第二章 相交线与平行线（讲练综合）） 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第二讲 相交线与平行线 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系： 与 （1） 的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点。 （2）在同一平面内 的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示。 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是 ，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角； 类似地，如果两个角的和是 ，那么这两个角互为余角。简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角。 （2）性质：同角或等角的余角 。同角或等角的补角 。对顶角 。 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。垂直用符号“⊥”表示，如下图。 （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最 。 （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【题型：对顶角、余角、补角的概念及计算】 1.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（     ） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 2.如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为____. （题2） （题3） （题4） 3.如图，直线，相交于点，平分，平分，若，则的度数为(       ) A. 38° B. 42° C. 76° E. 84° 4. 如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型：垂线的定义和性质】 5.如图，直线相交于点O，下列条件中能说明的有（       ） ①； ②； ③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（     ） A． 与互补 B． 与互余 C． 与相等 D．平分 7.如图，点A，D在直线m上，点，在直线上，，，，点A到直线的距离是（　　） A． 线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 8.（2020春•桃园县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM=∠CON=90° ①若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数． ②若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD． 举一反三： 9.（2020秋•辛集市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数． 要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行， 互补. 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【题型：平行线的判定】 10.两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）. 　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角 11. 如图，已知∠A＝∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）． A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180° 【题型：平行线的性质】 12.（2021·山东泰安市）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 13．（2021·四川资阳市）如图，已知直线，则的度数为（ ） A． B． C． D． 14．（2021·山东聊城市）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ） A．95° B．105° C．110° D．115° 15．（2021·安徽、）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 16．（2020•邯山区一模）如图，AB、CD、EF、MN均为直线，∠2=∠3=70°，∠GPC=80°，GH平分∠MGB，则∠1=（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 17. 如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（ ）． A．30° B. 40° C. 50° D. 60° 18. 如图，，则AEB＝（ ）． ( A B C D E ) A． B． C． D． 19. 已知，如图∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A ∠F（填“＞”“＝”“＜”）． ( A B C D E F G )20. 如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（ ）． A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116° 21. 如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E的度数 ． 【题型；折线、拐点问题】 22. 如图，AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ． ( γ A B C D α β ) 23. 如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .（多拐点） 24.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE． 举一反三： 25.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF. 答案： 1.A 2.145° 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A 8.解：①∠AOM=∠CON=90°，OC平分∠AOM， ∴∠1=∠AOC=45°， ∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°； ②∵∠AOM=90°， ∴∠BOM=180°﹣90°=90°， ∵∠1=∠BOC， ∴∠1=∠BOM=30°， ∴∠AOC=90°﹣30°=60°，∠MOD=180°﹣30°=150°． 9.解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°． 由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°． 由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°． 由对顶角相等，得 ∠BOD=∠AOC=34°． 10.D 11.B 12.D 13.B 14.B 15.C 16.D 17.B 18.B 19.= 20.B 21、56° 22.α+β-γ=180° 23.900° 24.解：过E点作EF∥AB， 因为AB∥CD(已知)， 所以EF∥CD． 所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)． 又因为∠D＝∠2(已知)， 所以∠4＝∠2(等量代换)． 同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1． 因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)， 所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE． 25.证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H， ∵ CD∥EF （已知）， ∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）. 又∵ CK∥FG， ∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）. ∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知）， ∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）. ∴ AB∥GF（平行的传递性）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 相交线与平行线 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角； 类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【题型：对顶角、余角、补角的概念及计算】 1.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（     ） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 2.如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为____.（相交线） （题2） （题3） 3.如图，直线，相交于点，平分，平分，若，则的度数为(       ) A. 38° B. 42° C. 76° E. 84° 4. 如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型：相交线】 6.（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有______对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______对对顶角。试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共__________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论． 【题型：垂线的定义和性质】 7.如图，直线相交于点O，下列条件中能说明的有（       ） ①； ②； ③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（     ） A． 与互补 B． 与互余 C． 与相等 D．平分 9.如图，点A，D在直线m上，点，在直线上，，，，点A到直线的距离是（　　） A． 线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度、 10.（2020春•桃园县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM=∠CON=90° ①若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数． ②若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD． 【答案与解析】 解：①∠AOM=∠CON=90°，OC平分∠AOM， ∴∠1=∠AOC=45°， ∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°； ②∵∠AOM=90°， ∴∠BOM=180°﹣90°=90°， ∵∠1=∠BOC， ∴∠1=∠BOM=30°， ∴∠AOC=90°﹣30°=60°，∠MOD=180°﹣30°=150°． 【总计升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能根据角平分线定义和已知求出各个角的度数． 举一反三： 【变式】（2020秋•辛集市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数． 【答案】 解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°． 由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°． 由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°． 由对顶角相等，得 ∠BOD=∠AOC=34°． 要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【题型：平行线的判定】 11.两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）. 　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角. 12. 如图，已知∠A＝∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）． A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180° 【答案】B； 【题型：平行线的性质】 13.（2021·山东泰安市）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数． 【详解】 首先根据三角尺的直角被直线m平分， ∴∠6=∠7=45°； A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意； B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意； C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意； D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意． 故选：D． 14．（2021·四川资阳市）如图，已知直线，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】 解：如图， ∵， ∴∠4=∠1=40°， ∵， ∴； 故选B． 15．（2021·山东聊城市）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ） A．95° B．105° C．110° D．115° 【答案】B 【分析】 由平行的性质可知，再结合即可求解． 【详解】 解： 故答案是：B． 16．（2021·安徽、）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】 由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C 17．（2020•邯山区一模）如图，AB、CD、EF、MN均为直线，∠2=∠3=70°，∠GPC=80°，GH平分∠MGB，则∠1=（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】D； 【解析】∵∠2=∠3=70°， ∴AB∥CD， ∴∠BGP=∠GPC， ∵∠GPC=80°， ∴∠BGP=80°， ∴∠BGM=180°﹣∠BGP=100°， ∵GH平分∠MGB， ∴∠1=∠BGM=50°，故选D． 18. 如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（ ）． A．30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B； 【解析】反向延长射线a交c于点M，则∠2＝90°－（180°－130°）＝40°. 19.如图，，则AEB＝（ ）． ( A B C D E ) A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】，∠EAB＝75°－25°＝50°. 20. 已知，如图∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A ∠F（填“＞”“＝”“＜”）． 【答案】＝； 【解析】平行线的判定与性质及对顶角的性质的应用． ( A B C D E F G )21. 如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（ ）． A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116° 【答案】B. 22. 如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E的度数 ． 【答案】56°； 【解析】过点F作FG∥EC，交AC于G， ∴ ∠ECF＝∠CFG， ∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠AFC． 又∵ ∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°， ∴ ∠BAE＝3×28°＝84°． ∴ ∠CFG＝28°，∠AFC＝84°． ∴ ∠AFG＝∠AFC-∠CFG＝56°． 又 FG∥EC，∴ ∠AFG＝∠E． ∴ ∠E＝56°． 【题型；折线、拐点问题】 23. 如图，AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ． ( γ A B C D α β ) 【答案】α+β-γ=180°； 【解析】通过做平行线或构造三角形得解． 24. 如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .（多拐点） 【答案】900° 25.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE． 【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系． 【答案与解析】 解：过E点作EF∥AB， 因为AB∥CD(已知)， 所以EF∥CD． 所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)． 又因为∠D＝∠2(已知)， 所以∠4＝∠2(等量代换)． 同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1． 因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)， 所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， 即∠BED＝90°．故BE⊥DE． 【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的． 举一反三： 26.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF. 【答案与解析】 证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H， ∵ CD∥EF （已知）， ∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）. 又∵ CK∥FG， ∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）. ∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知）， ∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）. ∴ AB∥GF（平行的传递性）. 【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补. 要点三、用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 【典型例题】 27. ( A B E D C )已知：如图，AB//CD，BC//DE，∠B＝70°， （1）求∠D的度数. （2）用尺规在图上作一个∠，使∠=∠D—∠B（不写作法，保留痕迹）. 【思路点拨】 （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出； （2）根据平行线的性质即可求解． 【答案与解析】 解：（1）∵AB//CD，BC//DE， ∴ ∠C＝∠B＝70°，∠D＝180°－∠C＝180°－70°＝110°. （2）作法如图： 【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正确掌握基本作图是关键． 举一反三： 28.（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）． A．60° B．30° C．45° D．90° ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$