24）]x＝3520， 整理，得x2﹣84x+1760＝0， 解得：x1＝44，x2＝40， x1＝44时，120﹣2（x﹣24）＝80＜85，不合题意，舍去； x2＝40时，120﹣2（x﹣24）＝88＞85． 答：该班共有40人参加这次春游活动． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键，解题时候一定注意首先判断人数是否超过24人，难度不大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 用一元二次方程解决问题 课程标准 学习目标 1 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程； 2 会用一元二次方程解决实际问题中的销售、增长率、面积等问题； 3 体会方程模型的作用，增强应用意识. 1. 熟练掌握用一元二次方程解决问题的方法； 2. 提高运用方程解决实际问题的能力； 3. 培养数学建模和分析问题的能力. 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 题型01 变化率问题 1．据悉，尽管巴以冲突带来的地缘风险加深了市场对原油供应短缺的担忧，参考原油变化率仍处于负值区间．2023年10月24日，新一轮成品油调价窗口开启，零售限价或遇“二连跌”，若92#汽油连续两次降价a%后售价由8.1元降低至7.8元，下列所列方程正确的是（　　） A．8.1（1+a%）2＝7.8 B．8.1（1﹣a%）2＝7.8 C．7.8（1+a%）2＝8.1 D．8.1（1﹣a2%）＝7.8 2．4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4月11日当天的营业额是21万元，4月13日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 　 　． 3．某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 　 ． 4．“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率． 题型02 传染问题 1．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（　　） A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81 2．有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 　　人． 3．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 题型03 握手问题 1．毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 2．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 3．在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为4，共握手 　　次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手 　　次； （2）若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； （3）嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有m个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出 　 　张照片． 题型04 单循环比赛 1．一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D． 2．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 　． 3．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 题型05 双循环比赛 1．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝380 C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380 2．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 　 　． 3．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 4．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 题型06 面积问题 1．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝864 2．如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　　m． 3．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　　． 4．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 题型07 市场营销问题 1．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 2．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 3．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 　 　． 4．某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 题型08 动态几何问题 1．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝10cm，AD＝4cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t s．当PQ＝5cm时，t的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 3．如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了　 秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2． 4．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 1．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 2．电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）＝7 B．4（1+x）2＝7 C．4+4（1+x）2＝7 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝7 3．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2，问道路应为多宽？若设道路宽为x m，则下列方程正确的是（　　） A．40×60﹣40×2x﹣60x＝2024 B．40×60﹣（40﹣x）（60﹣2x）＝2024 C．（40﹣x）（60﹣2x）＝2024 D．40×60﹣40×2x﹣60x﹣2x2＝2024 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 5．2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村BA”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村BA”大赛总冠军．某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15 C． D． 6．如图，一农户要建一个80m2的矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设垂直于住房墙的一边长度为x m，则根据题意列方程为 　 　． 7．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　 　． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为ts（t＞0）．在这个运动过程中，四边形APQD的面积等于29cm2时，此时t的值是 　 　． 9．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元． 10．我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　 　个班级篮球队参加． 11．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 12．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？ 13．梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 14．某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率． （1）这是一个增长率问题，可设所求增长率为x，依题意填写下列表格： 亩产量（千克） 出油率（%） 出油量（千克） 原来 200 50 200×50 现在 132 （2）求新品种花生亩产量的增长率． 15．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 16．为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下： 活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$