3.4 函数的应用(一)（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章函数的概念与性质 随堂检测学以致用 答案见P 1在函数y=之y=32y=2+2xy=-1, B.幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) C,幂函数的图象不可能出现在第四象限 y=x°中，幂函数有 D.若幂函数y=x”是奇函数，则y=x是增 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 函数 2.幂函数的图象经过点(2，)，则它的单调递增 4.y=x在[-1,1]上 区间是 A单调递增且是奇函数 A.(0,十∞) B.[0.+o∞) B.单调递增且是偶函数 C.(-oo,+∞) D.(-∞，0) C.单调递减且是奇函数 3.(多选)下列说法不正确的是 D.单调递减且是偶函数 A.y=x”的图象是一条直线 提示完成Ps课时作业（十八） 3.4函数的应用（一） [学习目标]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，提升数学抽象的核心 素养.2，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实间题的变化规律，培养数学建模、数学运算的核心素养 (重难点).3。初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，培养数据分析、数学运算的核心 素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一 函数模型应用的两个方面 中学数学阶段，我们建立的函数模型一般都是 1.利用已知函数模型解决问题，此类问题常见的 函数的解析式，注意函数的定义域。 题型有两种：(1)依据题意转化为由解析式求 3求解函数模型：根据已知条件求解函数模型. 函数值或自变量的值： 4.给出实际问题的解：将数学模型的解还原为实 际问题的解，得出实际问题的解。 (2)函数解析式中含有参数，需根据题中提供 的数据，利用待定系数法求出参数，确定函数 辨析 解析式，再解决其他问题。 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 2.建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解 (1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度 符合，又能很好地推演和预测， 释有关现象，对某些发展趋势进行预测， () (2)用来拟合孤立的点的函数图象一定要经过 要点二建立函数模型解决实际问题的步骤 所有孤立的点. L.设恰当的变量：研究实际问题中量与量之间的 (3)当x每增加一个单位时，y增加或减少的 关系，确定变量之间的关系，并用x,y分别表 量为定值，则y是x的一次函数. 示问题中的变量。 (4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相 2.建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在 等，否则函数模型就没有存在的意义了.() ·67· 数学必修第一册课堂学案 关键能力素养提升 答案见Pn 探究一一次函数模型 【变式1】大气中的温度随着高度的上升而降低， 温度的降低大体上与升高的距离成正比，根 规律总结 据实测的结果可知，上升到12km为止，在 形如y=kx十b(≠0)的函数模型是一次函 12km以上温度不变，保持在一55℃. 数模型，一次函数的图象是一条直线，应用一 (1)当地球表面大气温度是a℃时，设xkm 次函数的性质可以求参数值及函数解析式 上空的温度为y℃，求0≤x≤12时，y关于x 等，在应用一次函数的性质及图象解题时，应 的函数关系式： 注意以下几点：①一次函数有单调递增（一次 (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km 项系数为正)和单调递减（一次项系数为负） 上空的温度是多少？ 两种情况：②受自变量x的取值范围和相关 条件的限制，函数图象可能由一些孤立点或 几条线段组成：③一次函数图象的特，点是直 线上升或下降，通过观察可以很直观地认识 它，并利用它解题。 【例题1】某服装厂每天可生产童装200套或西 服50套，已知每生产一套童装需成本40元， 可获得利润22元，每生产一套西服需成本 150元，可获得利润80元.由于资金有限，该 厂每月的生产成本不超过23万元，为使每月 (按30天计算)获得的利润最大，每月应安排 生产童装和西服各多少天（天数为整数）？求 出最大利润。 44444 68 第三章函数的概念与性质 探究二二次函数模型 【变式2】某人定制了一批地砖，如图所示，每块 地砖是边长为1m的正方形ABCD,点E,F 规律总结 分别在边BC和CD上，且 CE=CF,△CFE,△ABE和四 (1)形如y=a.x2十bx十c(a≠0)的函数模型 边形AEFD均由单一材料制 是二次函数模型。 成.制成△CFE,△ABE和四 (2)二次函数模型是生活中最常见的一种数 边形AEFD的三种材料每平方米的价格依 学模型，道常依据实际问题建立二次函数模 次为30元、20元、10元.问点E在什么位置 型，求出二次函数的解析式后，利用配方法求 时，每块地砖所需的材料费用最省？ 最值，有时也依据二次函数的单调性求最值， 从而解决最大、最省等问题」 (3)利用二次函数的性质及图象可解决求函 数解析式、最大（小）值、参数等问题，解题时 霄注意以下几点：①二次函数与一元二次方 程密切相关，解题时要注意利用题中的约束 条件，如对字母的限制、对图象与x轴交点位 置的限制等：②要抓住已知条件和函数具有 的性质并结合实际求解：③要注意结合二次 函数图象的对称性与单调性进行分析 【例题2】将进货单价为8元的商品按10元一个 销售时，每天可卖出100个.若这种商品的销 售单价每涨1元，日销售量减少10个，为了获 得最大利润，此商品的销售单价应为多少元？ 探究三分段函数模型 规律总结 (1)分段函数的解析式由几个不同的函数解 析式组成，根据自变量取值范围的不同，由题 设条件确定出不同的函数解析式： (2)应用分段函数模型的关键是确定分段的 边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区 间进行分类讨论，从而写出函数解析式.需注 意分段函数的最值是各区间上所有最值中的 最值 (3)要注意结合实际问题的实际意义，有时还 可结合图象求解。 69 数学必修第一册课堂学案 【例题3】当旺季来临时，季节性服装的销售价格呈 准，每度电0.5383元：全年用电量超过4800 上升趋势.设某服装开始时定价为10元/件，并 度的部分，执行第三档电价标准，每度电 且每周涨价2元，5周后开始保持20元/件的 0.7883元.如图是关于阶梯电价的图形表 价格平稳销售：10周后旺季过去，平均每周减 示，其中正确的有 () 价2元，直到16周后，该服装不再销售。 t价格元度 4电费（元/年 (1)试建立价格（单位：元/件）与周次1之间 0.7883 的函数关系式： 0.538 2439.8 0488 1406.30 (2)若此服装每周进货一次，每件进价Q(单 28804800年用电量度 02880480加年用电量/应 位：元/件)与周次t之间的关系为Q= 0 袋 -0.125(-8)2+12,t∈[0,16].t∈N,试问 PQ左阴影部分的面积长 示年用电量为x度时的电费 该服装在第几周时每件销售利润最大？最大 0.7883元/度 利润是多少？ 0.5383元/度 0.4883元/度 ?2880480年币电量/线 参考数据：0.4883×2880=1406.30（元）， 0.5383×(4800-2880)+1406.30= 2439.84(元) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 探究四 幂函数模型的应用 规律总结 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数 法求出参数，确定函数关系式 (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式： 【例题4】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场 后其广告投入x万元与药品利润y万元存在 的关系为y=x(a为常数)，其中x不超过 5万元，已知去年投入广告费用为3万元时， 药品利润为27万元，若今年广告费用投入5 【变式3】某地实行阶梯电价，以日历年（每年1 万元，预计今年药品利润为 万元. 月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯 电价，即一户居民全年用电量不超过2880度 (1度=1千瓦时)，执行第一档电价标准，每 度电0.4883元：全年用电量超过2880度但 不超过4800度的部分，执行第二档电价标 ·70· 第三章函数的概念与性质 【变式4】某家族进行理财投资，根据市场预测长 投资，怎样分配资金能使一年的投资获得最 期收益率，投资债券类稳健型产品一年的收 大收益，最大收益是多少万元？ 益与投资额成正比，投资股票类风险型产品 一年的收益与投资额的算术平方根成正比 已知投资1万元时两类产品一年的收益分别 为0.125万元和0.5万元，如图所示. 0.125 (1)分别写出两类产品一年的收益与投资额x 的函数关系式： (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财 随堂检测学以致用 答案见Pn 1.某根弹簧的长度L(cm)与它下面悬挂物体所 4.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和 受的重力G(N)是一次函数关系.已知当G= 地区人民生活水平的状况，它的计算公式为 50时，L=15,当G=100时，L=20,则当G n=工(x表示人均食品支出，y表示人均消费 150时，L等于 y A.3 B.15 支出总额)，且y=2x十475.各种家庭类型及 C.25 D.30 对应的n的取值范围如表所示。 2.已知某生产厂家生产一种产品的总成本y(万 元)与产量x(件)之间的关系为y=x一80x, 家庭 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕 类型 若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大 50% 40%≤ 30%≤ 利润时，生产的产品件数为 n≥59% <30% 159% 1<50% n<40% A.52 B.52.5 C.53 D.52或53 某地2023年比2018年食品价格平均下降了 3.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 7.5%,若该地某家庭2023年购买食品总量和 44%,若每年的平均增长率相同（设为x),则下 2018年完全相同，且2023年人均食品支出比 列结论中正确的是 2018年少75元，则该家庭2023年属于() A.x>22% A.贫困家庭 B.温饱家庭 B.x<22% C.x=22% C,小康家庭 D.富裕家庭 D.x的大小由第一年产量确定 提示完成Pm课时作业（十九） ·712.解析由已知得f(-8)=-f(8)=-(2X8-1)=-127. 经计算知2>2叶>2+>21，所以相应于曲线C,C2,C, 答秦-127 1 3.解析设x<0,则一x>0,所以f(一x)=(一x)2一2· C的a的值依次为4，子，一子，一4故选B项 (-x)=x2+2x. [变式3]解析设∫(x)=x,g(x)=x,则 又因为y=f(x)是R上的奇函效，所以f(一x)=一f(x). 2)°=2，(-2)=-号，所以。=29 1 所以f(x)=-f(-x)=一x-2x, 故f(x)= x-2x,x≥0， 一1.所以f(x)=x,g(x)=x -x-2x,<0. 分别作出它们的图象，如图所示，由图象 x2-2.x,x>0, 答器fx)=-r-2xr<0 可知，①当x∈（一∞，0）U(1,十∞)时， fx)>g(x):②当x=1时，f(x) 4.解析由F(.x)=af(x)十bg(x)十2在(0，十oo)上的最大值为 g(x):③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x). 5,得F(x)-2=af(,x)+bg(x)在(0，十o∞)上的最大值为3. [例题4]解析(1)①因为暴函数y=x3在（一∞，0）上单调递 又f(x),g(x)均为奇函数，根据奇函数的性质可知F(x) 2=af(x)十bg(x)在(-oo,0)上的最小值为-3，故F(x) 减，且-2>-2.5，所以(-2)3<(-2.5)1 af八x)+bg(x)+2在(-∞，0)上的最小值为-3十2=-1. ②因为暴函数y=x在(0，十∞)上单调递增，一8十 答案一1 (日)，君>号，所以(g)广>（号）广，从两 3.3幂函数 必备知识·基础落实 (日)》<-（日）》产，即-8<-（日） 要点一 ③因为4.1>1=1,0<3.8<15=1，(-1.9)<0. y=xx a 所以4.1十>3.85>(-1.9)t 要点二 L.单调递增单调递减单调递减 单调递减 (2)因为暴函数y=x在定义城[0，十o∞)上单调递增，所以 2.(1)(1,1)(2)原点下凸上凸(3)a<0(4)y=x r3-2m≥0.， (5)小大 有m十1≥0. 解得-1<m<号，即m的取值花国 [辨析]提示(1)√(2)×(3)×(4)× 3-2m>m+1. 关键能力·素养提升 为[-1号) [例题门解析(1)由暴函数的定义及三个限制条件可知，y 3x中x的系数为3，不是暴函数：函数y=x十1的项数不 [变式4们解析(1)①因为函数y=x十在(0，十∞)上单调递减， 为1，不是幂函数：y=一1中x的系数是-1，不是冢函 又3<3.1，所以3>3.17 ②因为3+>1+=1,0<20+<1t=1,(-10)1<0.所以 数：y=x十是暴函数：y=上是暴函数.固此是幕函数的为 x (-10)+<20寸<3+ ④G⑤. (2)因为y=x+=(在定义域[0，十o∞)上单调递增，所以 (2)因为函数y=(t一m一1)x1为暴函数，所以m一m一 1=1,解得m=2或m=-1. 2m+1>≥0. m≥-立 答案(1)④⑤(2)2或-1 2+m-1≥0， 解得 [变式门解扬(1)设f(x)=,由国象过点(2，)，得} 2n十1>m十m-1, 2 -1<m<2, 2°，则a=一2，即函数的解析式为y=x】 (2)依题意，因为函数f(x)=a.x1十b十1是暴函数，所以 申生≤m<2故宾载m的取值花国是[生5.2）. 2 80.即么1.所以a+b-0 1b+1=0. 答累(1)①> ②<< 答累(1)y=x(2)0 2 [例题2幻愿团1)函数解析式化为)疗·所以所求的定义戏 随堂检测·学以致用 1.B 为(-o∞，0)U(0,十∞)，值域为(0，十∞). 服团===是系函数，故选B项 (2)因为y=x1=L ，所以所求的定义域为(0，十0，值 2.D照团设fx)=,由公=十，得。=一2，所以f()= 拔为(0，十∞). x,单调递增区间是（一∞，0）.故选D项. [变式]解粉(1)函数解析式化为y=云，所以所求函数的定 3.ABD解析A项中，图象是两条射线(x≠0)，故A项不正确： 义域为R.值域为[0，十∞). B项中，当a<0时，图象不过点(0,0)，故B项不正确：C项正 确：D项中，y=x是奇函数，但不是增函数，故D项不正确. (2)函数解析式化为y= 二，所以所求函数的定义域为 故选ABD项. {xx≠0}，值战为{yy≠0. 4,A解扬由暴函数的性质知，当a>0时，y=x在[0，十∞) ③》数解新式化为)一法·所以所求画纸的定又战为0。 上单调递增，所以y=x在[0,1门上单调递增.设f(x)=x÷, x∈[-1.1]，则f(-x)=(-x)t=一xt=-f(x),所以 十00)，值城为(0，十0∞. [例题3]B解析如图所示，作直线x=2, (x)=,x是奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以 分别与4条幕函数曲线C,C2,C3,C 当x∈[-1,0]时，y=x也单调递增.故y=x在[-1,1]上 相交于A,B,C,D四点.设C,C,C, 单调递增且是奇函数.故选A项。 C所对应的函数分别为y=2,y x,y=xy=x,则A,BC,D的纵 3.4函数的应用（一） 坐标分别为2,2,2,2且大小关 必备知识·基础落实 系为24>24>25>24. [辨析]提示(1)√(2)×(3)√(4)× ·302· 关键能力·素养提升 分别为f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2F(x≥0)， [例题1门解析设每月生产童装的天数为x,每月利润为y元，每 月生产成本为：元： 结合已知得I)=日=6，g1)=名=， 则每月生产西服的天数为30一x,每月生产童装和西服的套 数分别为200.x和50(30一x), 即)=grr>0,g()=E(x≥0. 则y=22×200x+80×50×(30-x)=400x+120000, (2)设授资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20 ￥=40×200.x+150×50×(30-x)=500.x+225000. x)万元， 因为每月的生产成本不超过23万元， 依题意得获得收益为y=∫(x)十g(20一)=音+ 所以225000十500x230000, 所以010，且x为整数 2V20-x(0≤r≤20)， 显然当x=10时，y最大，最大值是124000， 即每月安排生产童装10天，生产西服20天，获得的利润最 令1=√20-x(0≤t2√5)， 大，最大利润为124000元. 则y=20g+克=一8-2+8. 8 [变式1]解析(1)由题意知y-a=kx(0≤x≤12，k<0),即y 所以当一2，即x=16时，y取得最大值，y=3.故当投资 a十k.当x=12时，y=-55,则一55=a+12k,解得k= 稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最 -西，故所求的函数关系式为ya-50<≤12. 12 大收益，最大收益是3万元 12 (2)当a=29,x=3时，y=29-5+29×3=8,中当地球表 随堂检测·学以致用 12 1.C解析由题意设L=G十b(k,b为常数，k≠0)，则有 面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃」 150k+b=15, [例题]解析设销售单价涨x元，则由题意得日利润为y= 1100k+b=20 解得k=而'所以L=6计10.所以当G (10+x)·(100-10x)-8(100-10.x)=-10(.x-4)2+360 b=10, (0≤x≤10)，当x=4时，3ym=360. 150时，L=25.故选C项. 此时销售单价为10十4=14（元）. 2.D解扬设该工厂生产x件产品的总利涧为k万元，则k 故为了获得最大利润，此商品的销售单价应为14元， 25x-(2-80x)=105x-f=-(（-19）广+10，由题意 [变式2幻解析设CE-xm,则BE=(1一x)m,每块地砖所需的 得x∈N,所以当x=52或53时，k有最大值.故选D项. 材料费用为W元，则W=r×30+号×1X(1-x)× 3.B解析由题意设第一年的产量为，则第三年的产量为 a(1+44%)=a(1+x),解得x=0.2<22%.故选B项. 20+[1--×1x1-x)]×10=10r-5x+15= 4,D解析设该家庭2018年人均食品支出为4元，则2023年 10(x一)+g,当x=}=0,25时，w有最小值，即 人均食品支出为(1一7.5%)a元，依题意得a一(1一 81 7.5%)a=75,所以a=1000,所以该家庭2023年人均食品支 用最省. 出为(1一7.5%)×1000=925（元），则人均消费支出总额为 故当点E与点C相距0.25m时，每块地砖所需的材料费用 2×925+475=2325(元)，所以n= a0.308=3a.8%. 最省. 10+2t.t∈[0,5]，t∈N. 属于富裕家庭，故选D项， [例题3]解析(1)p= 20,t∈(5,10]，t∈N, 章末复习方案 40-21.1∈(10,16]，t∈N (2)设第t周时每件销售利润为L(t), [真题门A照霸方法-令f)=年，里格K-) 10+21+0.125(1-8)2-12,t∈[0,5]，t∈N, 则L()= 20+0.125(1-8)-12,1∈(5,10]，t∈N, -fx),f(x)为奇函数，排除C,D项，由f(1)>0,排除B 项.故选A项， 40-21+0.125(t-8)2-12,t∈(10,16]，t∈N. 0.125+6,t∈[0,5]，1∈N, 方法=令)=年由>0，-1<0，可排除 即L(t)=0.125(t-8)+8,t∈(5,10]，1∈N. B,C,D项.故选A项. 0.125f-4t+36,t∈(10,16]，t∈N 当t∈[0,5]，1∈N时，L(t)单调递增，L(t)=L(5)= [真题2]解析(1)由题意可得f(f(W6)=f(6-4)-f(2) 9.125:当t∈(5,10]，t∈N时，L(t)=L(6)=L(10)= |2-3|十a=3,故a=2.故选B项. 8.5:当1∈(10,16]，t∈N时，L(t)单调递减，1.(t)= (2)由巴知（合）=-（合）广°+2=子f(子)=子+ L(11)=7.125. 由9.125>8.5>7.125，知L(t)m=9.125 号-1=站，所以f(/合)=器当x≤1时，由1< 从而第5周每件销售利润最大，最大利润为9.125元。 f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3，所以一1≤x≤1：当x>1时， [变式3]B解析依题意，当全年用电量在2880度至4800度 之间时，电价分两段，即全年用电量中的2880度按每度电 由1≤fx)≤3可得1≤r+】-1≤3，所以1<r≤2+3 0.4883元计算，超出部分按每度电0.5383元计算，故图象 则1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+3，所以[a,们二 ①不正确：记用电量为x度，电费为f(x)元/年，则当0≤ [-1,2+3],所以ba的最大值为3十3. x≤2880时，f(x)=0.4883.x,当2880<x≤4800时， f(x)=0.4883×2880+0.5383(.x-2880),当x>4800 图a)B（2器3+5 时，f(x)=0.4883×2880+0.5383×(4800-2880)+ [真题3]解析(1)令y=f(x)=2a.x,则函数y=f(x)=2a.x 0.7883(.x一4800)，故②③均正确.综上所述，正确的是 的定义城为R,且f(一x)=2a(一x)°=-2a.=一f(x),所 ②③.故选B项. 以函数y=f(r)=2ax2是奇函数，又因为a>0,所以函数 [例题4]解析由已知，投入广告费用为3万元时，药品利润为 y=f(.x)=2a.x在（一o∞，十∞）上单调递增.故选D项. 27万元，代入y=中，即3=27，解得a=3,故函数解析式 (2)由题意可知，f(0)=0,f(-x)=-f(x),f(x)在(0， 为y=x,所以当x=5时，y=125. 十∞)单调递减.又f(2)=0,所以f(-2)=0,所以xf(x 答率125 [变式4幻解析(1)设两类产品的收益与投资颜工的函数关系式 D≥0可转化为≥成2.中01 ·303·