8.2.2一元线性回归模型及参数的最小二乘估计同步训练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

姓名： 班级： 考号： 新教材人教A版数学 选择性必修第三册 同步训练 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 一、选择题 1．对于经验回归方程＝x＋(>0)，下列说法错误的是(　　) A．当x增加一个单位时，的值平均增加个单位 B．点()一定在＝x＋所表示的直线上 C．当x＝t时，一定有y＝t＋ D．当x＝t时，y的值近似为t＋ 2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得经验回归方程可能为(　　) A．＝0.4x＋2.3 B．＝2x－2.4 C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4 3．根据如下成对样本数据得到的经验回归方程为＝x＋，则(　　) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 A．>0，>0　　　　 B．>0，<0 C．<0，>0 D．<0，<0 4．(多选)数据(x，y)的5组测量值(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，已知 若y对x的经验回归方程记作＝x＋，则(　　) A．＝1.2 B．＝0.2 C．y与x正相关 D．x＝8时，y的估计值为7 5．(多选)中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号．以下是某届世界杯比赛最终结果的相关数据，记前6名球队中，每个队的胜场数为变量x，积分为变量y(只列出了前6名)． 排名 1 2 3 4 5 6 胜场数x 11 10 8 7 6 6 积分y 32 28 23 21 19 18 若y与x之间具有线性相关关系，根据表中数据可求得y关于x的经验回归方程为＝2.59x＋，则下列说法正确的有 (　　) A．的值为2.78 B．的值为2.14 C．若整队在此次比赛中获胜的场数是4，根据经验回归方程其得分约为13分 D．由经验回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59分 6．若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　) A．9亿元　　　　 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 7．(多选)湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区．已知某种饲料的投放量x(单位：吨)与小龙虾的产量y(单位：吨)的统计数据如表： 投放量x/吨 2 3 4 5 6 产量y/吨 31 42 52 64 73 由表中的数据，得到经验回归方程为＝10.6x＋，则下列结论正确的是(　　) A．＝9 B．产量y与投放量x正相关 C．经验回归直线＝10.6x＋过点(4，52.4) D．当x＝8时，小龙虾产量的预测值是93.8 8．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知经验回归方程为＝6.3x＋6.8，下列说法正确的是(　　) x 2 3 4 5 6 y 19 25 ★ 40 44 A．看不清的数据★的值为33 B．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 C．据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨 D．经验回归直线＝6.3x＋6.8恰好经过点(4，★) 二、填空题 9．若根据5名儿童的年龄x(单位：岁)和体重y(单位：kg)的数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的经验回归方程是＝2x＋18，已知这5名儿童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是________kg． 10．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知＝20，由最小二乘法求得经验回归方程为＝0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝________． 11．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表： 广告费用x/万元 3 4 5 6 销售额y/万元 25 30 40 45 根据上表可得经验回归方程＝x＋中的为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元． 12．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ________． 三、解答题 13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求经验回归方程＝x＋，其中＝－20； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 14．某工厂1～8月份某种产品的产量x(单位：t)与成本y(单位：万元)的统计数据如表． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 产量x/t 5.6 6.0 6.1 6.4 7.0 7.5 8.0 8.2 成本y/万元 130 136 143 149 157 172 183 188 (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系，若有，求出其经验回归方程． 15．改革开放以来，我国高等教育事业迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率．现得到某城市从2016—2020年的本科录取成绩，为了便于计算，将2016年编号为1、2017年编号为2、…、2020年编号为5，如果将每年的本科录取率记作y%，把年份对应编号1到5作为自变量，记作x，得到如下数据： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 自变量x 1 2 3 4 5 本科录取率y% 24.5% 27.5% 29% 31.5% 32.5% (1)试建立y关于x的经验回归方程； (2)已知该城市2021年本科录取率为35.5%，2022年本科录取率为37.4%．若|－y|≤0.5，则认为该经验回归方程精确度较高，试用2021和2022年的数据判断能否用该方程预测2023年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2023年该城市的本科录取率． 答案解析 1．C【解析】经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，故有些散点不一定在经验回归直线上．故选C 2．A【解析】由x与y正相关，排除选项C，D．将＝3，＝3.5代入选项A，B，经检验B不成立． 3．B【解析】画出散点图，知>0，<0． 4．ABC【解析】由已知的数据可得 ＝＝＝1.2，-＝5-1.2×4＝0.2， 所以经验回归方程为＝1.2x0.2．因为＝1.2>0，所以y与x正相关． 当x＝8时，＝1.2×80.2＝9.8．故A、B、C选项正确，D选项错误． 5．ACD【解析】由题意知，＝8，，代入经验回归方程＝2.59x＝2.78， 故A正确，B不正确；将x＝4代入经验回归方程＝2.59x2.78，得＝13.14≈13，故C正确； 经验回归方程中x的系数是2.59，故D正确． 6．D【解析】因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bxae， 其中b＝0.7，a＝3，所以Y＝0.7x3e．当x＝10时，得Y＝0.7×103e＝10e， 又|e|≤0.5，即-0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元． 7．BC【解析】由表可知，投放量x的均值＝4， 小龙虾的产量y的均值＝52.4， 所以经验回归直线恒过定点(4，52.4)，故选项C正确； 代入经验回归方程＝10.6x＝10，故选项A错误； 经验回归方程为＝10.6x10，故选项B正确； 当x＝8时，＝10.6×810＝94.8，故选项D错误． 8．D【解析】对于A，因为＝4，将＝4代入＝6.3x6.8， 故＝6.3×46.8＝32，∴★＝32×5-(19254044)＝32，故A错误； 对于B，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故B错误； 对于C，当x＝8时，＝6.3×86.8＝57.2，故C错误； 对于D，因为＝4，＝32，故＝6.3x6.8必经过点(4，32)，故D正确． 9．26【解析】由题意：＝4，由于经验回归方程过样本的中心点(＝218＝2×418＝26，则这5名儿童的平均体重是26 kg． 10．300【解析】∵经验回归直线过点()，∴将＝20代入经验回归方程得＝60， ∴y1y2y3y4y5＝5＝300． 11．73.5【解析】由题意得＝4.5，＝35． ∵经验回归方程x＝7，∴35＝7×4.5，解得＝3.5， ∴＝7x3.5．∴当x＝10时，＝7×103.5＝73.5(万元)． 12．0.5　0.53【解析】小李这5天的平均投篮命中率(0.40.50.60.60.4)＝0.5， ＝3，＝0.01，-＝0.5-0.03＝0.47．∴经验回归方程为＝0.01x0.47， 则当x＝6时，＝0.53．∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53． 13．【解析】(1)由于×(88.28.48.68.89)＝8.5，×(908483807568)＝80． 所以-＝8020×8.5＝250，从而经验回归方程为＝-20x250． (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(-20x250)-4(-20x250)＝-20x2330x-1 000 ＝-20(x-8.25)2361.25．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 14．【解析】(1)散点图如图． (2)由图可看出，这些点基本分布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关． ∴＝＝≈22.169，＝－≈157.25－22.169×6.85≈5.392． ∴经验回归方程为＝22.169x5.392． 15．解：(1)由表中数据可以计算出＝3，＝29， ＝＝＝2， -＝29-2×3＝23，故y关于x的经验回归方程为＝2x23． (2)当x＝6时，＝35，|-y|＝|35-35.5|≤0.5；当x＝7时，＝37，|-y|＝|37-37.4|≤0.5， 则该经验回归方程可用来预测2023年该城市的本科录取率，当x＝8时，＝39， 故预测2023年该城市的本科录取率为39%． $$