2.3.3 2.3.4 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 第二章 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式和两条平 行直线间的距离公式，强化直观想象和数学运算的核心素养.2. 会求点到直线的距离与两平行直线间的距离，提升数学运算的 核心素养（重点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定 义 点到直线的 ⁠ 的长度 夹在两条平行直线间的 ⁠ ⁠的长 图 示 垂线段　 公垂 线段　 必备知识 基础落实 要点　点到直线的距离、两条平行线间的距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 公式 （或 求 法） 点 P （ x0， y0）到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的距离 d ＝ ，即｜ ｜＝｜ · n ｜（ M 为 任意一点， n 为单位向量） 两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0与 l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0之间的距离 d ＝ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离为 . （　　） （2）直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线 的距离.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的 距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. （　　） （4）连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离. （　　） 解析：（1）错误.点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离 d ＝ ，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线 的距离公式. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）正确.由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短 知结论成立，这是点到直线距离的代数特征. （3）正确.由平行线间距离的定义可知. （4）错误.两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不 是两平行直线上任意两点间的距离. 答案：（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形 式，应先化成一般式再用公式；直线方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0 （ A ， B 不同时为0）中 A ＝0或 B ＝0时，公式也成立，但由于 此时直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可采用数形结合 法求点到直线的距离. 关键能力 素养提升 探究一　点到直线的距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】求在两坐标轴上截距相等，且与点 A （3，1）的距 离为 的直线方程. 解析：①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原 点时，设直线的方程为 y ＝ kx （ k ≠0），即 kx － y ＝0.由已知 得 ＝ ，整理得7 k2－6 k －1＝0，解得 k ＝－ 或1， 故所求直线方程为 x ＋7 y ＝0或 x － y ＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，其斜率为－1， 设直线为 x ＋ y ＋ C ＝0（ C ≠0），由已知得 ＝ ，解 得 C ＝－6或 C ＝－2.故所求直线方程为 x ＋ y －6＝0或 x ＋ y － 2＝0. 综上，所求直线方程为 x ＋7 y ＝0或 x － y ＝0或 x ＋ y －6＝0或 x ＋ y －2＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】（多选）垂直于直线 x ＋3 y －5＝0，且与点 P （－ 1，0）的距离是 的直线 l 的方程为（　　） A. 3 x － y ＋9＝0 B. 3 x － y －3＝0 C. 3 x － y －9＝0 D. 3 x － y ＋3＝0 答案：AB 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：设与直线 x ＋3 y －5＝0垂直的直线的方程为3 x － y ＋ m ＝0，则由点到直线的距离公式知，点 P 到直线3 x － y ＋ m ＝0 的距离 d ＝ ＝ ＝ ，所以｜ m －3｜ ＝6，即 m －3＝±6，得 m ＝9或 m ＝－3，故所求直线 l 的方程 为3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0.故选AB项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公 式.若直线 l1： y ＝ kx ＋ b1， l2： y ＝ kx ＋ b2（ b1≠ b2），则 d ＝ ；若直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0， l2： Ax ＋ By ＋ C2＝ 0（ A ， B 不全为0且 C1≠ C2），则 d ＝ .必须注意两直 线方程中 x ， y 的系数分别对应相等. 探究二　两平行线间的距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】（1）求两平行直线 l1：3 x ＋5 y ＋1＝0和 l2：6 x ＋10 y ＋5＝0间的距离. （2）求与两条平行直线 l1：2 x －3 y ＋4＝0与 l2：2 x －3 y －2 ＝0的距离相等的直线 l 的方程. 解析：（1）由题意，将 l2的方程化为3 x ＋5 y ＋ ＝0，所以 d ＝ ＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由题意设所求直线 l 的方程为2 x －3 y ＋ C ＝0（ C ≠4且 C ≠ －2）.由直线 l 与两条平行直线的距离相等，可得 ＝ ，即｜ C －4｜＝｜ C ＋2｜，解得 C ＝1.故直线 l 的方 程为2 x －3 y ＋1＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】（1）已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20 ＝0平行，则它们之间的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 解析：（1）由两条直线平行可得 ＝ ，解得 m ＝24，即5 x ＋12 y ＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得 d ＝ ＝1.故选A项. 答案：（1）A 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）（多选）已知直线 m ：2 x ＋ y －1＝0与直线 n 平行，且两 条直线之间的距离为 ，则直线 n 的方程可为（　　） A. 2 x ＋ y ＋4＝0 B. 2 x ＋ y －4＝0 C. 2 x ＋ y ＋6＝0 D. 2 x ＋ y －6＝0 解析：（2）根据题意可设直线 n 的方程为2 x ＋ y ＋λ＝0，则 ＝ ，解得λ＝4或λ＝－6，所以直线 n 的方程为2 x ＋ y ＋4＝0或2 x ＋ y －6＝0.故选AD项. 答案：（2）AD 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点 不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到 两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的 取值范围. 探究三　利用距离公式解决最值问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】已知两条互相平行的直线分别过 A （6，2）和 B （－3，－1）两点，设两条平行直线间的距离为 d . （1）求 d 的取值范围； （2）当 d 取最大值时，求两条直线的方程. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）如图，当两条平行直线与 AB 垂直时，两平行直线 间的距离最大，即 dmax＝｜ AB ｜＝ ＝3 ；当两条平行线各自绕点 B ， A 逆时针旋转时，距离 逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜ d ≤3 ，即所求的 d 的 取值范围是（0，3 ]. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）当 d 取最大值3 时，两条平行线都垂直于 AB ，它们 的斜率 k ＝－ ＝－ ＝－3.故所求的直线方程分别为 y －2＝－3（ x －6）和 y ＋1＝－3（ x ＋3），即3 x ＋ y －20＝0 和3 x ＋ y ＋10＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】（1）已知动点 P （ x ， y ）在直线 x ＋ y －4＝0上， O 为原点，求｜ OP ｜最小时点 P 的坐标. 解析：（1）直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线 的距离，此时 OP 垂直于已知直线， 则 kOP ＝1，所以 OP 所在的直线方程为 y ＝ x .由 解得所以点 P 的坐标为（2，2）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）求过点 P （1，2）且与原点距离最大的直线方程. 解析：（2）由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线与原点 O 的 距离最大， 因为 kOP ＝2， 所以所求直线的斜率为－ ， 所以所求直线的方程为 y －2＝－ （ x －1）， 即 x ＋2 y －5＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 几种常用的特殊对称： （1） A （ a ， b ）关于 x 轴对称的点为A'（ a ，－ b ）； （2） B （ a ， b ）关于 y 轴对称的点为B'（－ a ， b ）； 探究四　直线中的对称问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3） C （ a ， b ）关于直线 y ＝ x 对称的点为C'（ b ， a ）； （4） D （ a ， b ）关于直线 y ＝－ x 对称的点为D'（－ b ，－ a ）； （5） P （ a ， b ）关于直线 x ＝ m 对称的点为P'（2 m － a ， b ）； （6） Q （ a ， b ）关于直线 y ＝ n 对称的点为Q'（ a ，2 n － b ）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题4】已知直线 l ： y ＝3 x ＋3. （1）求点 P （4，5）关于 l 对称的点的坐标； （2）求直线 l1： y ＝ x －2关于 l 对称的直线的方程； （3）求直线 l 关于点 A （3，2）对称的直线的方程. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）设点 P 关于直线 l 对称的点为P'（x'，y'），则线段 PP'的中点 M 在直线 l 上，且直线PP'垂直于直线 l ， 由解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由得即直线 l1与 l 相交于点 P （－ ，－ ）.在直线 l1上取点 M （1，－1），易求 M 关于直 线 l 对称的点 Q 的坐标为 ， 由两点式可得直线 PQ 的方程为 ＝ ，即所求直线的 方程为7 x ＋ y ＋22＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）设直线 l 关于点 A （3，2）对称的直线为l'， 由 l ∥l'可设l'： y ＝3 x ＋ b （ b ≠3）. 由点到直线的距离公式得 ＝ ， 即｜ b ＋7｜＝10，解得 b ＝－17或 b ＝3（舍去）， 所以直线l'的方程为 y ＝3 x －17，即所求直线的方程为3 x － y －17＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式4】与直线2 x ＋3 y －6＝0关于点（1，－1）对称的直线 方程是（　　） A. 3 x －2 y ＋2＝0 B. 2 x ＋3 y ＋7＝0 C. 3 x －2 y －12＝0 D. 2 x ＋3 y ＋8＝0 答案：D 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2 x ＋3 y －6＝ 0平行，则设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋ C ＝0.在直线2 x ＋3 y － 6＝0上任取一点（3，0），其关于点（1，－1）对称的点为 （－1，－2），而点（－1，－2）必在所求直线上，由2× （－1）＋3×（－2）＋ C ＝0，得 C ＝8.故所求直线方程为2 x ＋3 y ＋8＝0.故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 点（2，5）到直线 y ＝2 x 的距离为（　　） A. B. C. D. 答案：A 解析：直线 y ＝2 x 可化为2 x － y ＝0，由点到直线的距离公式 得 ＝ ＝ .故选A项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知直线 l1： x ＋ y ＋1＝0， l2： x ＋ y －1＝0，则 l1与 l2之间 的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 答案：B 解析：由题意和距离公式可得 d ＝ ＝ .故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 已知点 P （ a ，0）到直线3 x ＋4 y －6＝0的距离大于3，则实 数 a 的取值范围为（　　） A. （7，＋∞） B. （－∞，－3） C. （－∞，－3）∪（7，＋∞） D. （－3，7） 答案：C 解析：由题意得 ＞3，即｜3 a －6｜＞15.故3 a －6＞ 15或3 a －6＜－15，即 a ＞7或 a ＜－3.故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 已知两平行线分别经过点 A （3，0）， B （0，4），则它们 之间的距离 d 满足的条件是（　　） A. 0＜ d ≤3 B. 0＜ d ≤5 C. 0＜ d ＜4 D. 3≤ d ≤5 答案：B 解析：当两平行线与 AB 垂直时，两平行线间的距离最大为 ｜ AB ｜＝5，所以0＜ d ≤5.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$