暑假作业11 平行线的8种综合问题【暑假分层作业】-2024年七年级数学暑假培优练（人教版）

作业11 平行线的8种综合问题精练 题型一：常规综合问题 1．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 2．如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 3．动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 4．已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 题型二：平行线背景下的直角三角板问题 5．感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 6．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 7．综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 8．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 题型三：平行线背景下的图形旋转问题 9．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 10．如图①，，，点E为上在点C的右侧的一动点，作交于点F，平分交于点G，设． (1)求证：； (2)如图②，作平分交于点H，交于点M，当时，求x的值； (3)如图③，在（2）的条件下，将绕着点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转得到，设时间为t秒，．求的某条边与平行时的时间t的值． 11．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； (3)如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 12．直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示) 13．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在 ，上，平分交 于点 ，为点右侧的直线 上一点， 平分 交 于点 ． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至 的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 题型四：平行线背景下的图形平移问题 14．如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 15．如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 16．如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．    (1)求证． (2)若，求的度数． (3)如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系． 17．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．        (1)求证：； (2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分． ①若，，求的大小； ②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系． 题型五：平行线背景下的实际应用问题 18．如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． （1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为 ； （2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为 （填序号）． ①；②；③；④． 19．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，），小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体（如图2），镜子与之间的角度为，他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． (1)小明发现当，入射光线与反射光线的是平行的，请说明理由； (2)小明继续改变，的大小，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角，大小； (3)小明拿来了一块新的镜子和前面两块镜子和组成一个新的镜子组合体（如图4），其中，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小颖发现当入射光线和镜面的夹角和镜子和形成的角，满足一定数量关系时，入射光线和反射光线始终平行（即），设，请你直接写出此时x和y之间满足的关系式． 题型六：平行线背景下的实际应用问题 20．一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______________（用含的代数式表示）； ②作，请求出与的数量关系． 21．如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 题型七：平行线背景下的补全图形问题 22．如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接． (1)过点B作，交射线于点D，依题意补全图形， ①直接写出的度数（用含α的式子表示）； ②若点E，F在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含α的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点D作交射线于点H，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数． (2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点E，F在，的延长线上，并且直线，当点D在上运动时，直接用含α的等式表示，，的数量关系． 题型八：平面直角坐标系中平行线综合题 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)则______，______； (2)在x轴上是否存在点P，使得和的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由； (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，图3，求的度数． 25．在平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出、两点的坐标； (2)如图，将平移至，点对应点为，点对应点为，点B对应点为D，若E点坐标为．求的面积； (3)如图，在（2）中，若，分别与轴交于点，，点是轴上的一个动点． ①当点在线段不含端点上运动时，证明：； ②当点在轴上线段之外运动时，请直接写出，，，之间的等量关系． 26．如图1，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中满足，点在线段上． (1)求，两点的坐标； (2)将平移到，点对应点，点对应点，若，求，，的值； (3)如图2，若点，也在坐标轴上，为线段上一动点（不包含点，点），连接，平分，，试探究与的数量关系． 试卷第4页，共59页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业11 平行线的8种综合问题精练 题型一：常规综合问题 1．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：如图，过G作 ∴ ∵ ∴     ∴ ∴     即 ∵ ∴； （2）解：如图，过G作，过P作 ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴     ∴ ∵ ∴ （3）解：如图，过E作，过G作． ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴     ∵ ∴ 解得 ∴ 2．如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)不变，见解析 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 3．动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点P做，， ， ， ，， ， 即， ，， ； 故答案为：． （2） 如图，过点P做， ，， ， ， （3） 过点P做，过点K做， 则， ，，，， ， ∵平分，垂直于，平分， ∴，，，， ， , ． 4．已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）知，，    过K作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 即． （3）解：如图，过M作，过K作，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 题型二：平行线背景下的直角三角板问题 5．感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3） 【详解】（1）证明：过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）可知， ，且， ∴， ∴； （3）如图，令，，则， 由（1）得：， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1)(2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 7．综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2），理由如下， 过点作，    ∵， ∴ ∴，， ∴ 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， （3）解：如图所示，当时，则    ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，延长交于点，过点作    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 当时如图所示，    此时旋转度数大于，不合题意 综上所述，或 8．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1)(2)(3)存在，射线与相交所夹锐角的度数为或 【详解】（1）解：，， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ； 故答案为：； （2）解：过点作，如图1所示： 依题意得：，， ，， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （邻补角概念）； （3）解：存在，射线与相交所夹锐角的度数为或． 分两种情况讨论如下： ①当点在上方时，设交于点，如图2所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）； ②当点在下方时，延长交于点，如图3所示： 依题意得：， 设，则， ， （邻补角概念）， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 题型三：平行线背景下的图形旋转问题 9．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 【答案】5秒或95秒 【详解】解：，， ，， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图②，旋转到与都在的右侧， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图③，旋转到与都在的左侧， ，， 要使， 则，即， 解得：， 此时， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为秒或秒时，． 故答案为：秒或秒． 10．如图①，，，点E为上在点C的右侧的一动点，作交于点F，平分交于点G，设． (1)求证：； (2)如图②，作平分交于点H，交于点M，当时，求x的值； (3)如图③，在（2）的条件下，将绕着点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转得到，设时间为t秒，．求的某条边与平行时的时间t的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)或5.6 【详解】（1）， ，， ， ， ，， 平分， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ； （3）由上题可知：， ， ， 由题意得：， ， ， ∴当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上，或5.6． 11．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； (3)如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3)的值为，，秒 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示 由和的角平分线交于点， 设，，、交于点， ， 由（1）得，即：， ，即：， 又，即：， ， （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 当旋转到在射线上时，有， 此时，， 解得（秒）    当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴ 此时，， 解得（秒）；    当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴， 此时，， 解得（秒）    当继续旋转到与重合之后，不存在与的一边互相平行的情况， 故的值为，，秒． 12．直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示) 【答案】(1)，理由见解析(2)(3) 【详解】（1），理由如下： 过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得， ∴， ∴； （3）∵平分，平分 ∴，， 设，，则，， ∴ ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， 故答案为：． 13．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在 ，上，平分交 于点 ，为点右侧的直线 上一点， 平分 交 于点 ． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至 的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 【答案】（1）①， ；②；（2） 【详解】解：（1）① ， 平分， ， ．． 又 平分， ②平分， 平分． ， 设， ； ，则 ， （）①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ， 与互相垂直时， 解得： ②如图所示，当返回时， 解得： ③当第次从出发，与垂直时，如图所示， 解得： 综上所述， 时，与互相垂直 题型四：平行线背景下的图形平移问题 14．如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③或或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或 15．如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2) (3)①②③ 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ∵平分 ， ． （3）解：①， ， 平分， ， ∵平分 ， ． ②， ， 平分， ， ∵平分 ， ∵平分 ． ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．    (1)求证． (2)若，求的度数． (3)如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析(2) (3)或 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）如图，过作，而， ∴，    ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）如图，当在的右边时，由（2）得：， ∴，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 如图，当在的左边时，由（2）得：， ∴，    ∵的平分线交直线于点H． ∴， ∴， ∴． 17．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．        (1)求证：； (2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分． ①若，，求的大小； ②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：，， ，     . （2）解：①平分，平分， 设，     过点H作，如图，    ， ∵， ， ，      过点G作， ， ，， ， .     ， ， 解得： ，        .            ②     过点H作，过点G作，过点N作， 设，， 由①得： ∴， ∴， ∴， . 题型五：平行线背景下的实际应用问题 18．如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． （1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为 ； （2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】 ①③④ 【详解】（1）过点作，过点作， ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）解：①当调节角的调节范围在时， 由（1）图可得， ， ， ②当调节角的调节范围在时， ， ， 可能取到的度数为：①③④， 故答案为：①③④． 19．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，），小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体（如图2），镜子与之间的角度为，他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． (1)小明发现当，入射光线与反射光线的是平行的，请说明理由； (2)小明继续改变，的大小，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角，大小； (3)小明拿来了一块新的镜子和前面两块镜子和组成一个新的镜子组合体（如图4），其中，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小颖发现当入射光线和镜面的夹角和镜子和形成的角，满足一定数量关系时，入射光线和反射光线始终平行（即），设，请你直接写出此时x和y之间满足的关系式． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【详解】（1）， 理由如下：在中，．． ， ， ． （2）在中， ， 在中， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， 作 ． 题型六：平行线背景下的实际应用问题 20．一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______________（用含的代数式表示）； ②作，请求出与的数量关系． 【答案】(1)20(2)(3)①或；②或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵灯转动的速度是/秒， ∴灯射线经过秒，第一次照射到灯； （2）解：如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ∴， ∴； 如图所示，当时， 同理可得； 综上所述，或， 故答案为：或； ②如图所示，当时， 由（3）①得， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， 由（3）①得， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 21．如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)①见解析；②50(3)或；证明见解析 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图1， ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ 解得； 故答案为：50； （3）α和β之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）得， 当点G在点F的左侧时，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 题型七：平行线背景下的补全图形问题 22．如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接． (1)过点B作，交射线于点D，依题意补全图形， ①直接写出的度数（用含α的式子表示）； ②若点E，F在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含α的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点D作交射线于点H，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数． (2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点E，F在，的延长线上，并且直线，当点D在上运动时，直接用含α的等式表示，，的数量关系． 【答案】(1)①；②(2)或 【详解】（1）解：如图，过点作，交射线于点． ①， ． ②∵， ． 又平分， ， ． （2）解：当点在（不含点、上时：过点作，交于点，连接、． ∵， ， ， ， ， ∵， ， ； 当点在（不含点上时：过点作，交于点，连接、． ∵， ， ∵， ， ， ， ； 当点在的延长线上时：过点作，交于点，连接、． ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ， ， ． 综上，，，的数量关系为或． 题型八：平面直角坐标系中平行线综合题 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 【答案】(1)0，2；5，2(2)存在，(3)不会改变， 【详解】（1）如图1，点向上移2个单位，向右平移a个单位得到， 则，， 此时C点坐标为， 同时上平移2个单位右平移2个单位得D点， 则D点坐标为， 故答案为：； （2）存在． 如图1，∵Q为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵P点在线段上， ∴设， ∵， ∴． ∴， 解得； 此时符合题意． （3）在转动过程中，的值不会改变．如图2， ∵， ∴， ∵射线以速度绕点A顺时针旋转至停止， ∴， 即， ∵射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为， ∴此时，， 同时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，为定值． 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)则______，______； (2)在x轴上是否存在点P，使得和的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由； (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，图3，求的度数． 【答案】(1)，4(2)或(3) 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：设， 由（1）知：， ， ∵和的面积相等，， ∴， 解得， ∴P的坐标为或； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 25．在平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出、两点的坐标； (2)如图，将平移至，点对应点为，点对应点为，点B对应点为D，若E点坐标为．求的面积； (3)如图，在（2）中，若，分别与轴交于点，，点是轴上的一个动点． ①当点在线段不含端点上运动时，证明：； ②当点在轴上线段之外运动时，请直接写出，，，之间的等量关系． 【答案】(1)；(2)的面积是；(3)证明见解析；当点在点以上的轴上时，；当点在线段上时，；当点在线段上时，；当点在点以下的轴上时，． 【详解】（1）解： （2）解：如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∵， ∴， ∵将平移至， 点对应点为， ∴， ∵E点坐标为， ∴， ∵过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∴， ， ∴四边形是梯形， ∴，   ． （3）证明：由平移的性质可得：， ∵， ∴， 当点在点以上的轴上时，如图， 由平移的性质可得：， ∵， ∴， 即， 当点在线段上时，如图， 由平移的性质可得： ， 即， 当点在线段上时，如图， 由平移的性质可得： ， ， 即， 当点在点以下的轴上时，如图， 由平移的性质可得： ， ， 即， 综上所述：当点在点以上的轴上时，；当点在线段上时，；当点在线段上时，；当点在点以下的轴上时，． 26．如图1，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中满足，点在线段上． (1)求，两点的坐标； (2)将平移到，点对应点，点对应点，若，求，，的值； (3)如图2，若点，也在坐标轴上，为线段上一动点（不包含点，点），连接，平分，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，(2)，，(3) 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，； （2）如下图，分别过点，作轴，轴的垂线交于点，过点作于， ∵，，， ∴，，，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点， ∵点在线段上，其对应点为， ∴，； （3），理由如下： 如下图，过点作，交于点，过点作，交轴于点， 设，， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第4页，共59页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$