2.4.1 圆的标准方程（word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

一、选择题 1.点（2，－3）与圆（x＋3）2＋（y－1）2＝4的位置关系是（　　） A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.无法确定 答案　C 解析　由（2＋3）2＋（－3－1）2＝41＞4，得点（2，－3）在圆（x＋3）2＋（y－1）2＝4外.故选C项. 2.圆心在y轴上、半径为1且过点（1，2）的圆的标准方程是（　　） A. x2＋（y－2）2＝1 B. x2＋（y＋2）2＝1 C.（x－1）2＋（y－3）2＝1 D. x2＋（y－3）2＝1 答案　A 解析　设圆心为（0，b），则圆的方程为x2＋（y－b）2＝1，又点（1，2）在圆上，所以1＋（2－b）2＝1，解得b＝2，故圆的标准方程是x2＋（y－2）2＝1.故选A项. 3.（多选）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（　　） A. x2＋y2＝5 B.（x－1）2＋（y－3）2＝5 C. x2＋（y－2）2＝5 D.（x－1）2＋（y＋1）2＝5 答案　AD 解析　由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则（2－a）2＋（1＋a）2＝5，解得a＝0或a＝1，所以所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或x2＋y2＝5.故选AD项. 4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　圆的圆心为（－a，－b）.因为直线经过第一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，所以圆心位于第四象限.故选D项. 5.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52 答案　B 解析　结合圆的性质可知，原点在圆上，且圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.故选B项. 二、填空题 6.若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为　　　　. 解析　与点（1，0）关于直线y＝x对称的点为（0，1），故圆C的圆心为（0，1），半径为1，其标准方程为x2＋（y－1）2＝1. 答案　x2＋（y－1）2＝1 7.圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是　　　　. 解析　由可得即圆心为（2，4），又圆过原点，所以圆的半径r＝＝2，故圆的标准方程是（x－2）2＋（y－4）2＝20. 答案　（x－2）2＋（y－4）2＝20 8.圆（x－1）2＋（y－1）2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为　　　　. 解析　圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的圆心为C（1，1），则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1. 答案　＋1 三、解答题 9.求以A（2，2），B（5，3），C（3，－1）为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 解析　设所求圆的圆心为（a，b），标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）， 则有解得 所以△ABC的外接圆的标准方程为（x－4）2＋（y－1）2＝5. 10.已知点A（－1，2）和B（3，4）. （1）求线段AB的垂直平分线l的方程； （2）求以线段AB为直径的圆的标准方程. 解析　由题意得线段AB的中点C的坐标为（1，3）. （1）因为A（－1，2），B（3，4）， 所以直线AB的斜率kAB＝＝. 因为直线l垂直于直线AB， 所以直线l的斜率kl＝－＝－2， 所以直线l的方程为y－3＝－2（x－1），即2x＋y－5＝0. （2）因为A（－1，2），B（3，4）， 所以｜AB｜＝＝＝2， 所以以线段AB为直径的圆的半径r＝｜AB｜＝. 又圆心为C（1，3），所以所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝5. 11.（多选）过点A（1，－1）与B（－1，1），且半径为2的圆的方程可以为（　　） A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x－1）2＋（y－1）2＝4 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 D.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 答案　BC 解析　因为圆过点A（1，－1）与B（－1，1），所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中kAB＝＝－1，设圆心所在的直线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1，又因为A（1，－1）与B（－1，1）的中点坐标为（0，0），所以直线l为y＝x，设圆心坐标为（m，m），因为半径为2，所以圆的方程为（x－m）2＋（y－m）2＝4，代入A（1，－1）得（1－m）2＋（－1－m）2＝4，解得m＝±1，综上，圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4或（x＋1）2＋（y＋1）2＝4.故选BC项. 12.直线y＝x＋2a与y＝2x＋a的交点P在圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　） A. B.∪（1，＋∞） C. D.∪[1，＋∞） 答案　A 解析　由解得P（a，3a），所以（a－1）2＋（3a－1）2＜4，解得－＜a＜1.故选A项. 13.以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程为　　　　. 解析　令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝2，所以直线与两坐标轴的交点坐标为A（0，4）和B（2，0），以点A为圆心过点B的圆的方程为x2＋（y－4）2＝20，以点B为圆心过点A的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 答案　x2＋（y－4）2＝20或（x－2）2＋y2＝20 14.已知圆C：（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是　　　　. 解析　由题意得，圆C的圆心坐标为（2，4－m），半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，dmin＝1，所以所求的最短距离是1. 答案　1 15.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 答案　ABD 解析　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A项正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝36－40＝－4＜0，所以2k2－6k＋5＝0无实数根，B项正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，所以经过点（2，2）的圆Ck有两个，C项错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D项正确.故选ABD项. 16.已知直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，求△OAB内切圆的方程. 解析　直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，如图所示. 由题意设△OAB的内切圆的圆心为M（m，m）（0＜m＜3）.直线方程＋＝1可化简为3x＋4y－12＝0，由点M到直线l的距离等于m，得＝m，解得m＝1（m＝6舍去）.故△OAB内切圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$