2.3 确定圆的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.3 确定圆的条件 【考点1 判断确定圆的条件】 【考点2 求能确定的圆的个数】 【考点3 确定圆心(尺规作图)】 【考点4 求三角形外心坐标】 【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】 知识点1 ：确定圆的条件 1.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 【考点1 判断确定圆的条件】 【典例1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【变式1-1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-2】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【变式1-3】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【考点2 求能确定的圆的个数】 【典例2】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式2-2】如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式2-3】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【考点3 确定圆心(尺规作图)】 【典例3】如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 【变式3-1】如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3-2】如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 知识点2 ：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【考点4 求三角形外心坐标】 【典例4】如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】 【典例5】如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【变式5-1】如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【变式5-2】已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 【变式5-3】已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 1．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 4．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 7．在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 8．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ． 10．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 11．如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）； (2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长． 12．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 13．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 14．如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．    (1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由． (2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 确定圆的条件 【考点1 判断确定圆的条件】 【考点2 求能确定的圆的个数】 【考点3 确定圆心(尺规作图)】 【考点4 求三角形外心坐标】 【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】 知识点1 ：确定圆的条件 1.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 【考点1 判断确定圆的条件】 【典例1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 【变式1-1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】 本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【变式1-2】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式1-3】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 【考点2 求能确定的圆的个数】 【典例2】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 【变式2-2】如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 【详解】解：依题意A，B；A，；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：C． 【变式2-3】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 【考点3 确定圆心(尺规作图)】 【典例3】如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理： （1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到． 【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，，圆心O到的距离为4， ∴， ∴， ∴的半径为． 【变式3-1】如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接得到，分别作线段、的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式3-2】如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键． （1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作； （2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作： （2）解：连接，设圆的半径为， 由题意，，，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 即圆拱形所在圆的半径为， 故答案为：5． 知识点2 ：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【考点4 求三角形外心坐标】 【典例4】如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 【变式4-1】如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出的外接圆的圆心坐标． 【详解】解：如图所示：点P即为外接圆的圆心；      所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】 【典例5】如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案； （2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：如图所示：    于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 【点睛】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 【变式5-1】如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 【变式5-2】已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)，，； (2)外接圆的半径是． 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数之和为0，即可求解； （2）先证明是直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点的特点即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 即 ∴，，； （2）解：∵，，； ∴ ∴是直角三角形，且为斜边， 如图所示，取斜边上的中点，，则即为外接圆的半径    ∴ 【点睛】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-3】已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可； （2）如图，连接，利用垂径定理求出半径，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图即为所求． ①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线； ②同理作出线段的中垂线； ③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求． （2）解：如图，连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴圆的面积为：． 【点睛】本题考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键． 1．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 2．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，    ，． 过点作于点，则， 连接，，则， ， ． ， ， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：A． 4．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径． 【详解】解：设三角形为，，，， ， ， 该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边， 外接圆的直径是17步， 故选：D． 5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识点，根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可，解答本题的关键是明确三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 【详解】由图可知，， ∴， ∴F点在三边的垂直平分线上， ∴点F是外心， 故选：C． 6．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 7．在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】当为斜边时， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 8．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径为， 故答案为：． 10．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形外心的定义画出图形即可． 【详解】解：如图，点O即为所求． 11．如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）； (2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了过不在同一直线上的三个点的圆的作法，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）在上取点C，经过A、B两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，并且经过B、C两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，两条垂直平分线相交于点O，则，所以以点O为圆心，线段的长为半径作圆，便可得到经过A、B、C三点的圆； （2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得，由此即得答案． 【详解】（1）如图，圆心O即为所求； （2）连结， ， ， 这个圆的半径为， ， 由勾股定理得， ， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)，图见解析 (2)点D在内，证明见解析 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断． 【详解】（1）解：画图如下： 由图可知：圆心是， 故答案为：； （2）解：圆的半径， 线段， 点D在内． 13．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 14．如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．    (1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由． (2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径． 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】题考查作图——复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，，并作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作，即为所作； （2）根据垂径定理可以求出，，然后解直角三角形求出长即可． 【详解】（1）如图所示，圆O为所求圆．      （2）连接，，于点D，    ∵是等边三角形， ∴弧等于圆周长的三分之一， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$