第06讲 等式（思维导图+6知识点+7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第06讲 等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解等式的性质、方程的解集、方程组的解集，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系，会应用代入法、配方法解一元二次方程、用十字相乘法分解因式，凸显数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析的核心素养. 知识点 1 等式的性质 （1）等式的两边同时加上一个数或代数式，等式仍然成立. （2）等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式，等式仍然成立. 知识点 2 恒等式 1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立．则称其为恒等式，也称两边恒等. 注意：恒等式是进行代数式变形的依据之一. 2.（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab与“十字相乘法” x2+Cx+D=（x+a)(x+b） 其中，C=1×a+1×b,D=ab 步骤： （1）竖分二次项和常数项； （2）交叉相乘，积相加； （3）检验确定，横写因式. 小结：x2+Cx+D分解因式成为（x+a)(x+b）： 当D>0时，D分解的因数a,b同号； 当D<0时，D分解的因式a,b异号 3.恒等式：（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd “十字相乘法”分解Ex2+Fx+G步骤： （1）竖分二次项和常数项；a,c乘积为E，b,d乘积为G （2）交叉相乘，积相加；ad+bc=F （3）检验确定，横写因式.Ex2+Fx+G=（ax+b)(cx+d） 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱！ 知识点 3 方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值，一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 知识点 4 一元二次方程的解集 1.配方法解方程 （1）配方 （2）一元二次方程的解集： （3）一元二次方程的判别式：Δ=b2-4ac 知识点 5 一元二次方程根与系数的关系 的两根记作x1，x2 则 知识点 6 方程组的解集 1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 2.方程组的解法：代入消元法、加减消元法. 发现：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果讲其中一些未知数看成常数，那么其它未知数往往能用这些未知数表示出来. 考点一：等式的性质 例1.（2023高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合. 【变式1-3】（2023高一·全国·课后作业）已知两数之和为10，积为24，则这两数之差的绝对值为 . 考点二：求方程的解集 例2．（22-23高一·全国·课后作业）设a、，求关于x的方程的解集． 【变式2-1】（2023高一·全国·课后作业）下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式2-2】（22-23高一·全国·课堂例题）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则 ， . 【变式2-3】（2023高三·全国·专题练习）方程的解集为 ． 考点三：一元二次方程的解集 例3.（23-24高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【变式3-1】（2023高一·全国·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 （1）因式分解法解方程． （2）配方法解方程． （3）求根公式法解方程. 考点四：一元二次方程根与系数的关系 例4.（23-24高一上·北京·阶段练习）若方程的两根分别是和，计算： (1) (2)； (3)； (4). 【变式4-1】（2023高一·上海·专题练习）设是一元二次方程的两个根，且，则 ， . 【变式4-2】（23-24高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则 【变式4-3】（23-24高一上·北京·期中）已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 考点五：根据方程的根求参数 例5.（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． (1)若，求的值； (2)若，且，求取值范围． 【变式5-1】（22-23高一上·上海普陀·期末）已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为 ． 【变式5-2】（22-23高一上·北京·期中）关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m= ． 【变式5-3】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 考点六：方程组的解集 例6.（23-24高一上·北京·期中）方程组的解集是 ． 【变式6-1】（23-24高一上·北京·阶段练习）方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023高一·全国·课后作业）方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·北京房山·期中）方程组的解集为 ． 【规律方法】 1.代入消元法 2.加减消元法． 3.未知数个数多余方程个数时，选定“自由量”，使用“消元法”. 考点七：根据方程组的解集求参数 例7.（23-24高一上·北京·阶段练习）若关于的方程组与的解集相等，则 ； . 【变式7-1】（2023高一·全国·课后作业）关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【变式7-2】（2023高一·全国·课后作业）关于 的方程组的解集为，则 . 【变式7-3】（22-23高一·全国·单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 1．（21-22高一上·全国·课后作业）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期中）设方程的两个实根，，则等于（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高一上·山东东营·阶段练习）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为 5.（2023高一·上海·专题练习）关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为 ． 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知方程的两根为和，则 ； . 7．（2022高一·全国·专题练习）解方程组. 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 9．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. (1)有一根为； (2)有两个互为相反数的实根； (3)两根互为倒数. 10．（23-24高一上·北京·期中）已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解等式的性质、方程的解集、方程组的解集，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系，会应用代入法、配方法解一元二次方程、用十字相乘法分解因式，凸显数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析的核心素养. 知识点 1 等式的性质 （1）等式的两边同时加上一个数或代数式，等式仍然成立. （2）等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式，等式仍然成立. 知识点 2 恒等式 1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立．则称其为恒等式，也称两边恒等. 注意：恒等式是进行代数式变形的依据之一. 2.（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab与“十字相乘法” x2+Cx+D=（x+a)(x+b） 其中，C=1×a+1×b,D=ab 步骤： （1）竖分二次项和常数项； （2）交叉相乘，积相加； （3）检验确定，横写因式. 小结：x2+Cx+D分解因式成为（x+a)(x+b）： 当D>0时，D分解的因数a,b同号； 当D<0时，D分解的因式a,b异号 3.恒等式：（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd “十字相乘法”分解Ex2+Fx+G步骤： （1）竖分二次项和常数项；a,c乘积为E，b,d乘积为G （2）交叉相乘，积相加；ad+bc=F （3）检验确定，横写因式.Ex2+Fx+G=（ax+b)(cx+d） 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱！ 知识点 3 方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值，一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 知识点 4 一元二次方程的解集 1.配方法解方程 （1）配方 （2）一元二次方程的解集： （3）一元二次方程的判别式：Δ=b2-4ac 知识点 5 一元二次方程根与系数的关系 的两根记作x1，x2 则 知识点 6 方程组的解集 1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 2.方程组的解法：代入消元法、加减消元法. 发现：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果讲其中一些未知数看成常数，那么其它未知数往往能用这些未知数表示出来. 考点一：等式的性质 例1.（2023高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分解因式可得答案. 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（2023高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合. 【答案】. 【分析】根据恒成立，将式子变形为对任意实数m恒成立，即可由且求解. 【详解】由于对任意实数m恒成立， 则对任意实数m恒成立，因此且， 所以， 当，当， 故满足条件的实数对的集合为 【变式1-3】（2023高一·全国·课后作业）已知两数之和为10，积为24，则这两数之差的绝对值为 . 【答案】2 【分析】根据题意列出方程，结合完全平方和与完全平方差公式求解. 【详解】设这两个数为，则有， 则有， 所以， 故答案为：2. 考点二：求方程的解集 例2．（22-23高一·全国·课后作业）设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 【分析】将方程进行整理变形，根据一次项的系数进行讨论即可求解. 【详解】因为关于x的方程可化为， 当时，两边同时除以可得：，所以原方程的解集为； 当，时，方程恒成立，所以原方程的解集为R； 当，时，方程可化为，这样的不存在，所以原方程的解集为． 综上：当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 【变式2-1】（2023高一·全国·课后作业）下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】结合定义域解方程即可. 【详解】可得且或, , , 故选:B. 【变式2-2】（22-23高一·全国·课堂例题）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则 ， . 【答案】 【分析】根据等式的基本性质计算即可.. 【详解】根据等式的性质3，等式两边同减，得， 再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得． 故答案为：， 【变式2-3】（2023高三·全国·专题练习）方程的解集为 ． 【答案】 【分析】对方程左侧作因式分解变为乘积形式求解即可. 【详解】由， 所以或或，故解集为. 故答案为： 考点三：一元二次方程的解集 例3.（23-24高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简方程，即可求解； （2）化简方程，即可求解； （3）化简方程，求得，即可求解； 【详解】（1）解：由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）解：由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）解：由方程，即，解得，即， 所以方程的解集为. 【变式3-1】（2023高一·全国·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】方程的解为, 所以方程的解集是， 故选:C. 【变式3-2】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件. 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 【变式3-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程等价于，求解即可. 【详解】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 【规律方法】 （1）因式分解法解方程． （2）配方法解方程． （3）求根公式法解方程. 考点四：一元二次方程根与系数的关系 例4.（23-24高一上·北京·阶段练习）若方程的两根分别是和，计算： (1) (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得：，； （2），代入求值即可； （3），代入求值即可； （4），代入求值即可. 【详解】（1）方程的两根分别是和，由韦达定理， 得，. （2）. （3）. （4）. 【变式4-1】（2023高一·上海·专题练习）设是一元二次方程的两个根，且，则 ， . 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得，解一元二次方程可求得结果. 【详解】由韦达定理知：， 所以一元二次方程为：， 解得：，. 故答案为：；. 【变式4-2】（23-24高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则 【答案】6 【分析】直接解方程求解答案即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：6 【变式4-3】（23-24高一上·北京·期中）已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）由根与系数关系得，并用它们表示出各式求值即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）； （3）. 考点五：根据方程的根求参数 例5.（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． (1)若，求的值； (2)若，且，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根与系数的关系求出，代入化简即可得出答案； （2）由根与系数的关系求出，代入结合题意解方程即可得出答案. 【详解】（1）当时，方程为， 则；，． （2），，∵， ∴，∴，解得． 又∵方程有两个不同的根，∴， 解得或，∴． 【变式5-1】（22-23高一上·上海普陀·期末）已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以， 设另一个根，所以有， 故答案为： 【变式5-2】（22-23高一上·北京·期中）关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m= ． 【答案】/0.25 【分析】由一元二次方程有两相等实根有，即可求参数m的值. 【详解】由题意，，可得. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 考点六：方程组的解集 例6.（23-24高一上·北京·期中）方程组的解集是 ． 【答案】 【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集. 【详解】由，可得或， 当时，，即； 当时，，即； 所以原方程的解集为. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高一上·北京·阶段练习）方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组，用列举法表示解集 . 【详解】方程组，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C 【变式6-2】（2023高一·全国·课后作业）方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解. 【详解】由得， 将代入得，所以， 故选：D 【变式6-3】（23-24高一上·北京房山·期中）方程组的解集为 ． 【答案】 【分析】解方程组即可求解. 【详解】解方程组得，所以方程组的解集为. 故答案为：. 【规律方法】 1.代入消元法 2.加减消元法． 3.未知数个数多余方程个数时，选定“自由量”，使用“消元法”. 考点七：根据方程组的解集求参数 例7.（23-24高一上·北京·阶段练习）若关于的方程组与的解集相等，则 ； . 【答案】 /-0.5 【分析】根据条件得的解，也是两个方程组的解集，从而得到，进而可求出结果. 【详解】因为方程组与的解集相等， 所以的解集也是它们的解集， 由，得到， 所以，解得， 故答案为：. 【变式7-1】（2023高一·全国·课后作业）关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】将代入方程组，可得的关系式，求解即可. 【详解】由题意，将代入方程组得， 则，故. 故选：D. 【变式7-2】（2023高一·全国·课后作业）关于 的方程组的解集为，则 . 【答案】4 【分析】根据集合的定义解方程组即可求解. 【详解】因为关于 的方程组的解集为， 所以，解得， 故答案为：4. 【变式7-3】（22-23高一·全国·单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 【答案】2 【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，即， 关于，的二元一次方程组的解集为， 关于的方程的无解， ，即， 故答案为：2． 1．（21-22高一上·全国·课后作业）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的判别式，可判断方程没有实数根，即可得正确答案. 【详解】对于选项：因为；所以方程有两个相等的实数根，选项不合题意； 对于选项B： ，所以方程没有实数根，选项B符合题意； 对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意； 对于选项D：因为，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意． 故选：B. 2．（22-23高一上·北京·期中）设方程的两个实根，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数关系写出结果即可. 【详解】由一元二次方程根与系数关系知：. 故选：A 3.（22-23高一上·山东东营·阶段练习）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用判别式和韦达定理解决. 【详解】关于x的方程的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零， 则有，解得. 故选：C 4．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为 【答案】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】因为关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入，可得，解得. 故答案为：． 5.（2023高一·上海·专题练习）关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为 ． 【答案】 【分析】将代入方程即可得解，注意二次项系数不等于零. 【详解】因为关于的一元二次方程有一个根为， 所以，解得. 故答案为：. 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知方程的两根为和，则 ； . 【答案】 【分析】利用韦达定理可得、的值. 【详解】因为方程的两根为和，由韦达定理可得，， 所以，， . 故答案为：；. 7．（2022高一·全国·专题练习）解方程组. 【答案】或 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】是方程的两个实数根， 解方程得或， 故方程组的解是或. 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解； （2）联立方程组，结合一元二次方程的解法，即可求解. 【详解】 （1）解：由不等式组， ①+②，可得，②-③，可得， 联立方程组，解得，代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （2）解：由方程组，整理得，解得或， 当时，可得；时，可得， 所以方程组的解集为. 9．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. (1)有一根为； (2)有两个互为相反数的实根； (3)两根互为倒数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，结合代入法进行求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）依题意原方程有实数根， 所以解得； 将代入方程得； （2）两根之和为，即，显然满足； （3）因为两根互为倒数， 所以两根之积为，即，而，所以. 10．（23-24高一上·北京·期中）已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据根的判别式和韦达定理可得，代入已知条件计算即可求解； （2）由可得，结合（1）即可求解. 【详解】（1）由题意知，，， 则， 解得，所以的值为； （2）由， 得， 由（1）知，当时，，则. 所以的值为50. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$