9.1.2三角形的内角和与外角和课件 2023—2024学年华东师大版数学七年级下册

9.1.2三角形的内角和与外角和 华师大版 七年级 下册 1.掌握三角形的内角和定理、三角形外角的性质，理解直角三 角形的两个锐角互余的性质. 2.会用三角形的内角与外角的性质来进行相关计算或比较. 学习目标 A B C D 相邻的 内角 三角形的外角 2.你还记得三角形外角的定义吗？ 不相邻的内角 不相邻的内角 1.你还记得三角形的内角和是多少吗？ 新知导入 将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？ 折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角. 可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角. A B C 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 新知讲解 你有什么办法可以验证它呢? 方法一:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？ 探索1.三角形的内角和. 1 2 3 2 1 图1 1 2 3 2 3 图2 2 3 1 如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？ 方法一： 证明:作CE∥AB ,并延长BC到D， ∴∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等) ∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等) ∵∠1+ ∠2+ ∠ACB=180° (平角定义) ∴∠A+ ∠B + ∠ACB=180° (等量代换) 2 1 2 3 1 已知：∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角， 证明：∠A +∠B +∠C =180° 2 1 E D C B A 辅助线 辅助线有什么意义呢？ 虚线 当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。 2 1 E D C B A F 2 1 E C B A 已知： ∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角， 证明：∠A +∠B +∠C =180° 1 2 3 3 2 方法二： 证明:过点A作EF∥BC ∴∠B=∠2，∠C=∠1 （两直线平行,内错角相等）∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) 提炼概念 文字语言：三角形的内角和等于180° 符号语言： ∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角 ∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等180°） 三角形的内角和定理 多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 想一想 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在直角△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC 探索2：三角形的外角与内角有什么关系呢？ 思考：三角形的一个外角与相邻的内角有什么关系呢？ ∠ACD(外角)+∠ACB(相邻的内角)=180 ˚（互补） 思考：三角形的一个外角与不相邻的两个内角又有什么关系呢？ 外角 相邻的内角 不相邻的内角 在一张白纸上画出如图所示的图形，然后把 ∠1、∠2剪下拼在一起，放到∠ ４上，看看会出现什么结果？ 发现： ∠１＋∠２＝∠４ 为什么？ ∠ACD+∠ACB=180° ∠A+∠B+∠ACB=180° 所以， ∠A+∠B=∠ACD A B C 方法1 2 1 E D C B A 证明:作CE∥AB，并延长BC到D ∴∠1= ∠A ∠2= ∠B ∴∠1+∠2= ∠A+∠B ∵ ∠1+∠2=∠ACD， ∴ ∠ACD= ∠A+∠B 方法2 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？ A B C D 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∠ACD= ∠A+ ∠B ∠ ACD+ ∠ACB=180° 三角形的一个外角与任何一个与它不相邻的内角之间又有什么关系呢？ 外角+相邻的内角=180 ˚ 与三角形每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和，如图所示∠1+∠2+∠3就是三角形外角和. 三角形外角和的定义： （ 1 ∠1+ =180° ∠2+ =180° ∠3+ =180° 三式相加可以得到 ∠1+∠2+∠3+ + + = 。 ① 而 ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180° ② 由①②比较得到 ∠1+∠2+∠3=360° （ 1 如图所示 ∠BAC ∠ABC ∠ACB ∠BAC ∠ABC ∠ACB 540° 由此可知，三角形的外角和是 360° 典例精讲 例：D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°∠BAC=70° 求： （1）∠B的度数（2）∠C的度数 解:(1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知） ∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) 又∵∠B=∠BAD（已知） ∴∠B=80° =40°（等量代换） （2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和是180°) ∴∠C=180°-∠B-∠BAC(等式的性质) =180°-40°-70° =70° 归纳概念 总结： 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。 必做题 1．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( ) A.45° B.60° C.75° D.105° C 课堂练习 选做题 2.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。 ∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1 ∴∠3 >∠1 解：∠3 > ∠1 综合拓展题 E D C B A 1 2 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D （三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） 又∵∠2＝ ∠B+ ∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C =∠1+∠2+∠C=180° 3.如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？ 三角形内角和与外角和 三角形的 内角和 三角形内角和等于180 ° 直角三角形的两锐角互余 三角形外角和 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 课堂总结 必做题 1.已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°，∠ACB=60°，则∠DAE=______． 15° 作业布置 选做题 2．如图，D是△ABC中的BC边上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数． 解：设∠1＝∠2＝x°，∵∠4是△ABD的外角，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2x°， 又∵∠BAC＋∠3＋∠2＝180°，∴66°＋2x°＋x°＝180°，∴x°＝38°，∴∠DAC＝∠BAC－∠1＝66°－38°＝28° 综合拓展题 3.已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. （三角形内角和定理） 解：设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x ∴x＋2x＋2x＝ 180° 解得x＝36 ∴∠C＝2×36°＝72° ∴∠DBC＝180°－90°－72°（三角形内角和定理） 在△BDC中，∵∠BDC＝90° (三角形高的定义） ∴∠DBC＝18° $$