1.2 空间向量基本定理（五大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.2 空间向量基本定理 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 题型一 基底的判断 1．正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 5．（多选）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．可以为任意向量 B．对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C．若，则 D．可以构成空间的一个基底 7．（多选）空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 题型二 用基底表示向量 8．在四棱锥中，若，则实数组可能为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    12．在棱长为2的正四面体中，为的中点，则． 13．如图，在平行六面体中，，，，，设，，． (1)用向量表示； (2)求． 14．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型三 正交分解 15．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 16．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 19．（多选）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 20．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 题型四 求线段长 21．在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 22．如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为 . 23．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 24．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．    (1)用向量，，表示向量； (2)求的长． 25．三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 26．如图（1），在中，，CD为的平分线，，，过点B作于点N，延长后交于点E，把图形沿CD折起，使，如图（2）所示，求折起后所得线段的长度．    题型五 两线夹角及垂直问题 27．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 28．一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 29．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 30．如图，在平行六面体中，，，，．则与所成角的余弦值为 ．    31．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 32．如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 33．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 题型一 基底的判断 1．正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A 2．已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 又， 显然A，B，C三个选项中的向量都与共面， 而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的． 故选：D． 3．（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 4．（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 5．（多选）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意； 对于B，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意； 对于D，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意. 故选：BCD 6．（多选）设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．可以为任意向量 B．对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C．若，则 D．可以构成空间的一个基底 【答案】BD 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，所以为不共面的非零向量，A不正确； 对于B，由空间向量基本定理知，对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使，B正确； 对于C，，但不一定垂直，C不正确； 对于D，假设共面，则存在唯一实数对，使得， 所以，无解，所以不共面， 所以可以构成空间的一个基底，D正确. 故选：BD. 7．（多选）空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 【答案】ACD 【详解】因为为空间的一个基底，所以O，A，B，C四点中任意三点不共线，且四点不共面， 若O，A，B，C四点共面，则为共面向量，不可能构成空间基底， 所以选项B错误，ACD正确. 故选：ACD 题型二 用基底表示向量 8．在四棱锥中，若，则实数组可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，A可能取得； 选项B，若，则，B错误； 选项C，若，则，C错误； 选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，D错． 故选：A． 9．如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， . 故选：D 10．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 11．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 12．在棱长为2的正四面体中，为的中点，则． 【答案】1 【详解】在棱长为2的正四面体中，为的中点， 则，而， 所以 . 故答案为：1 13．如图，在平行六面体中，，，，，设，，． (1)用向量表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意. （2）由题意， 因为，，，， 所以， 所以. 14．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）因为点E为的中点， 所以． （2）因为， 所以 . 题型三 正交分解 15．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 16．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 17．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 18．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 19．（多选）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【答案】ACD 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确． 因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误． ，C正确． 因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确． 故选：ACD 20．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 题型四 求线段长 21．在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】， , , 所以. 故选：A 22．如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为 . 【答案】 【详解】取，，为一个基底，，，， ∴ ， 故答案为：. 23．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 24．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．    (1)用向量，，表示向量； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点为的中点，所以， 所以； （2）因为点在线段上且， 所以， 所以， 所以， 因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面 所以，，， 则， ， ． 25．三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，， 则，， 因此 . （2），， 则，同理得， 所以 . 26．如图（1），在中，，CD为的平分线，，，过点B作于点N，延长后交于点E，把图形沿CD折起，使，如图（2）所示，求折起后所得线段的长度．    【答案】 【详解】如图，过点A作交CD的延长线于点M，    由题意可知， 则， ， ∴． ，，且， 由于，，且平面，故， ∴． ∵，∴．同理． ∵， ∴ ， ∴，即折起后所得线段AB的长度为. 题型五 两线夹角及垂直问题 27．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 又由正八面体的棱长都是1，且各个面都是等边三角形， 在中，由，可得，所以， 所以 ， 所以，所以，则. 故选:A. 28．一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设， 则 ， ， 则 ， ， ， 所以， 即与所成角的余弦值为. 故选：D. 29．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 30．如图，在平行六面体中，，，，．则与所成角的余弦值为 ．    【答案】0 【详解】在平行六面体中，设， 则，， 于是 ， 因此，， 所以与所成角的余弦值为0． 故答案为：0 31．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明见详解 【详解】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 32．如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【答案】证明见解析 【详解】因为⊥，⊥，⊥， 所以， 因为分别是的中点， 所以． 因为分别是的中点， 所以 ， 故 所以⊥，得证． 33．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$