第1章充要条件学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第1章 充要条件 1.1 充分条件和必要条件 【要点梳理】 1．充分条件和必要条件的概念 （1）如果p⇒q，则称p是q的 ，q是p的 。 （2）如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的 ，记作 。 【典例解析】 例1 用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1）是的 条件； （2）是的 条件。 答案：必要条件；必要条件。 变式1 用充分条件、必要条件或充要条件填空 （1）“>0”是“>0”的____________条件 （2）“x＝5”是“|x|＝5”的___________条件 例2 把下列命题写成“如果P，那么q”的形式，并判断p是否为q的充分条件。 （1）四个内角相等的四边形是矩形； （2）当a=1时，直线(a-1)x+y=1平行于y轴； （3）水滴石穿。 解析： （1） 命题可以写为“如果一个四边形的四个内角相等，那么这个四边形是矩形。”这是一个真命题，“四边形四个内角相等”是“四边形是矩形”的充分条件。 （2） 命题可以写为“如果a=1，那么直线(a-1)x+y=1平行于y轴。”这是一个假命题“a=1”不是“直线(a-1)x+y=1平行于y轴”的充分条件。 （3） 命题可以写为“如果水一直滴落在石头上，那么石头将被击穿。”这是一个真命题，“水一直滴落在石头上”是“石头被击穿”的充分条件。 变式2 写出下列命题的逆命题，并判断其真假；依此判断原命题的条件p是否为结论q的必要条件。 （1） 如果|x|>0，那么x>0； （2） 在△ABC中，如果∠A是锐角，那么△ABC是锐角三角形； （3） 如果α=0，那么sinα=0。 【小试牛刀】 1、下列四个命题中是真命题的是（ ） A.x＞3是x＞5的充分条件 B. x2 =1是x=1的充分条件 C. 的必要条件 D.是的必要条件 2、已知a∈N，b∈N，p：a＞b，q：a2＞b2，则p与q的关系为（ ） A． B． C． D．无关系 3、已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 。 4、已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 。 5、 已知集合，或． （1）当时，求； （2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围。 . 1.2 充要条件 【要点梳理】 1、充分条件和必要条件的概念 （1）如果p⇒q，则称p是q的 ，q是p的 。 （2）如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的 ，记作 。 （3）如果p⇒q，但qp，那么称p是q的 条件。 （4）如果pq，但q⇒p，那么称p是q的 条件。 （5）如果pq，且qp，那么称p是q的 条件。 2、充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的 条件 则AB 若p是q的 条件 则BA 若p是q的 条件 则A＝B 若p是q的 条件 AB之间没有子集关系 【典例解析】 例1 已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】由得或，∴“”是“”的必要非充分条件，故选：B． 变式1 “”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3 集合，的关系如图所示，则是的（    ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件，故选：A 变式3 设，两个非空集合，，满足，下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 例4已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围。 【答案】 【解析】解：由题知得，所以，解得，所以实数的取值范围为。 变式4 设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围。 【小试牛刀】 1、已知是实数，则“”是“”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 2、设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4、“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D．或 6、已知命题，命题，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7、设为向量, 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8、不等式成立是不等式成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第1 章自我检测 1、下列四个命题中是真命题的是（ ） A.x＞3是x＞5的充分条件 B. =1是x=1的充分条件 C. 的必要条件 D.是的必要条件 2、.“a>1”是“a>－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、“”是“”的 （ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、“a>3且b>4”是“a＋b>7”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、“a>b”是“a＋c>b＋c”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6、在△ABC中，“A＝B”是“BC＝AC”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7、已知条件p：－1<x<1，q：x>m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1，0) D．(－∞，－1] 8、“方程有两个不等实根的充要条件是___________。 9、＂＂是“”的________条件。 10、已知a∈R，若集合，则“a=0”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11、对于任意角“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12、使成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 13、若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的_______条件。 14、“圆心到直线距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15、“”是“直线和直线平行”的　 　条件。（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要” ） 16、 “”是“”的 条件。 17、已知；，若是的必要不充分条件，求实数的值。 18、 已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围。 19、已知，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 平面向量 2.1 向量的概念 【要点梳理】 1、向量：既有 又有 的量叫做向量；向量的大小叫做向量的 。 向量表示方法：向量 或 ；模 或。 2、零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作。 3、单位向量：长度等于 个单位的向量，常用表示。 4、平行向量（共线向量）：方向 的非零向量，与共线可记为 ；特别的：与任一向量 。 5、相等向量：长度 且方向 的向量，记作。 6、相反向量：长度 且方向 的向量，记作。 【典例解析】 例1 下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【解析】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；C.平行向量就是共线向量，故正确；D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确，故选B。 变式1 下列说法正确的是（ ） A．向量与共线，与共线，则与也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量与不共线，则与都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 例2 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量。 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】解：（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，. （2）与相等的向量：，，. 变式2 已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1） 与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量。 【小试牛刀】 1．下面关于平面向量的描述正确的有（    ） A．共线向量是在一条直线上的向量 B．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量 C．若，则 D．若向量与向量同向，且，则 2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.已知向量，（为单位向量），则向量与向量（ ）。 A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D． 4.下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 5.在平行四边形ABCD中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 6.在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．4 B．5 C．6 D．7 7.若向量，则向量＝（　　） B． C． D．－1 8.在正方形ABCD中，与平行的是（　　） A． B． C． D． 9.下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 10.下列关于向量的命题，序号正确的是 。 ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合。 2.2 向量的线性运算 【要点梳理】 1.向量的加法：记作＋ ①三角形法则：首尾相连，起指终。如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + ②平行四边形法则：同起点，对角线． 如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + 2.向量的减法：记作－ 同起点，方向指向被减向量．如图所示，已知，，作＝， ＝，则＝ － 3.运算法则 ①＋0＝0＋＝； ②＋＝＋（加法的交换律）； ③（＋）＋＝＋（＋）（加法的结合律）； ④＋（－）＝（－＋）＝0（两个相反向量的和为零向量）。 4.数乘向量 （1）定义：实数与向量的乘积是一个向量，记作。中的实数，称为向量的系数。 ①如图所示，若≠0，则 ②若＝0，则＝0。 （2） 几何意义：是把向量沿着的方向（或反向）放大（或缩小）而得到的。 与总是平行的。 （3）运算律 ： 若，都是实数，则 ①（＋）＝_______＋_______； ②（）＝____ ___； ③（＋）＝_______＋_______。 向量的加法、减法与数乘向量的综合运算，称为向量的线性运算 5.平行向量基本定理 若≠0，则∥⇔存在唯一实数，使＝ 特别地，若＝0，对于任意实数，∥ 【典例解析】 例1 在ABCD中，_______， ________。 【答案】 【解析】本题考查向量的加法运算，即：“首尾相连，起指终”是指第一个向量的起点指向第二个向量的终点． 变式1 下列运算中，结果与相等的是（　　） A． B． C． D． 例2 如图所示，在ABCD中，________， ＝________. 【答案】 【解析】查向量的减法运算，即“同起点，方向指向被减向量”是指同一起点的两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点． 变式2 如图所示，在平行四边形ABCD中，下列等式错误的是（　　） A． B． C． D． 例3 化简： 【答案】 【解析】解：原式 变式3 化简：。 例4 化简：2（＋）－3（－）. 【答案】 【解析】利用运算律进行解题． 变式4 化简：3－2（3－2）＋4（＋）＝________. 例5 下列选项中，∥的是（　　） A．2＋3＝0 B．＝5e，＝3i C．＝3－e D．＝2＋3i 【答案】A 【解析】本题考查的是向量的平行条件，∥⇔＝.A.由2＋3＝0可得＝，∴∥. 变式5 已知＝3e，＝－6e，则向量，的位置关系是________. 【小试牛刀】 1、下列关于向量的等式中，正确的个数是（ ）。 （ （ （ ④ ⑤ A. 5 B．4 C． 3 D．2 2、下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3、在△ABC中，若E是BC的中点，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4、如图所示，化简：________， ________. 5、化简：________. 6、化简：（1） （2） 7、在△ABC中，＝a，＝b，则等于（　　） A．a＋b B．－（a＋b） C．a－b D．b－a 8、满足向量等式3（x－a）－2（b＋x）＝a＋b的向量x＝（　　） A．4a＋3b B．－4a＋3b C．4a－3b D．－4a－3b 9、化简：2（a＋b－c）＋3（a＋b－c）＝________________. 10、设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 11、已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ） A. B． C． D． 12、要得到向量，可将（ ）。 A．向量向左平移2个单位 B．向量向右平移2个单位 C．向量保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D．向量的方向反向，长度伸长为原来的2倍 13、若点是线段上靠近的三等分点，则 。 14、如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形。 （1）用有向线段表示与向量相等的向量。 （2）用有向线段表示与向量共线的向量。 2.3 向量的内积 【要点梳理】 1．向量数量积的定义 （1）定义：一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（内积）； （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为 ； （3）由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个 ，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角。则 （1）； （2）当与同向时， ；当与反向时， ；特别地， 或； （3） ； （4） 3、向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角（如图） （3） 向量夹角θ的范围是 。a与b同向时，夹角θ＝ °； a与b反向时，夹角θ＝ ° （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b ，记作a⊥b 【典例分析】 例1 已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】,故选：C. 变式1 已知，，且与的夹角，则等于（ ） A． B．6 C． D． 例2 若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量与的夹角是， 则． 又因为，所以． 变式2 已知向量，，，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 例3 若||＝2，||＝，<，>＝30°，则|＋|＝（　　） A．7 B．8 C．13 D． 【答案】D 【解析】本题考查向量内积的性质 变式3 已知||＝2，||＝5，且<，>＝60°，则|－|＝________. 【小试牛刀】 1、。 A． B． C． D． 2、在中，，则的形状是（ ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3、向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 4、已知，是非零向量且满足，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．-2 5、已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 6、已知，是夹角为60°的单位向量，则（    ） A．1 B． C． D． 7、已知向量、的夹角为，，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 8、 已知向量，的夹角为，且，，则 . 9、 已知与的夹角为，则 10、在边长为的等边三角形中，则等于 ． 11、在边长为 2 的等边△ABC 中,_______。 12、设，是两个不共线的向量，若与共线，则实数________。 13、已知A，B，C三点共线，且，则_________。 14、已知是单位向量，且，，求， ，。 2.4 向量的坐标表示 【要点梳理】 1.平面向量的直角坐标的定义 设，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，且，则称为向量的直角坐标，记作＝. 2.平面向量的直角坐标运算 （1）向量坐标与点坐标的关系 设点A，B，则 ＝_______－_______＝__ ____，即一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标． （2）设＝，＝，则 ＋＝_______＋_______＝____ ___， ＝_______＋_______＝____ ___， =_______＝____ 。 （3）向量的平行条件、垂直条件 设＝，＝，则 ∥⇔__ ___（≠0，≠0）或； ⊥⇔__ ___. 3.中点公式、距离公式 （1）中点公式 设点A，B，线段AB中点坐标为，则 ， . （2）向量长度的坐标运算 若＝，则 。 （3）两点间的距离公式 已知A，B两点，则 。 ||也称为A，B两点的距离，记作，该公式也称为两点间的距离公式。 4、向量数量积：若，则= 。 【典例解析】 例1 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，向量，可得，故选：B. 变式1 已知向量，则（    ） A． B． C． D． 例2 已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故选：C. 变式2 若，，则（    ） A． B． C． D． 例3 已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 变式3 向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 例4 已知点，，若向量与共线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与共线，，解得：，故选：B. 变式4 已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 例5 在直角坐标系中，已知点O为原点，点A（－2，1），B（2，－2），则向量＝________，＝________. 【答案】（-2,1） （4,-3） 【解析】本题考查的是向量的坐标，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标．故 变式5 已知点A（－2，4）＝（2，2），则点B的坐标为________. 【答案】（0,6） 例6 （1）点A（－2，－1），B（0，4）和向量＝（1，y）.若，则y＝________； （2）＝（3，1），＝（1，3），＝（k，2），且（－）⊥，则k＝________. 【答案】 0 【解析】本题考查向量的平行和垂直条件，根据∥⇔（≠0，≠0）或；⊥⇔可得． （1）先得＝（2，5），再根据向量的平行条件得2y－5＝0，∴y＝. （2）∵－＝（3，1）－（k，2）＝（3－k，－1），又（－）⊥，∴3－k＋3×（－1）＝0，∴k＝0 变式6 （1）已知向量＝（－2，3），＝（x，6）.若∥，则－＝________； （2）已知向量＝（－2，4），＝（2，y）.若⊥，则＋＝________. 例7 已知点A（－2，1），B（1，3），求线段AB的中点M的坐标． 【答案】 【解析】设点M坐标（x，y），则，，∴M（－，2） 变式7 点A（－6，3），线段AB中点坐标为P（－1，2），则点B的坐标为________ 例8 （1）已知＝（1，3），＝（2，5），则＝________； （2）已知点A（－2，4），C（－8，10），则＝________. 【答案】 【解析】本题考查向量长度的坐标运算，由公式和 可求得。 变式8 已知向量，，则（    ） A． B．5 C． D．4 例9 已知向量，，则与的数量积为（       ） A．1 B．-1 C．2 D． 【答案】A【解析】向量，，，故选：A. 变式9已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 例10 设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 【答案】C【解析】，故，故选：C. 变式10 已知向量，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例11 已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为，所以，故选：C 变式11 已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例12 已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C【解析】,故选：C. 变式12 已知，，且，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 例13 已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为与垂直，故，解得，则,，设与夹角为，则，选：A. 变式13 已知，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 例14 已知向量，则（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A. 变式14 已知，则（    ） A．25 B．1 C．5 D．12 例15 已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【解】 ，,，选：C. 变式15 已知向量，，则（    ） A． B．5 C．2 D．4 【小试牛刀】 1．已知向量，.若，则（    ） A．6 B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则（） A．5 B． C． D．5 3．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5.向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 6.已知向量，，则（    ） A． B．10 C．5 D．25 7.已知，是非零向量且满足，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．-2 8.以为顶点的三角形是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．以为直角的直角三角形 D．以为直角的直角三角形 9.，两点的中点坐标为 。 10.已知平面向量，，若共线，则 。 11.如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、 （1）写出向量，的坐标； （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标 第2章自我检测 1、化简：________。 2、已知，，则的值 ； 3、已知，，则向量，的夹角的余弦值为 。 4、已知，则_________ 5、已知向量，，则等于_________ 6、已知，若，则实数________ 7、已知平面向量，满足，，，则__ ____。 8、已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 9、已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 10、若，，，，下面结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 11、若向量，则与的夹角等于(    ) A． B． C． D． 12、向量，满，，，正确的有 。 . ① ② ③与的夹角为 ④ 13、已知平面向量， （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值。 14、已知向量，满足，， （1）求与的夹角； （2）求的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线 3.1 椭圆 【要点梳理】 1.椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 、 的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。 这两个定点（,）叫椭圆的 ，两焦点的距离（ ）叫作椭圆的焦距。 2.椭圆的标准方程和几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 （ ， ），（ ， ）， ， 的关系 范围 ， 顶点 ， 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【典例解析】 例1 椭圆上的点P到两个焦点的距离之和为（ ） A.6 B.10 C.12 D.36 【答案】C 【解析】椭圆上的点到两个焦点的距离之和为， 变式1 椭圆的焦距为4，则的值等于（    ） A．5 B．13 C．5或13 D．25 例2 椭圆的离心率为___________。 【答案】【解析】结合椭圆方程和离心率的定义求解即可 由椭圆方程可知：，则，，所以 故答案为： 变式2 椭圆3x²+4y²=12的离心率是 。 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，一个顶点为； (2)一个焦点为，长轴长为4； 【答案】(1)；(2)； 【解析】解：(1)由题设，，则，又焦点为，所以椭圆标准方程为 (2)由题设，，则，又焦点为，所以椭圆标准方程为 变式3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，离心率为； (2)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2. 例4 方程为焦点在y轴上椭圆，m取值范围是( ) A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜ C．＜m＜16 D．m＞ 【答案】C 【解析】　依题意，可得解得＜m＜16 变式4 方程为焦点在x轴上的椭圆，实数m取值范围（      ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 例5 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______。 【答案】 【解析】椭圆，，即、，直线过左焦点，所以，，， 所以； 故答案为： 变式5 已知分别为椭圆的左右焦点，倾斜角为的直线经过，且与椭圆交于两点，则△的周长为 。 【小试牛刀】 1、椭圆的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 2、若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．8 3、有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长为4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 4、已知椭圆与，则两个椭圆（       ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 5、椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 6、椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 7、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 9、若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（       ） A．6　　　　　　B．7 C．8 D．9 10、 已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________。 11、 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为___________ 12、已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点，求椭圆的方程。 3.2 双曲线 【要点梳理】 1.双曲线的定义 把平面内与 距离的差的 为常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点为双曲线的 ，两焦点间距离为双曲线的 。 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 双曲线 焦点位置 x轴 y轴 图形 焦点坐标 定义 P为椭圆上的点，() 焦距 a，b，c的关系 标准方程 范围 顶点坐标 实轴 实轴长＝ ，实半轴长＝ 虚轴 虚轴长＝ ，虚半轴长＝ 对称性 对称轴为x轴和y轴，对称中心为原点(0，0) 离心率 焦距与长轴长的比，即 渐近线方程 【典例分析】 例1 双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 【答案】B 【解析】由题知双曲线，所以 ，记左，右焦点分别为 ，所以根据定义得 ，因为,所以或，因为时，，即不满足题意，所以， 故选B 变式1 双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______。 例2 双曲线的离心率e＝（ ） 【答案】3 【解析】由题意知 变式2 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 例3 若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，则或. 故选：A 变式3 若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（     ） A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 例4 双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】2a＝，所以，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为，故选：B 变式4 已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 例5 若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得点在直线上，所以 故选：C 变式5 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 例6 若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由渐近线方程可知，则 故选：A 变式6 已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 例7 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，因为一条渐近线方程为，即，所以，即，故 变式7 双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【小试牛刀】 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦距等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知为双曲线上点．则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（       ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为 8.设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为 9.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数 10.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 11.若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为 12．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程 13. 双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，求该双曲线方程 14.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且，求的面积 3.3 抛物线 【要点梳理】 1.抛物线的定义 （1）抛物线的定义：平面内与一个 和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离 的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 。 （2）抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离) 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【典例解析】 例1 已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得， 所以抛物线方程为 故选：D 变式1 焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 已 例2 抛物线上一点到焦点的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线：，抛物线上一点到其焦点的距离为， 点到准线的距离为，，抛物线方程为 故选：D 变式2 抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 例3 抛物线的焦点到其准线的距离是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A 变式3 下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ） A． B． C． D． 例4 抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可化为，所以抛物线的准线方程为 故选：B 变式4 抛物线的对称轴是直线（       ） A． B． C． D． 例5 对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为 变式5 关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A． 开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 例6 与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 。 【答案】 【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，所以该抛物线方程是，故答案为： 变式6 抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程 【小试牛刀】 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3.抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4.抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 5.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6.抛物线的焦点到直线的距离是（       ） A． B．2 C．3 D．1 7.轴的上方动点M到定点的距离比到x轴距离多1，动点M的轨迹的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8.抛物线的焦点到准线的距离为 9.已知抛物线的准线方程为，则实数_________ 10．抛物线的焦点坐标是 11.已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______ 12.抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______ 13.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________ 14.分别根据下列条件，求抛物线的标准方程． （1）准线方程是； （2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点 15.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点，求抛物线的标准方程 第3章自我检测 1．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C． D． 2．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为（       ） A．6　　　　　　 　B．7 C．8 D．9 3．椭圆＋＝1的焦点坐标是（       ） A．(±5,0)　　　　　B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) 4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（       ） A． B． C． D． 6.已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（       ） A． B．或 C．或 D．或 7.对于椭圆+=1，长轴和焦距分别为（    ） A．20，6 B．10，12 C．20，12 D．10，6 8.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9.双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 12.已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（    ） A． B． C． D． 13.与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 14.抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 15.抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 16.抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 17.抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（    ） A．   B．   C．   D．   18.已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 19.椭圆一个焦点为，离心率为，则椭圆的方程为 20.已知双曲线是等轴双曲线，则C的焦距为 21.双曲线的离心率是 22.设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为 23.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数 24.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 25.双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为 26.抛物线的焦点到准线的距离为 27.已知抛物线的准线方程为，则实数_________ 28.抛物线的焦点坐标是 29.已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为 。 30.抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______ 31.已知方程（且） （1）若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值； （2）若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标 32.已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 立体几何 4.1 平面 【要点梳理】 1．平面的特征和表示 （1）平面的特征： 有边界，画平面的时候一般用 表示平面 （2）平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形， 并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来 （3）平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α， ， ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如 ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC， （4）点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在 A∈ A在 A∉ A在α A∈α A在α A∉α 在α ⊂α 在α ⊄α ，m相交于 ∩m＝A ，α相交于 ∩α＝A α，β相交于 α∩β＝ 2．平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈，B∈，且A∈α，B∈α⇒⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝，且P∈ ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 【典例解析】 例1若A点在直线上，直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内，表示为：，，．故选：B 变式1 若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 例2 已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（    ） A．一个 B．四个 C．一个或四个D．无法确定平面的个数 【答案】C 【解析】若空间中的四点共面，则经过其中的三点的平面只有一个， 若空间中的四点不共面，设这四点为，由于无三点共线，所以由公理2，可知过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，所以经过其中三点的平面有4个，综上，空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有1个或4个，故选：C 变式2 下列命题正确的是（    ） A． 三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 例3 下列四个条件中，能确定一个平面的是______（填编号） ①空间任意三点； ②空间两条平行直线； ③一条直线和一个点； ④两两相交且不共点的三条直线 【答案】②④ 【解析】对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误 对于②：确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确； 对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误 对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线，，， 则直线、唯一确定平面，即，，又，， 所以，，又，，所以， 即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确；故答案为：②④ 变式3 有下列命题： ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 其中正确命题是（    ） A．① B．②③ C．③ D．①④ 【小试牛刀】 1.判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”. （1）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （2）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） （3）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）空间三点可以确定一个平面（ ） （6）两条直线可以确定一个平面（ ） （7）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （8）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） 2.下列关于点、线和面的关系表示错误的是（       ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 3.下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 4.下列命题中，所有正确命题的序号是___________ ①两个相交平面把空间分成4部分 ②有两个角是直角的四边形是平面图形 ③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 ④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上 5.在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分 6.根据图，填入相应的符号： A______平面ABC； A______平面BCD； BD______平面ABD。 4.2 直线与直线的位置关系 【要点梳理】 1．空间两条直线的位置关系： 种 2．异面直线的判定及其所成的角 （1）异面直线的判定定理 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若⊂α，A∉α，B∈α，B∉，则直线与A B是异面直线 （2）异面直线所成的角 ①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角或夹角 ②异面直线所成的角θ的取值范围： 。 ③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b （3）求两条异面直线所成角的步骤 ①恰当选点，用 法构造出一个相交角 ②证明这个角就是异面直线所成的角（或补角） ③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数 ④若求出的平面角是 ，则它就是两条异面直线所成的角； 若求出的角是 ，则它的 才是两条异面直线所成的角 5．公理4及等角定理 （1）公理4： 。符号表示：⇒a∥c （2）等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向 ，那么这两个角 。 【典例解析】 例1 若直线和没有公共点，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【解析】两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D 变式1 平行于同一条直线的两条直线一定（ ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面 例2 已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 【答案】D 【解析】如图:，l//β或l⊂β，故选：D 变式2 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平行或直线在平面内 D．相切 例3 在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ） A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【解析】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，故选：D 变式3 垂直于同一个平面的两个平面（ ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．前三种情况都有可能 例4 正方体中与所成角的正弦值为 。 【答案】 【解析】在正方体中，为与所成角，设正方体的边长为1，因为，，，所以，故答案为： 变式4 三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E，F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【小试牛刀】 1.如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2.若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　 A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 3.如图，在正方体中，点E，F分别是棱AD，的中点，则异面直线与BF所成角的大小为 。 4.如图，在长方体ABCD－中， （1）直线与直线的位置关系是________； （2）直线与直线的位置关系是________； （3）直线与直线的位置关系是________； （4）直线与直线的位置关系是________ 5.如图，已知正方体 （1）哪些棱所在直线与直线是异面直线？ （2）直线和和的夹角是多少？ 6.如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离。 4.3 直线与平面的位置关系 【要点梳理】 1.直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面 公共点，则称直线与平面平行 （2）直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面 。 符号表述： （3）直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 线平行。 符号表述：，， 2、直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线 于平面，记为。直线叫做平面的 ，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫 。 符号语言：对于任意，都有 3、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 简记： 垂直 垂直 符号语言：，，，， 4、直线和平面垂直的性质定理 （1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线 符合语言：， （2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 符合语言：， 5、直线与平面所成角定义 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角 说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角 为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面 时：； 当直线与平面平行或在平面内时： 。 ⑥直线与平面所成角取值范围： 【典例解析】 例1 下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ） A．直线与平面内的所有直线平行 B．直线与平面内的无数条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】C 【解析】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误； 对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行，故B错误； 对C，能推出与平行； 对D，当直线在平面内时，与不平行 故选：C 变式1 下列命题正确的是（ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行 例2 m，n两条不同的直线，，两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若m//，m//n，则n// B．若m//，n//，则m//n C．若m//，n，则m//n D．若m//，m，＝n，则m//n 【答案】D 【解析】如图，长方体中，平面视为平面， A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确； B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B错； C，直线AB视为m，直线视为n，m//，n，m与n是异面直线，C错； 对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确。故选：D 变式2 下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 例3 如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中， 直线与平面不平行的是( ) 【答案】A 【解析】项作如图（1）所示的辅助线， 其中为的中点， 则.因为平面 ， 所以与平面相交，，直线与平面 相交。 项， 作如图（2）所示的辅助线， 则， ， 所以。又 平面平面， 所以 平面 。 C 项， 作如图（3）所示的辅助线， 则 ， ， 所以 。又 平面 平面 ， 所以 平面 。 项， 作如图（4）所示的辅助线， 则，， 所以 。又 平面 平面 ， 所以 平面 。故选：A 变式3 如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为点 O，M 为 PB 的中点，下面结论中不正确的是( ) A．OM∥PD B．OM∥平面 PCD C．OM∥平面 PDA D．OM∥平面 PBA 例4 m，n两条不重合直线，是平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立，故选：A 变式4 已知直线平面，则直线平面是直线的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 例5 已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（ ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【解析】A中，若，由，可得；故A不满足题意；B中，若，由，可得；故B不满足题意；C中，若，由，可得；故C正确；D中，若与相交，由，可得异面或平行，故D不满足题意，故选C 变式5 已知直线垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线，m的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 例6 在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 【答案】A 【解析】长方体中，直线平面，所以就是直线与平面所成的角，在中，，， 所以，所以，故选：A. 变式6 直线与平面α所成的角为70°，直线∥m，m与α所成的角等于（　　） A．20° B．70° C．90° D．110° 【小试牛刀】 1.已知是不同的直线，是不同的平面，下列命题中真命题为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.已知直线平面，直线平面，则下列结论一定成立的是（       ） A．与相交 B．与异面 C． D．与无公共点 3.已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 4.如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（    ） A． B． C． D． 5.两个平面， 两条直线， 满足， 则下列命题正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 6.已知直线平面，有以下几个判断： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； 上述判断中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 7.已知且，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.两条不同的直线m､和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（ ） A．若m，⊥m，则⊥α B．若β，⊥，，则⊥m C．若m，⊥，则m⊥ D．若m，，则m 9.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线 a，在β内总存在直线 b∥a，则α与β的位置关系是 （填“平行”或“相交”） 10.已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题 。 ①，； ②，； ③，； ④，；  ⑤，， 11.如图，在正方体中，与截面的位置关系是 ，与平面的位置关系是 。 平面与平面的位置关系 【要点梳理】 1、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：两个平面 公共点 （2）平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 符号表述： 2、平面与平面平行的性质定理 （1）性质定理1： 两个平行平面，若另一个平面与这两个平面相交，那么两条 平行 符号语言： （2）性质2：两个平面平行，则其中一个平面内的直线 于另一平面 符号语言： 3、二面角定义 （1）定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 （2）符号语言：①二面角 ②在，内分别取两点，(，)，可记作二面角 ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角 4、二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角 5、二面角的平面角的取值范围： 6、平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直 （2）符号语言： （3）图形语言 7、平面与平面垂直的判定 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的 ，那么这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直） （2）符号（图形）语言：， 8、平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）符号（图形）语言：，， 【典例解析】 例1 平面与平面平行的充分条件是（    ） A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线，直线，且 C．内的任何一条直线都与平行 D．直线，且直线不在内，也不在内 【答案】C 【解析】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足。故选：C 变式1 已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( ) A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行 C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交 例2 ，为两个平面，则∥的充要条件是　　 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】对于A，内有无数条直线与平行，或∥∥； 对于B，内有两条相交直线与平行，∥； 对于C，，平行于同一条直线，或∥； 对于D，，垂直于同一平面，或∥。故选B 变式2 已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线 a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线 b，则 a，b 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 例3 设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【答案】C 【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误；对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误；对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误，故选： 变式3 设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（       ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 例4 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(       ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 【答案】D 【解析】如图，A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD，则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角， ∵∠A＋∠BDC＝180°，∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补，故选：D 变式4 若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（     ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【小试牛刀】 1．平面α与平面β平行的条件可以是（  ） A．α内有无数条直线都与β平行 B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C．α内的任何直线都与β平行 D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α 2.判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行（ ） （2）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行（ ） （3）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线（ ） （4）若一条直线同垂直于两个平面，那么着两个平面互相平行（ ） （5）两条直线都平行于同一平面，则这两条直线平行（ ） （6）若a、b异面直线，则有且只有一条直线和a、b垂直（ ） （7）如果a、b异面直线，过空间内任何一点可以作一条直线和a、b相交（ ） （8）若直线与平面不垂直，则直线不可能垂直于平面内无数条直线（ ） （9）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行（ ） （10）若两平面平行于同一条直线，则这两个平面平行（ ） （11）过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的（ ） （12）直线a、b是平面外的两条平行直线，则它们在该平面内的射影平行（ ） （13）两平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行（ ） （14）两两相交的三条直线在同一平面内（ ） （15）若一直线与一个平面内的无数条直线垂直，那此直线与此平面垂直（ ） （16）若直线在平面外，则该直线不可能与平面内无数条直线相交（ ） （17）若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行（ ） 3.点E,F,G,H分别是正方体四条棱的中点，则直线EF与GH 的位置关系是( ) A.平行 B. 相交 C.异面 D.重合 4.若a，b是异面直线，直线c//a，则c与b位置关系是( ) A.异面 B. 平行 C. 相交 D.相交或异面 5.下列各条件能确定空间两条直线平行的是( ) A. 它们没有公共点 B. 它们分别与同一条直线垂直 C. 它们平行于同一平面 D. 它们在同一平面内且不相交 6.如图所示，正方体中。求： （1）AB与所成的角； （2）与BD所成的角 7.如图所示，在下列的正方体 中，M，N分別是棱BC和的中点，则异面直线和MN 所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C.60° D.90° 8.已知平面平面，直线，直线，那么a与b的位置关系是（       ） A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、异面或相交 9.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 10.在正方体中，二面角的大小是 。 11.在长方体中，，，，则二面角的余弦值为 。 第4章自我检测 1．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)： ①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α； ②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α； ③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α； ④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α． 其中表述方式和推理都正确的结论的序号是 (　　) A．①④ B．②③ C．④ D．③ 2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是 (　　) A．相交　　 B．平行　　 C．异面　　 D．平行或异面 3．平面α∥平面β，直线a∥α，则 (　　) A．a∥β B．a在平面β内 C．a与β相交 D．a∥β或a⊂β 4．若∥α，m⊂α，则与m的关系是 (　D　) A．∥m B．与m异面C．与m相交 D．与m无公共点 5．下列结论： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行． 其中正确结论的个数为 (　 　) A．0个　　 B．1个　　C．2个　　 D．3个 6. 设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b (　 　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 7. 下列说法中，正确的是 (　 　) A．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．垂直于同一平面的两条直线互相平行 C．垂直于同一平面的两个平面互相平行 D．平行于同一平面的两条直线互相平行 8如图，在正方体中判断下列位置关系： （1）所在的直线与平面的位置关系是 ； （2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是 ； 9．两个不重合的平面可以把空间分成 部分 10.在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是______ 11.四棱锥S-ABCD底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，正确有______个 ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角 12．如图所示，在正方体中 （1）求A1C1与B1C所成角的大小； （2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 复数 5.1 复数的概念和意义 1．复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做 ，实部是 ，虚部是 （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号 表示，规定i2＝ ，我们把i叫作 。 （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为 （a，b∈R） （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母 表示 注意：复数概念说明：复数集是最大的数集。 2．复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是 ； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是 ； （3）当b≠0时，叫做 ； （4）当a＝0且b≠0时，叫做 。 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）， 我们规定：两个复数相等的充要条件是 与 分别相等。 4．复数的几何意义 （1）复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 （2）复数的几何意义——与点对应 复数（（复平面内的点 （3）复数的几何意义——与向量对应 复数（（ 平面向量 （4）复数的模 向量的模叫做复数）的模，记为或 公式： ，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的 ； 特别的，时，复数是一个 ，它的模就等于 。 （5）共轭复数 ①定义：当两个复数的实部 ，虚部互为 时，这两个复数叫做互为共轭复数。 ②表示方法复数的共轭复数用 表示，即如果，则 。 【典例解析】 例1 复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的虚部是-1，故选： A 变式1 复数的实部是（    ） A．2 B． C． D．0 例2 若为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，时，，所以，故选：C 变式2 设，复数，若为纯虚数，则（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 例3 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限，故选：B 变式3 若复数，则在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4 复数对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】化简可得：复数，因为其对应的点在第三象限内，所以，解得，故选：C 变式4 已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5 若复数满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【解析】因为复数满足，故，故选：B 变式5 复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【小试牛刀】 1.若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2.已知是虚数单位，则-的实部为（    ） A． B． C． D．2 3.在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.设复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 5.复数的虚部的平方是__________ 6.已知为虚数单位．若复数为纯虚数，则实数__________ 7.设，且，则__________ 8.复数的模为，则实数__________ 9.已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是__________ 10.已知复数为纯虚数，则______ 5.2 复数的运算 【要点梳理】 1．复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数。 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： 2．复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则： 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于 相加减， 相加减。 3．复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设，是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， （2）复数乘法满足的运算律：复数乘法的交换律、结合律、分配律 （交换律） （结合律） （分配律） 【典例解析】 例1 已知复数，则等于( ) A．       B．6       C．       D． 【答案】B 【解析】由题可知：，故选：B 变式1 若，则等于（    ） A． B． C． D． 例2 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则．由得，则，所以，，所以，故选：B 变式2 设，则（       ） A． B． C． D． 例3 若复数，则在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】复数，由复数运算可得，在复平面内对应的点为， 所以对应的点在第一象限，故选:A 变式3 ，，为虚数单位，在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D 变式4 若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【小试牛刀】 1．已知是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 3．复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知为虚数单位，则复数　　 A． B． C． D． 5._____ _。（其中i是虚数单位） 6.设，则的虚部为________ 7.若复数，，，则___________ 8.已知，是虚数单位，若，，则________ 9.若，其中，是虚数单位，，则___________ 5.3 实系数一元二次方程的解法 【要点梳理】 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程， （1）当 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 时，方程有两个互为共轭的虚数根。 2．根与系数的关系 如果，是实系数一元二次方程的解， 那么 ， 。 3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 （1）求根公式法 ①时， ②<0时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解。 【典例分析】 例1 x的实系数方程一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，故该方程的另一个复数根是，故选：A 变式1 方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______ 例2 在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程，即，开方得，故选：C 变式2 若x为复数，则方程的解是（       ） A．l或 B．i或﹣i C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i 例3 已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是方程的一个根，是方程的另一个根，，故选：B 变式3 若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1.一元二次方程（ ） A. 有两个不等的实数根 B.有一个实数根、一个虚数根 B. 有一对共轭虚根 D.有两个相等的实数根 2.若关于x的方程无实数解，则（ ） A. B. C. D. 3.（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 4.在复数范围内分解因式：= 。 5.-16的平方根是 。 6.是实系数一元二次方程的一个根，则实数= 。 7.满足方程的z是 。 第5章自我检测 1．已知是虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知的实部与虚部相等，则实数（    ） A．2 B． C．3 D． 3．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（    ） A． B． C．2 D． 6．设复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 7．若复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 8．已知是虚数单位，则复数的实部是 9.______ 10.设，则的虚部为________ 11.若复数，，，则___________ 12.若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________ 13.若，其中，是虚数单位，，则___________. 14.已知，，为实数，若，求 15.（1）方程有一个根为，求实数的值； （2）方程有一个根为，求的值 16.已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数 （1）判断复平面内对应的点在第几象限； （2）计算 17.复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点在直线上 18.已知复数 （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$