22.2 第4课时 三角形相似的判定定理3-【木牍中考】2024-2025学年九年级数学上册同步教学优质课件(沪科版)

数 学 HK 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级上册 第二十二章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 22.2 相似三角形的判定 第四课时 三角形相似的判定定理3 前 言 1.掌握三角形相似的判定定理3并熟练地运用；（重点） 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.（难点） 学习目标及重难点 A B C C′ B′ A′ 课时A计划 课程导入 问题2 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？ 问题1 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？ A B C D E 问题3 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：三边成比例的两个三角形相似 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A B C C′ B′ A′ 课时A计划 A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∴ C′ B′ A′ 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 课时A计划 课程讲授 新课推进 在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由. (1) AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B'=10，A'C'=6，∠A'=45°； (2) ∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠A'=45°； (3) AB=2，BC= ，AC= ，A'B'= ，B'C'=1，A'C'= . 解：(1) ∵ AB A'B' = 10 5 = 2 1 ， AC A'C' = 6 3 = 2 1 ∴ AB A'B' = AC A'C' ∵ ∠A=∠A'=45° ∴ △ABC∽△A'B'C' 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：(2) ∵ ∠B= 180°-(∠A+∠C) =180°-(38°+97°) =45° ∴ ∠B=∠B'=45° 又∵ ∠A=∠A'=38° ∴ △ABC∽△A'B'C' (2) ∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°； 课时A计划 课程讲授 新课推进 (3) AB=2，BC= ，AC= ，A'B'= ，B'C'=1，A'C'= . 解：(3) ∵ BC B'C' = = ， AB A'B' = =， AC A'C' = = ∴ AB A'B' = AC A'C' BC B'C' = ∴△ABC∽△A'B'C' 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 如图，方格网的小方格是边长为1 的正方形，△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，为什么？ 5 解： 由于△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 AB= AC=2 B'C'= ∵ AB A'B' = AC A'C' = BC B'C' = ∴ AB A'B' = AC A'C' = BC B'C' ∴ △ABC∽△A'B'C' BC= A'B'= A'C'=, 课时A计划 利用三角形三边对应成比例判定两个三角形相似的步骤： ① 首先按从小到大的排列找出对应边； ② 再分别计算 小，中，大 三组对应边长度的比； ③ 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似. 课程讲授 新课推进 课时A计划 随堂小练习 课程讲授 新课推进 1.如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2. ∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似) ∴ BC=2B′C′， 课时A计划 课程讲授 新课推进 2. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点， ∴ ∴ 课时A计划 3.如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. ∴ ∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC， ∴AB∥DC. 课程讲授 新课推进 课时A计划 小结 课程讲授 相似三角形的判定 定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. A B C 简记为：三边成比例的两个三角形相似. 几何语言 : ∵ 在△ABC和△A'B'C'中， ∴ △ABC∽△A'B'C' AB A'B' = AC A'C' = BC B'C' 课时A计划 利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，主要运用“小对小、中对中、大对大”的方法找对应边. 注意 A B C 小结 课程讲授 课时A计划 习题解析 习题1 如图，在大小为4×4的正方形方格中，是相似三角形的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ C 课时A计划 习题2 习题解析 1、一个三角形的三边之比为 3：4：5，另一个三角形的最短边为8，另两边长为 时，这两个三角形相似. 32 3 ， 80 3 2、一个三角形的三边长为 4cm，5cm，6cm，另一个与它相似的三角形的一边长为 2 cm，则其另外两边的长分别为 . 5 2 cm，3cm 或 8 5 cm， 12 5 cm 或 4 3 cm， 5 3 cm 3、一个三角形的三边长分别为 1、 、2 ，另一个三角形的两边长分别为 和 2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 . 1 或 2 课时A计划 习题解析 习题3 如图，已知O是△ABC内一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点. 求证：△ABC∽△DEF 证明： ∵ D、E、F分别是OA、OB、OC的中点 ∴ DE = AB， 1 2 EF = AB， 1 2 DF = AC 1 2 ∴ DE AB = EF AB = DF AC = 1 2 ∴ △ABC∽△DEF 课时A计划 习题解析 习题4 如图，点O是 △ABC 内任意一点，且 AD= AO，BE= BO，CF= CO，则△ABC∽ ，其相似比为 . 1 3 1 3 1 3 解：∵ AD= AO，BE= BO，CF= CO 1 3 1 3 1 3 ∴ OD= OA， 2 3 OE= OB， 2 3 OF= OC 2 3 ∵ ∠AOB=∠AOB， ∠BOC=∠BOC， ∠AOC=∠AOC ∴ △ODE∽△OAB， △OEF∽△OBC， △ODF∽△OAC ∴ OE OB = OF OC OD OA = = 2 3 ∴ OD OA = , DE OA = 2 3 OE OB = , EF BC = 2 3 OF AC = DF AB = 2 3 ∴ △ABC∽△DEF， 相似比是 AB DE = 2 3 △DEF 2 3 课时A计划 习题解析 习题5 如图已知,试说明∠BAD=∠CAE. A D C E B 证明：∵ ∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE 课时A计划 习题解析 习题6 ∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. ∴ △ABC ∽△ADE (三边成 比例的两个三角形相似). 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A B C D E 解：∵ 课时A计划 课程总结 小结 怎样判定两个三角形相似？ 对应角相等，对应边长度的比相等的两个三角形叫做相似三角形. 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线 ）相交，截得的三角形与原三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 1、定义法 2、预备定理 4、相似三角形的判定 定理 2 3、相似三角形的判定 定理 1 5、相似三角形的判定 定理 3 课时A计划 课后作业 课堂总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$