专题2.6 二次根式加减（五个考点2个易错点）（题型专练+易错的题型）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题2.6 二次根式加减（五个考点3个易错点） 【考点1：二次根式的加减】 【考点2：二次根式的混合运算】 【考点3：二次根式的化简求值】 【考点4： 二次根式的实际应用】 【考点5： 分母有理化】 【易错点1二次根式的混合运算】 【易错点2二次根式的化简求值】 【易错点3求值分母有理化】 【考点1：二次根式的加减】 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1)； (2) 11．计算： (1) (2) 【考点2：二次根式的混合运算】 12．（2022秋•蜀山区期末）计算：（+）×﹣4． 13．（2023秋•永修县期中）计算： （1）； （2）． 14．（2022秋•蓝田县期末）计算：． 15．（2022秋•茂南区期末）计算：+×﹣． 16．（2023春•合浦县期末）计算：． 【考点3：二次根式的化简求值】 17．（2023秋•金牛区校级月考）已知，． （1）求a+b的值； （2）求a2﹣3ab+b2的值． 18．（2023秋•兴文县期中）已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 19．（2023春•涵江区期中）先化简，后求值：，其中． 20．（2023春•江岸区期中）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 21．（2023秋•锦江区校级期中）已知，，求x2+xy+y2的值． 22．（2023秋•东城区校级期中）已知，，求． 23．（2023秋•秦都区校级期中）已知：，． （1）求ab； （2）求a2+b2﹣ab． 24．（2023秋•兰州期中）先化简，后求值：，其中． 【考点4： 二次根式的实际应用】 25．（2023秋•红古区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为（　　） A．36 B． C．72 D． 26．（2023春•阜平县期末）将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为48cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 27．（2023秋•衡阳月考）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为m，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长（）m，宽（）m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 28．（2023春•栖霞市期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 29．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 30．（2023春•长汀县月考）一块长为7dm、宽为5dm的木板，采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？为什么？ 【考点5： 分母有理化】 31．（203秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ＝；（一） ＝＝；（二） ＝＝＝；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简： ＝＝＝；（四） （1）化简＝　 　 ＝　　 （2）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得＝　　 ②步骤（四）式得＝　 　 （3）化简： +++…+． 32．（2023春•闵行区校级期末）计算． 33．（2023秋•盐湖区期末）阅读下列解题过程： ＝＝＝﹣1； ＝＝＝﹣． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝　　；②＝　　； （2）应用：求++++…+的值； （3）拓广：﹣+﹣＝　　． 34．（2023秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容： ＝＝； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （二）计算： （1）； （2）（n为正整数）． （3）+++…+． 【易错点1二次根式的混合运算】 1．计算： （1）； （2）． 【易错点2二次根式的化简求值】 1．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　） A．n B．n C．n D．n+ 【易错点3求值分母有理化】 1．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 二次根式加减（五个考点3个易错点） 【考点1：二次根式的加减】 【考点2：二次根式的混合运算】 【考点3：二次根式的化简求值】 【考点4： 二次根式的实际应用】 【考点5： 分母有理化】 【易错点1二次根式的混合运算】 【易错点2二次根式的化简求值】 【易错点3求值分母有理化】 【考点1：二次根式的加减】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减混合运算，利用二次根式性质化简，先利用二次根式性质化简，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法法则进行解题即可． 【详解】解：原式． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式的性质，先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算， （1）先去括号，再进行二次根式的加减混合运算即可； （2）先化简绝对值，求立方根，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）原式＝ ； （2）原式 ． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据算术平方根和立方根定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了二次根式的加减，绝对值的意义，零指数幂，熟练运用公式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． （2）根据二次根式的性质化简，绝对值的意义，零指数幂进行计算即可． 【详解】（1） （2） 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算， （1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【考点2：二次根式的混合运算】 12．（2022秋•蜀山区期末）计算：（+）×﹣4． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（2+）×﹣2 ＝2×+×﹣2 ＝4+3﹣2 ＝4+． 13．（2023秋•永修县期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝． 14．（2022秋•蓝田县期末）计算：． 【答案】． 【解答】解：原式＝． 15．（2022秋•茂南区期末）计算：+×﹣． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝+﹣2 ＝4+﹣2 ＝4﹣． 16．（2023春•合浦县期末）计算：． 【答案】2． 【解答】解： ＝3×﹣+2﹣ ＝3﹣2+2﹣ ＝2． 【考点3：二次根式的化简求值】 17．（2023秋•金牛区校级月考）已知，． （1）求a+b的值； （2）求a2﹣3ab+b2的值． 【答案】（1）2； （2）7． 【解答】解：（1）∵＝＝﹣， ＝＝+， ∴a+b＝﹣++＝2； （2）由（1）知，a＝﹣，b＝+， ∴a2﹣3ab+b2 ＝（a﹣b）2﹣ab ＝[（﹣）﹣（+）]2﹣（﹣）（+） ＝（﹣﹣﹣）2﹣（3﹣2） ＝（﹣2）2﹣1 ＝8﹣1 ＝7． 18．（2023秋•兴文县期中）已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 【答案】（1）﹣2； （2）18． 【解答】解：（1）y＝＝＝﹣2； （2）∵x＝+2，y＝﹣2， ∴xy＝（+2）（﹣2）＝1，x+y＝+2+﹣2＝2， ∴＝＝＝﹣2＝﹣2＝20﹣2＝18． 19．（2023春•涵江区期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝ ＝； 当时， 原式＝． 20．（2023春•江岸区期中）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2， ∴a+b＝+2+﹣2＝2， a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4， （1）a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝42 ＝16； （2）a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝2×4 ＝8． 21．（2023秋•锦江区校级期中）已知，，求x2+xy+y2的值． 【答案】15． 【解答】解：∵x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy； 把，代入（x+y）2﹣xy， ∴ ＝ ＝ ＝42﹣1 ＝15． 22．（2023秋•东城区校级期中）已知，，求． 【答案】62． 【解答】解：∵a＝＝＝4， b＝＝＝4﹣， ∴a+b＝8，ab＝（4+）（4﹣）＝16﹣15＝1． ∴原式＝ ＝ ＝ ＝62． 23．（2023秋•秦都区校级期中）已知：，． （1）求ab； （2）求a2+b2﹣ab． 【答案】（1）1； （2）13． 【解答】解：（1） ＝4﹣3 ＝1； （2）a2+b2﹣ab ＝a2+b2﹣2ab+ab ＝（a﹣b）2+ab ＝ ＝12+1 ＝13． 24．（2023秋•兰州期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】2a﹣5，． 【解答】解： ＝a2﹣5﹣a2+2a ＝2a﹣5， 将代入2a﹣5得， ＝2+2﹣5 ＝ 【考点4： 二次根式的实际应用】 25．（2023秋•红古区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为（　　） A．36 B． C．72 D． 【答案】C 【解答】解：∵两个小正方形面积分别为27和48， ∴两个小正方形的边长分别为＝3和＝4， ∴大正方形的边长为：3+4＝7， ∴S阴影＝（7）2﹣27﹣48＝72． 故选：C． 26．（2023春•阜平县期末）将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为48cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【解答】解：面积为48cm2的正方形纸片的边长为＝4cm， ∴原矩形纸片的长为：4+＝5（cm）， 故选：B． 27．（2023秋•衡阳月考）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为m，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长（）m，宽（）m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1）长方形ABCD的周长14m； （2）种植青菜部分的面积为2m2． 【解答】解：（1）2+2＝8+6＝14（m）， 答：长方形ABCD的周长14m； （2）（）×（）＝3﹣1＝2（m2）， 答：种植青菜部分的面积为2m2． 28．（2023春•栖霞市期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】1680元． 【解答】解：通道面积：×﹣2×（+1）×（﹣1） ＝8×5﹣2×（13﹣1） ＝80﹣24 ＝56（平方米）， 购买地砖需要花费：30×56＝1680（元）， 答：购买地砖需要花费1680元． 29．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2； （2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得： （20+2）（20﹣2）﹣4×（）2 ＝400﹣8﹣4×2 ＝400﹣8﹣8 ＝384． 30．（2023春•长汀县月考）一块长为7dm、宽为5dm的木板，采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？为什么？ 【答案】不能在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．理由见解答． 【解答】解：不能在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．理由如下： +＝2+3＝5， ∵5＝＞＝7， ∴5＞7， 故不能在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板． 【考点5： 分母有理化】 31．（203秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ＝；（一） ＝＝；（二） ＝＝＝；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简： ＝＝＝；（四） （1）化简＝　　 ＝　　 （2）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得＝　﹣　 ②步骤（四）式得＝　﹣　 （3）化简： +++…+． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝＝，＝＝． 故答案为：，； （2）①原式＝＝﹣． 故答案为：﹣； ②原式＝＝＝﹣． 故答案为：﹣； （3）原式＝+++…+ ＝ ＝． 32．（2023春•闵行区校级期末）计算． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝2﹣1﹣+2﹣ ＝1． 33．（2023秋•盐湖区期末）阅读下列解题过程： ＝＝＝﹣1； ＝＝＝﹣． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝　﹣　；②＝　﹣　； （2）应用：求++++…+的值； （3）拓广：﹣+﹣＝　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①＝＝﹣； ②＝＝﹣； 故答案为：﹣；﹣； （2）++++…+ ＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1； （3）﹣+﹣ ＝﹣+﹣ ＝﹣+﹣ ＝ ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 34．（2023秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容： ＝＝； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （二）计算： （1）； （2）（n为正整数）． （3）+++…+． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（二）（1）原式＝﹣； （2）﹣； （3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝9． 【易错点1二次根式的混合运算】 1．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）17； （2）12﹣4． 【解答】解：（1） ＝﹣ ＝20﹣ ＝20﹣3 ＝17； （2） ＝1﹣4+12﹣（4﹣3） ＝1﹣4+12﹣1 ＝12﹣4． 【易错点2二次根式的化简求值】 1．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　） A．n B．n C．n D．n+ 【答案】A 【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1， 所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣． 故选：A． 【易错点3求值分母有理化】 1．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝+++… ＝﹣1+﹣+﹣+…﹣＝﹣1 ＝3﹣1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$