第06讲 “SAS”与“ASA”判定三角形全等（2个知识点+4个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第06讲 “SAS”与“ASA”判定三角形全等（2个知识点+4个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“SAS”，“ASA”．(重点) 2．能运用“SAS”“ASA”判定方法解决有关问题．(重点) 3．“SAS”和“ASA”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点) 知识点1.三角形全等的基本事实：边角边（重点） 1. 全等三角形判定——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD. 解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE＝BC，根据SAS，即可证得△AEF≌△BCD. 证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵ ∴△AEF≌△BCD(SAS)． 方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式1-1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF． 求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+EC． ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1-2】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． 求证：△ABC≌△DEC． 【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． 【变式1-3】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF． 【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD， ∴∠ACB＝∠EFD＝90°， ∵BF＝CD， ∴BF+CF＝CD+CF， 即BC＝DF， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）． 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【例2】下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF 解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C. 方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 【变式2-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理． 【详解】解：、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，能判定，符合题意， 故选：． 知识点2.三角形全等的基本事实：角边角（重点） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【例3】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE. 解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE. 证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∵∴△ADF≌△CBE(ASA)． 方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”． 【变式3-1】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O． 求证：△AEC≌△BED； 【详解】∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2． 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC和△BED中， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【变式3-2】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B， ∵DA平分∠BDE． ∴∠ADE＝∠ADB， ∴∠ADE＝∠B， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 【变式3-3】已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA） 考点1：利用三角形全等证明线段相等 1.如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据推出，根据，，得出，结合，利用证明，即可得出，熟练掌握利用证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2.如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ． 3.已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF． 【解析】证明：∵AD∥CB ∴∠A＝∠C 在△ADF与△CBE中 ∴△ADF≌△CBE （ASA） ∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF 故得：AE＝CF 4.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 【答案】证明：∵MQ和NR是△MPN的高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2 在△MPQ和△NHQ中， ∴△MPQ≌△NHQ（ASA） ∴PM＝HN 考点2：三角形全等的判定与性质的综合应用 5.已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数． 解析：利用已知条件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判定方法可证明△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数． 解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，∵∴△ABC≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°. 方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具． 6.如图，已知点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 7.如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．    (1)若，，求的度数． (2)若，求证． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由旋转可知，则有，然后根据三角形内角和及旋转的性质可进行求解； （2）由旋转可知，，然后问题可求证． 【详解】（1）解：由旋转可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由旋转可知，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 8.如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）首先根据题意得到，然后利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9.如图，在和中，，，且，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)写出与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可； （2）先证明，再结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即． 又， （2），理由如下： ， ． 设、相交于点， 则． ， 即． 考点3：全等三角形与其他图形的综合 10.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG. 解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，所以△ADE和△CDG全等；(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG. 证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，∵∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG； (2)设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED，又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG. 11.如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据四边形，均为正方形，可得，，，进而可得，即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等可得，等量代换可得． 【详解】（1）证明：四边形，均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ． 12.如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 【答案】(1) (2)12000元 (3)千克 【分析】（1）由直接可以得到； （2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使，连接． . 在与中， ， ，. ，即. 在与中， ， ， （米）． 五边形的周长为（米）， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元. （3）千克 ， 需小麦种数量为：(千克）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”． 考点4：添加辅助线证明与计算 13.如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长交于，根据已知条件证得，推出，得出，即可得出答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积等于． 故答案为：． 14.在中，，中线，则边AB的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图形，延长AD至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 【详解】如图，延长AD至E，使， 是的中线， ， 在和中，， ≌， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 15.如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= . 【答案】3.2 【详解】如图，在BC上截取BE=AB， 则CE=BC−BE=7.6−4.4=3.2， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBD中, ， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴AD=DE，∠BED=∠A， ∵∠BAC=2∠C，∠BED=∠C+∠CDE， ∴∠C=∠CDE， ∴CE=DE=BC−AB=3.2， ∴AD=DE=3.2， 故答案为3.2. 点睛：证明或求线段相等的方法通常有：全等三角形的对应边相等；等腰三角形中等角对等边；角平分线上的点到角的两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；根据题目条件选择适当方法解决. 16.如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 17.如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，得出，证明得出，进而即可得证． 【详解】证明：如图所示，延长、相交于点． ， ． 又， ， 在和中 ， ． 一、单选题 1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 2．（2023八年级·湖南岳阳·开学考试）如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴当时，可根据可证， 故选：B． 3．（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 【详解】解：在和中， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， 综上，图中全等三角形共有3对， 故选：C． 4．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 5．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 【答案】110 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 6．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，和分别在线段的两侧，点C，D在线段上，，，则 ． 【答案】4 【分析】通过证明，进而解答即可．本题考查了全等三角形的性质与判定． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 故答案为：4 7．（2023八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，平分，在上截取，连结，已知，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用角平分线的定义得到，证明，即可得到，即可解答，熟知全等三角形判定的条件是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 9．（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余推出，即可证明． 【详解】解：与全等的三角形为 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 在和中 ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 10．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．延长至E，使得，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】延长至E，使得，连接，如图， ∵点D是BC的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）证明：证明：∵E为中点， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知中，，平分，请补充完整过程，说明的理由．    平分 ____________（角平分线的定义） 在和中 ______． 【答案】，，，已知，，已证，，公共边，． 【分析】 本题考查的知识点是全等三角形的判定、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可． 【详解】解：依题得：平分， 角平分线的定义， 在和中， ， ． 故答案为：，；，已知；，已证；，公共边；． 13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，由平分，得出，利用证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明∵平分， ， 在和中， ， ， ． 14．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明，推出，再根据可以证明． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 15．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据题意由，可得，即可求证； （2）由，可得，再由内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已在与中，，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．根据，，，从而得出，，结合，即可得出，进而可以解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 17．（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)全等，见解析 (2) (3)秒，点P与点Q在上第一次相遇 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由题意列出方程，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）解：点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与不是对应边， 即， ，且， 则， 点P，点Q运动的时间， ， （3）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点P运动， ， 点P与点Q在上第一次相遇． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 “SAS”与“ASA”判定三角形全等（2个知识点+4个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“SAS”，“ASA”．(重点) 2．能运用“SAS”“ASA”判定方法解决有关问题．(重点) 3．“SAS”和“ASA”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点) 知识点1.三角形全等的基本事实：边角边（重点） 1. 全等三角形判定——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD. 【变式1-1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF． 求证：△ABC≌△DEF． 【变式1-2】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． 求证：△ABC≌△DEC． 【变式1-3】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF． 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【例2】下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF 【变式2-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点2.三角形全等的基本事实：角边角（重点） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【例3】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE. 【变式3-1】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O． 求证：△AEC≌△BED； 【变式3-2】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE． 【变式3-3】已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 考点1：利用三角形全等证明线段相等 1.如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．    2.如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：． 3.已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF． 4.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 考点2：三角形全等的判定与性质的综合应用 5.已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数． 6.如图，已知点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7.如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．    (1)若，，求的度数． (2)若，求证． 8.如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9.如图，在和中，，，且，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)写出与的数量关系，并证明你的结论． 考点3：全等三角形与其他图形的综合 10.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG. 11.如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 12.如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 考点4：添加辅助线证明与计算 13.如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ． 14.在中，，中线，则边AB的取值范围是 ． 15.如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= . 16.如图，在四边形中，，，．求证：． 17.如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 一、单选题 1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 2．（2023八年级·湖南岳阳·开学考试）如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）    A． B． C． D． 3．（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 二、填空题 5．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 6．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，和分别在线段的两侧，点C，D在线段上，，，则 ． 7．（2023八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，平分，在上截取，连结，已知，则线段的长是 ． 8．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 9．（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．    10．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 . 三、解答题 11．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 12．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知中，，平分，请补充完整过程，说明的理由．    平分 ____________（角平分线的定义） 在和中 ______． 13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分．求证：． 14．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    15．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 16．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已在与中，，，，，求证：． 17．（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$