课时作业(4) 空间向量基本定理的应用（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（四） 空间向量基本定理的应用 答案见P 基础训练川 7.在三棱柱ABC-A,B,C中，M,N分别是A,B. 一、选择题 BC上的点，且BM=2AM,CN=2B,N.若 1.设a,b,c是不共面的三个非零向量，AB=2a十3b十 ∠BAC=90°，∠BA4=∠CAA1=60°，AB=AC= 2x,CD-a+b十c.则不重合的直线AB与CD AA=1,则MN= 8.在正方体ABCD-A,B,C,D中，O是底面正方 ( 形ABCD的中心，M是DD,的中点，N是AB的 A.相交 B.平行 中点，则直线ON与AM的位置关系是 C.垂直 D.无法判断位置关系 三、解答题 2.在正方体ABCD-A,BC1D,中，E是CD的中 9.如图所示，已知正四面体ABCD的棱长均为1， 点，则直线AB和CE所成角的余弦值为() 点E.F,G分别是AB,AD,CD的中点，设AB A R号 a,AC=b,AD=c,{a,b,c为空间向量的一个基 底，计算下列各式的值. c D 3 (1)EF.BA:2)1EG. 3.如图，在平行六面体ABCD-AB:CD中，底面 是边长为1的正方形，若∠AAB=∠AAD= 60°，且AA=3,则AC的长为 ( D D A.5 B.22C.14 D.7 4.若AB=ACD+:CE,则直线AB与平面CDE的位 置关系是 A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 5.如图，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6, AC=4,BC=5,∠OAC=45°，∠OAB=60°，则 OA与BC所成角的余弦值为 A3-2② B22 5 6 c号 2 二，填空题 6.在正方体ABCD-A:BCD中，直线AC与 BC所成角的余弦值为 ·113 10.如图所示，在正方体ABCD-A1BCD,中，E, 14.棱长为a的正四面体ABCD中，E,F分别为棱 F分别是CD,DD的中点，正方体的棱长 AD,BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的 为1. 大小是 线段EF的长度为 (1)求《CE,AF)的余弦值： 川拓展探究川 (2)求证：BD⊥EF 15.(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD-A:B,CD,其中，以顶点A为端点的 三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下 列说法中正确的是 A.AC=6/6 B.AC1⊥DB C.向量B,C与AA的夹角是60 D.BD,与AC所成角的余弦 值为 16.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD 是菱形，∠ADC=60°，AC与BD交于点O,ECL 底面ABCD,F为BE的中点，AB=CE 能力提升川 (1)求证：DE∥平面ACF: 11.如图，已知正三棱柱ABC-A1B,C的各条棱 (2)求异面直线EO与AF所成角的余弦值. 长都相等，M是侧棱CC,的中点，则异面直线 AB,和BM所成的角的大小是 A.30°B.45 C.609 D.90 第11题图 第12题图 12.(多选)如图所示，在平行六面体ABCD-A,B,CD 中，点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点，若 平行六面体的各棱长均相等，则 A.AM∥D,P B.A,M∥BQ C.AM∥平面DCCD D.A1M∥平面DPQB 13.如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A:BCD中，F为4 BD的中点，G在棱CD上，且 G=CD,H为CG的中 点，则FH= ·114所以AB·AD=(b-a)·(c-a)=lal>0, AA)--AD+AD·AA-AA·AD+AA* D·DB=(DC+C).(DC+CB)=cl0. -4*+-0. 故ONIAMP即 ONIAM 同理BA·BD-b}0,所以△ABD为锐角三角形. 垂直 课时作业(四) 9.解析(1)由题意得a-b-c =1,a·b-a·c-b·c= 1.B 由已知可得AB-2CD,所以AB/CD,又AB与CD #,为EFF-A--aB- 不重合,所以直线AB与CD平行,故选B项. 所以t·-(-a)#(-a)#-+-. 2.B 设AB=1,则由CE=CC+CE-DD-DC,得 (2)因为EG-AG-A-(b+c)-a #AB$CAB.(DDD)#-###,故 所以F-(b-a)2}-4+6++b #-.--)# 所以#-#。# 3.A 因为AC-AA+AB+BC-AB+AD-AA. 所以AC=(AB+AD-AA)-A+AD+AA+2AB 10.(1AF-AD+DF-AD+AA.CE-C+CE AD-2AB·AA-2AD·AA -1+1+9+2X0-2X1X3X #-2×1x3×-5.所以/A.C-、V.故选A项. A+CD-A-AB 4.D 因为AB-&CD+CE,所以AB.CD.CE共面,则 因为AB·AD-0.AB·AA-0.AD·AA-0. AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内,故选D项. 所CE·AF-(AA-AB)·(AD+AA)- 5.A 易知OA·BA-8$6cos 60{=24.O·AC-8$ #AF-CE.所以cos(CEAF-2. 4cos135*}=-16v②,设异面直线OA与BC的夹角为0,则可 #.B0A.(B+A)24-16 得cos)一 (2)证明:BD-BD+DD-AD-AB+AA,E-ED+ OAl]BC| OA||BC 8X5 3-2.故选A项. 7-(A)# 6.翻设AB-1.则由AC-AB+AD+AA,得BC·AC 所以BD·EF-0.所以BD i 11.D 不妨设校长为2.则AB-BB-BA,BM-BC+ BC$(AB+AD+AA )-0+1+0=1,又易知lAC |-3 (BB-BA).(BC+BB) 1B.cos(AB,BM)- 33 |AB|BM #### 0-2十2-0-0,故AB和BM所成的角为90{故选D项. 2/2xv5 答 12.ACD AM-AA+AM-AA+AB.DP= 7.如图,设AB-a.AC-b.AA一 DD+DP=AA+AB.所以A.M/D P$A.M与D P C.则M-MA+A.B+B N= 1B+AB+BC-(A- 无公共点,所以A.M/DP,由线面平行的判定定理可知, A. M/平面DCCD.A.M/平面DPQB.故选ACD项. #A)+A+寸(A-AB)- 13.设AB-a.AD-b,AA-c,则a·b=b·c=c·a=, $l-a-1,lbl}=-1,l l-=1,所以FH-FB+ C+CC+Cn-(a-b)十b+e+4C-(a-b) +c+2a·b+2a·c+2b·c-1+1+1+0+2×1x1 ##e+3(--a)-3a+b+,以1Fil一 (3)-0+0f- bel- 翻 所以FH-4 8.AM-AD+AA,ON-OA+AA+AN -(AD+AB)+A+AB--AD+AA. 14.设AB-a,AC-b.AD-c,则a,b.c)是空间的一个基 设AB-a,则AM·oN-(AD+AA)·(-AD+ 底,所以al-lb-lcl-a,a·b-a·c-b·c= ·228· 因 EF-AF-A-(a+b)-c,所以EF·AB-a+ Pl,P,Pa,它们在坐标轴上的坐标分别是,5.,4,故点P的 #,#(#)_# 坐标是(3,5,4).故选C项 #1# 4.B 解根据空间中点的坐标确定方法知,空间中点(1,2 所以cosEF,AB)A ##。。# 一3)在坐标平面Oy上的投影坐标的横坐标为0,纵坐标与 IEF|AB 竖坐标不变,所以空间向量a-(1,2.一3)在坐标平面Oy 上的投影向量是(0,2,一3).故选B项 直线EF与AB所成的角为哥. 5.A 0A-8G+)+6(+k)+4(k+i)-12+14+10k- (12.14,10).故选A项. # 6.解在空间直角坐标系中,点(一2.1,4)关于x轴对称的点 15.AB 因为以顶点A为端点的三条校长均为6,且它们 的坐标为(-2,-1,-4). 彼此的夹角都是60{,所以AA·AB-AA·AD-AD. 智翻(一2,-1,-4) AB=6X6Xcos 60*-18(AA+AB+AD):-AA+AB 7.解点P(1,2,-1)在坐标平面Oxx内的射影为B(1,0. -1),所以x =1,y=0, =-1,所以x +y+-1+0-1-0 AD+2AA·AB+2AB·AD+2AA·AD-36+36+ 智朗0 36+3X2X18=216,则|AC|-AA+AB+AD -66. 8.解析因为i.j,k是单位正交基底,所以根据空间向量坐标的 所以A项正确;AC·DB=(AA+AB+AD)·(AB-AD 概念知a-(3,2.-1),b-(-2,4,2). A.A-AA·A+A-AB·A+AD·AB 智(3.2.-1).(-2,4.2) 9.解正方体DABC-D'A'B'C'的极长为a,且E,F,G,H. AD-0,所以B项正确;显然△AA.D为等边三角形,则 I.I 分别是梭CD,DA',A'A,AB,BC.CC的中点,所以 AA D-60{,因为BC-AD,且向量AD与AA的夹角是 正六边形EFGHI各顶点的坐标为E(o,,a),F( 120{,所以BC与AA.的夹角是120{},所以C项不正确;因为 BD-AD+AA-ABAC-AB+AD.所以BB1 o.a),G(a,o,),H(a,,o),1(,a,o),j(o.a,). (AD+AA-AB)=6V2.AC|-(AB+AD):-63. 10.期因为PA-AD-AB-1,所以可设AB-i.AD-1A$ BD ·AC-(AD+AA-AB)·(AB+AD)-36. k.因为MN-MA+AP+PN-MA+AP+PC-MA+ 所以coBD,AA $A+(PA+AD+DC)--AB+A+(-A BD 1AC 6v2×63 所以D项不正确.故选AB项. #AD+AB-A+-+△,所以 16.设AB-CE-1.CD-a.CB-b.CE-c. (0.,). 则lal-b-cl-1,a,c)-b,c)=90,(a,b-120 (1)证明:因为DE-c-a.CF-(bc).CA-a+b,所以DE 11.由题意可知,AB,AD,AA)是一个单位正交基底.因 sC-C++-A+AD-A- 2CF-CA.即DE,CF.CA共面,又DEC平面ACF,CF. CAC平面ACF,所以DE/平面ACF AB-A+A--AB-A-M,所vCM-(-1. ($2)因E-c-C-(a+b)-.A--c -.-一1). #(bhte)-(a+b)=-a-bc. (-1.-.-1) 所以E·AF--7.Fo-.AF-1. {3,所以AG- 所以cos(E.A)- [FO|AF ###} 20 黑(0.0-) 因为两异面直线所成的角不大于90{},所以异面直线EO与 $3.翻霸由题设知a=3i+4j+5k,e=2i-j+k,é=i+j-k$ e=3j+3k,又a-xe++se,所以3ī+4j+5k-x(2i-1+ k)+(i+j-k)+z(3j+3k)=(2x+y)i+(-r十y+3)j 课时作业(五) [2xy-3. 1.C 点B 到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为 (r-y+3)k,所以 -+3-5. (1,1,1).故选C项. 2.C 当三个坐标均相反时,两点关于坐标原点对称,故 选C项. #器73} 3.C 由题图知,点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为 ·229·