21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（八大题型提分练） 题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1．（2024·天津红桥·三模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系“两根之和为”解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为， ∴， 故选：A． 2．（2024·天津宝坻·二模）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3．（2024·甘肃兰州·二模）若，是方程两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是方程两个根， ∴． 故选：B 题型二、利用根与系数的关系求代数式的值 4．（2024·山东菏泽·一模）已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 5．（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 题型三、已知代数式的值求参数 7．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系分别求出，的值代入求解即可，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】解：，， ， ， 解得， 故选：A． 8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 9．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式列出不等式并求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，结合，求出m的值即可获得答案． 【详解】（1）解：在方程中，， 当方程有两个实数根时，， ∴ 解得：； （2）解：由根与系数的关系得：，   ∵ ，   ∴，   解得：， 由（1）可知 ， ∴． 10．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值 11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，一元二次方程根与系数的关系，先确定的整数部分，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根． 【详解】∵， ∴的整数部分是6， ∴一元二次方程的一个根是6． 设另一个根是，则， 解得， 所以另一个根是． 故选：A． 12．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的方程有一个根是，则另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，由两根之和等于，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则：， ∴； 即：另一个根为； 故答案为：4． 13．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程一个根为2，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)，或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得． 【详解】（1）解：∵， 故方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的另一根为a， 则， ∴， ∴， ∴，或， 解得，，或． 题型五、根与系数的关系与判别式综合问题 14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（    ） ①若x、y为方程的两根，则； ②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数； ③若，要使得成立，则n至少为4． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键． ①先化简，根据根与系数的关系得，，即可求解；②对于整数x、y，若为偶数，则x、y同为偶数或同为奇数，为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先计算，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解． 【详解】解：①x、y为方程的两根， ∴，， ∴ 故说法错误； ②对于整数x、y，若为偶数， 则x、y同为偶数或同为奇数， ∴为偶数或奇数， ∴的结果可能为奇数或偶数， ∴得到的一定为偶数说法错误； ③若，则 ， 然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算， 则 ， ， ∵ ∴要使得成立，则n至少为4，说法正确， 故选：B． 16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． (1)代数式的不变值是________， _______． (2)已知代数式， ① 若，求b的值； ② 若，b为整数，求所有整数b的和． 【答案】(1)0，3；3 (2)①1；②4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； （1）根据新定义得出关于x的一元二次方程，解方程可得代数式的不变值，再根据最大不变值与最小不变值的差记作A计算即可； （2）①根据可知，关于x的一元二次方程只有一个实数根，即，据此可求b的值； ②根据题意得出关于x的一元二次方程，设方程的两根为，利用根与系数的关系求出，可得，然后根据，得出关于b的不等式组，解不等式组求出所有符合条件的b的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴代数式的不变值是0，3； ∴， 故答案为：0，3；3； （2）①由题意得，即， ∵， ∴关于x的一元二次方程只有一个实数根， ∴， 解得：； ②由题意得，即 设方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，b为整数， ∴当时，可得， 解得：； 当时，可得， 解得：； ∴所有整数b的值为，0，2，3， ∴所有整数b的和为． 题型六、根与系数的关系与三角形问题 18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于的方程 (1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【详解】（1）证明：∵， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为不能组成三角形， 综上所述，的周长为 19．（2023·四川绵阳·一模）已知关于的方程； (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为直角三角形的两边长，且，求的值及该直角三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 ，周长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根的判别式、韦达定理和勾股定理来解答． （1）先求出方程的判别式的结果； 再根据 方程有实数根； 即可证明. （2）根据根与系数的关系求出方程两根的值和的值，再由勾股定理求出直角三角形的斜边长，进而得到直角三角形的周长． 【详解】（1）由 得到， ， ， ∴不论为任何实数，方程总有实数根. （2）解：根据题意得 ， ， 解得或 ， 直角三角形的斜边为： 所以直角三角形的周长为：． 20．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，解得，，于是可得的值为6； （2）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得判别式，解得， ，， ，即， ， 整理得，解得，， 而， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去， 所以这个三角形的周长为17． 题型七 、根与系数的关系与四边形问题 21．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k为何值时，四边形是菱形； (3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形的周长是4，面积是． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是应用； （1）根据题意求出且，，求出不等式组的解集即可； （2）由菱形的性质可得，可得，再检验即可； （3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积． 【详解】（1）解：∵平行四边形的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴且，， 解得：， 即k的取值范围是； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 经检验符合题意； （3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， 把代入方程得：， 解方程得：，或，， ∴矩形的周长是，面积是． 即此时四边形的周长是4，面积是． 题型八、新定义及材料探究题 22．（2023·江西新余·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”； (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求c； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)否 (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了因式分解法解方程． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值； （3）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1） 解：解方程得，， 所以不是“三倍根方程”； （2） 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 解得， ∴； （3） 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 即，， ∴． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值： （1）先利用因式分解法解方程得到，再由即可得到方程是“2倍根方程”； （2）设方程的两根为，由“2倍根方程”的定义可设，由根与系数的关系得到，进而求出，则； （3）解方程得到，再由“2倍根方程”的定义得到或，即或，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴方程是“2倍根方程”， 故答案为：是； （2）解：设方程的两根为， ∵一元二次方程是“2倍根方程”， ∴不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵是“2倍根方程”， ∴或， ∴或， ∴或． 1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 2．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 4．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 5．（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根和系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形运算，由菱形的面积为得，根据根和系数的关系得，利用勾股定理和完全平方公式的变形运算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为， 则， ∴， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的边长， 故选：． 6．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 7．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·山东济宁·三模）若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，；，；，．把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：，，2，3，，2020， 由根与系数的关系得：，；，；，， 原式 ． 故答案为：． 9．（2024·甘肃天水·三模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． 【详解】（1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 10．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 11．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 【答案】，，，，，r 【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到，最后得到根与系数关系，，即可； 【详解】解：根据材料提示得， ， ， ， ， ， ， ，，； 故答案为：，，，，，-r． 12．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴此一元二次方程总有实数根； （2）解：由题意得：， ∴的周长为， 设，则， 解得，， 此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去； 设，则：， 由三角形三边关系得，，，即，， 解得：， ∵周长m为偶数， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键． 13．（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． ( 30 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（八大题型提分练） 题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1．（2024·天津红桥·三模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·天津宝坻·二模）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃兰州·二模）若，是方程两个根，则（    ） A． B． C． D． 题型二、利用根与系数的关系求代数式的值 4．（2024·山东菏泽·一模）已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 5．（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 . 6．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 题型三、已知代数式的值求参数 7．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 9．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 10．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值 11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（   ） A． B．1 C．2 D．3 12．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的方程有一个根是，则另一个根为 ． 13．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程一个根为2，求k的值． 题型五、根与系数的关系与判别式综合问题 14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（    ） ①若x、y为方程的两根，则； ②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数； ③若，要使得成立，则n至少为4． A．0 B．1 C．2 D．3 16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． (1)代数式的不变值是________， _______． (2)已知代数式， ① 若，求b的值； ② 若，b为整数，求所有整数b的和． 题型六、根与系数的关系与三角形问题 18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于的方程 (1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 19．（2023·四川绵阳·一模）已知关于的方程； (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为直角三角形的两边长，且，求的值及该直角三角形的周长． 20．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 题型七 、根与系数的关系与四边形问题 21．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k为何值时，四边形是菱形； (3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 题型八、新定义及材料探究题 22．（2023·江西新余·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”； (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求c； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 5．（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 7．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 8．（2024·山东济宁·三模）若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 9．（2024·甘肃天水·三模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 10．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 11．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 12．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 13．（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$