培优训练(1) (范围：1.1～1.3)（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

培优训练（一） 答案见Pa (范围：1.1~1.3) 基础训练川 7.如图，在平行六面体ABCD-A,B,CD中，G为 一、选择题 BC的中点，AG=xAB+yAD+:AA,则x十 L.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，点F y十x :若该六面体的棱长都为2， 是侧面CDD,C的中心，设AD=a,AB=b,A4 ∠BAD=∠AAB=∠AAD=60,则AG= c,则AF 8.在三棱锥O-ABC中，M,N,P,Q四点分别为棱 OA,AB,BC,OC的中点，则以下表述正确的序号 是 C.-a+zb+ze n.2a+b叶c ①若Oi·BC-0,O店.AC-0,则O元.AB=0: ②MN-QP: 2.已知空间向量a=(一1,2，x),b=(3,一6，一3)， ③若1OB=AC,则Mp.NQ-0: 且a∥b,则x= ④AM-AP-AN-AQ. A.9 B.-1 C.1 D.-9 三、解答题 3.对于空间一点O和不共线三点A,B,C,有6OP= 9.如图，在正四面体O-ABC中，OA=6,M为棱 OA+2OB+3OC,则 OA的中点，N为棱BC(靠近C点)的三等分点， A.(O,A,B,C四点共面 设OA=a.OB=b.OC=e. B.P,A,B,C四点共面 (1)用a,b,c表示AV; C.O,P,B,C四点共面 (2)求OM·AV: D.O,P,A,B,C五点共面 (3)求MN的长. 4.(多选)已知空间向量a=(1,1,1),b=(一1,0， 2),则下列结论正确的是 ( A.a+b=(0,1,3) B.|a=3 C.a⊥b Da,b=至 5.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解 立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直 三棱柱.在堑堵ABC-ABC1中，AB=AC= AA=2,P为B,C的中点，则AC·BP A.6 B.-6 C.2 D.-2 二、填空题 6.已知点A(-2,一1，-3)，B(1,3,9),若a是与 AB反向的单位向量，则a一 ·119. 10.棱长为2的正方体中，E,F分别是DD,DB的 a,e)=子，.e)=吾N是AB的中点。 中点，G在棱cD上，且CG=号CD,H是CG (1)用a,b,c表示向量AV: 的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列 (2)在线段CB上是否存在点 问题： M,使AM⊥AN?若存在，求出 (1)求证：EF⊥B,C: D M的位置：若不存在，说明理由. (2)求cos(EF,CG>: (3)求FH的长. ‖拓展探究 I能力提升 15.(多选)金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1 11.已知a=(1,1,0),b=(1,1,1),若b=b+b, 所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结 b∥a,b⊥a,则向量2b-3b的坐标为() 构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相 A.(2,-2,-3) B.(2,-2,3) 邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立 C.(-2,-2,3) D.(2,2,-3) 体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布 12.(选)已知a=(2,一1,2)，b=(2,2.1),则 在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个 碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位 ( 置，如图2所示，即图2中有AE=BE=CE= A.a,b的夹角为锐角 B.a十b与a一b相互垂直 DE.若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结 论正确的是 () C.a+b=la-bl D.以a,b为邻边的平行四边形的面积为√65 13.如图，在三棱柱ABC-A,BC中，P为空间一 点，且满足B驴=ABC+uBB,a∈[O,1门，则 下列结论正确的序号是 图】 图2 ①当λ=1时，点P在棱B那上： ②当牡=1时，点P在棱 AB=⑤ 4 BEA+E成+E式- BC上 Cos(ECEB=号D.A正·Ai=2 ③当λ十：=1时，点P在线 段B,C上： 16.如图，在长方体ABCD-ABCD 中，点E,F分别在棱DD1,BB ①当λ=：时，点P在线段BC,上 上，且EF⊥AE.若AB=2,AD= 14.如图所示，在三棱柱ABC-A1BC中，CA=a 1,AA1=3,则BF的取值范围是 CB=b,CC=e.CA=CB=CC=1,a,b)= ·120故x的取值范围是(-2)U(.+。). 5.A 解析根据堵的几何性质知AB1AC,AA 1AB,AA上 AC因为AC-AC+A,B=B+BCA+ 15.解因为AC-AB+BC-(cos a+sina.cos a.-sina),所 以ACl?=(cos a十sin a)?+cos{}a十(-sina)?-2十 ##CA,所以AC·-(AC+A)#[A+(A- sin23,所以AC|的最大值为③ AB-AA+A-A·AB+AA+AC. 警3 16.解析(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系, A-A·AB-2十4-6.故选A项. 则A(0.0.0),B(3.0.0).C(3,1.0),D(0,1,0),P(0.0 2).E(o.,1),从而AC-(V3,1.0),PB=(V3,0.-2). 6.解析由题意知,AB-(3,4.12),则AB-9+16+144-13. 黑(-3.-4.-12) 7.解AG-AB+BG-AB+AA+BC-AB+AD+ (2)由于点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0 ),则NE-(-,,1-). N.Ap-0. 因为AG-AG-(AB+AD+AA)-AB+A+ 由NE平面PAC可得 .AC-0. AA+AB·AD+2AB·AA+AD·AA-2*+x2*+ [(-,1-~)·(0.0,2)-0. 即 (-1-~)·(v3,1.0)-0. 2+2×2cos60+2×2×2cos 60*+2×2cos60*-17. 所以AG-V17,即AG-V17. 智17 1~-1-0. _# 化简得 #1#以{# 6'即当点N的坐标为 一1. 8.对于①.O·BC-o,即O·(0-0B)-0.0:AC 0.即O(0-0)-0,两式相减得O·0-O.- 0.即OC·BA-0.正确;对于②,连接MN.NP,PQ.QM,如 培优训练(一) 图,M,N.P.Q四点分别为校OA,AB,BC.OC的中点,则 MN/OB/PQ,且MN-OB-PQ,则四边形MNPQ为 1.A 由题知,点F是侧面CDDC。的中心,所以F为 DC的中点,则A-AD+D-AD+DC-AD+ 平行四边形,故M-QP,正确;对于③,由OB一AC|可 知,平行四边形MNPQ为菱形,故MP·NQ-0,正确;对于 #(DD DC)#-AD+(AA+AB)-a+b+.故 ④.AM-AP-PM,AN-AQ-QV,两向量所在直线为平行 选A项. 四边形MNPQ的对角线所在直线,两向量不共线,故PM 2.C 翻因为空间向量a-(-1,2.x),b-(3,-6,-3),且a/ QV.错误,故正确表述的序号是①②③. 3.B 由6OP-OA+2OB+3OC,得OP-0A-2(OB- OP)+3(OC-OP),即AP-2PB+3PC.所以AP.PB.P 共面,又它们有公共点P,所以P,A,B.C四点共面.故选 B项. 4.AB 因为a=(1,1,1),b=(-1,0,2),所以a+b=(1. 答①②③ 1,1)+(-1,0,2)-(0,1,3),故A项正确;|a| 9.(1)AN-AO+ON--a+OB+BN--a+OB+ 1+1+1-3,故B项正确;a·b-(1,1,1)·(-1,0. 2)=-1+0十2-1-0,所以a,b不垂直,故C项错误; cos(a,b)-a.b Ta b ③x/5 15 (2)由(1)知O·A-1a.(-a+寸b+3) 故选AB项. ·231· #-+.b)#<# (1.1,0),b-(0,0,1),所以2b-3b-(2,2,0)-(0,0,3) (2.2.-3).故选D项. #3+#$6×6+3#$6×6× 12.ABD a-(2.-1,2),b-(2,2,1),则lal=$b-3 --18+3十6--9. a·b-2×2-1x2+2×1-4. (3M-OV-oM ##B+##-0}ceb)-。 b-(4,1,3),a-b-(0,-3,1),则(a+b)·(a-b)-4x0+ $$(-3)+3x1-0,所以a十b与a-b相互垂直,故B项正 所以 MN1*-(-1a+b+2-) 确;a+b=4+1+3-26,a-b= +-3)+1 #-+6++2.(-号)·a·b(-)· 10,即a十ba-bl,故C项错误;因为(a,b)é(0,) 则sin(a.b)-1-cos(a.b-65. #.#. 9 ,故以a,b为邻边的平 -×36+×36+4×36-6-12+8-19. 9 确,故选ABD项. 所以M-19. 13.解当=1时,BP-BC+BB,所以CP=BB,则CP/ 10.解析(1)证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD.分别为x, BB,即P在梭CC 上,故①错误;同理当n-1时,BP/ y,:轴,建立空间直角坐标系Dxy, BC.故P在校BC上,故②正确;当a+-1时,-1-,所 ## 以BP-BC+(1-BB,即BP-BC.故点P在线段 B$C上,故③正确;当$-时,BP=(BC+BB)=BC 故点P在线段BC;上,故④正确. 答②③④ 14.(1)因为N是AB的中点,所以AN-- 1 则D(0,0.0).E(0,0,1).F(1,1,0).C(0,2,0),C(0.2.2). 所以AN-AA+AN-CC+AB--+(CB B.(2.2.2)G(o.4.o). ##A)--△1a+b6--.# 因为EF-(1.1.-1)BC-(-2.0.-2), (2)假设存在点M,使AM|A. N,设CM-aC.B(E[0 所以E·BC-(1,1.-1)·(-2.0,-2)=1X(-2)+1Y 1]),显然CB-b,AM-A+AC+CM--a+ 0+(-1×(-2)-0. ab,因为AMIA.N,所以AM·A.N-0. 所以EFBC.故EF1BC. 即(c-a十b)·(-a+b-)-0. (2)因为CG-(o.-.-2),所以CG-2T0 #所以-_a.b-c+-.ca- 因为Er-3,且·c-(1.1.-1)·(o.-,-2)- #b一b·c0. # 因为CA-CB-CCc,-1.(a,b)-(a.vc)2-.(b.e)吾, 所以co(.C)-. #所以d ·-+a-(+1)·bb-一0, [EFCG] 3.21031 3 即xxx(--1*+×1-(+)#xi1 3-30 2303015 $#(-)+·1-0.解得a-}, (3)因为H是C.G的中点,所以H(o.,1). 所以当CM-C.B时,AMLAN. 又因为F(1,1.0),所以H-(1.-2,-1), 15.BD 解析由题意得E是四面体ABCD外接球的球心,设 O是顶点A在下底面的射影,AO是四面体的高,OB是 11.D 解因为b/a.所以设b=(m,m,0),因为b-b+ b,所以b-b-b-(1,1,1)-(m,m,0)=(1-m,1-m, 故A项错误;因为AE=BE-DE,所以EA+EB--(FC+ 1),因为b |a,所以1-m+1-m+0-0,解得m=1,则b= ED),所以EA+EB+EC+ED-o,所以EA+EB+ECl ·232· ## ----,故C项错误:A·An-A-2. 故D项正确.故选BD项. 16.解以点C 为坐标原点,C.D.C.B.C.C所在直线分别 为工,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,1 0).设E(2.0.m),F(0.1,n),0<m<3.0<n<3,则AE 设乎面ABE的法向量为n-(x,y,), (0.-1.m),EF-(-2.1.n-m).因为EF1AE,所以AE (-by-0. 司 n.AE-0." EF-0,即-1+m(n-m)-0,化简得m-1+m^{,当m-o #-# 1+m2,当且仅当m-1时, 时,显然不符合题意,故n- 令x-2,则y-0,x--.即n-(2.0,-). 7n 等号成立.故B.F的最小值为2.所以2 B.F 3,即BF #C-(-,0,-o)所以n.CF-o. 的取值范围是[2,3]. 又.C.FC亡乎面ABE,所以CF/乎面ABE 10.如图,建立空间直角坐标系Dxw,A(1.0.1),B(1.1,1) C(0.1.D),A(1,0,0),D(0,0.0).C(0.1.0),则AC=(-1,1 ).BC=(-1.0,-1.DA=(1,0.1),BA-(0.-1,-1). 答案[2,3] 课时作业(七) 1.C a-(1,-3,2)--2(-1.3,-1).故选C. 设AE-AC.A.F-A.D.BM=BA(,ER.且 2.D 解因为a/B,所以B的法向量与a的法向量平行,又 均不为0). (4,-2,-2)-2(2.-1,-1),所以D项符合题意,故选D项. 设n=(x,y,z),n-(x,y,z)分别是平面AEF与 3.D由/得一,解得1-6.-.故选D_项。 平面B.MC的法向量, 4.A 解由条件知a·-2×1+5x1+7×(-1)-0,所以 即 则 [-+y-0. n.A-。.“ n.DA-0. an,故l/a或/a.故选A项. .x.十-0. 5.A 解由题意得a/b,则有a-xb,即2=一4,解得入 所以可取n-(1,1,-1). -1,所以 (n:.BM-o. & 可得 ---0. 6r--6. n.BC-o. n.BC-o. -一-0. 6.解因为l/a,所以/的方向向量与a的法向量垂直,所以 所以可取n-(1,1,-1),所以n=n,所以n/n, . (2.m,m)·(1,1,2)-2+m+2m-0,所以m-- 所以平面AEF/平面BMC. 图 11.AC 因为AD-(0.1,0),ABIAD,AA 1AD,又ABO AA=A,所以AD平面ABBA,所以A项正确;因为CD 7.解由题意可得,a·n-(-1,-1,1)·(2,2,4)-0,则// (-1,0.0),而(1.1.1)·CD--10,所以(1,1.1)不是平面 或/C. 智翻/a或1Ca B.CD的法向量,所以B项不正确;因为BC-(0.1,-1). CD-(-1.0.1).(1.1.1)·BC-0.(1,1.1)·cD-0. 8.解AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),n·AB-(-1,-1. -1)·(0,1,-1)=-1x0+(-1×1+(-1x(-1=. B.COCD-C,所以(1,1,1)是平面BCD.的一个法向量, n·AC-(-1,-1,-1)·(1.0.-1)=-1x1+0+(-1x 所以C项正确;因为BC-(0.1.1),而BC·(0.1.1)-2 (-1)-0,所以nAB,nAC.又ABOAC-A,所以n也为。 0.所以(0,1,1)不是乎面ABCD.的法向量,所以D项不正 的一个法向量,又a与③不重合,所以a/B 确,故选AC项. 12.B 由题意得,AB-(-3.-3.3).CD-(1.1.-1).所 答平行 以AB--3CD,所以AB与CD共线,又AB与CD没有公共 9.面明如图,以B为坐标原点,分别以BC,BA,BB;所在直线 为文轴、y轴、:轴建立如图所示的空间直角坐标系,设BC一a. 点,所以AB/CD.故选B项 AB-b.BB-c,则B(0.0.0).A(0,b.0).C(a.0,c). 13.AC 对于A项,记点A(2.3.3),PA-(1,4.1).PA· n-2-4十2-0,点(2,3,3)在平面a内;对于B项,记点 ##). B(3.-3,4),PB-(2.-2.2).PB·n-4+2+4-0.点(3. -3.4)不在平面a内;对于C项,记点C(1,3,4),PC-(0. ·233·