第05讲 二次函数60道压轴题型专项训练（12大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第05讲 二次函数60道压轴题型专项训练（12大题型） 【题型目录】 压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题 压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题 压轴题型三 根据二次函数的对称性求值 压轴题型四 二次函数的平移压轴题 压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题 压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题） 压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题） 压轴题型八 二次函数中的存在性问题 压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题 压轴题型十 二次函数的翻折问题 压轴题型十一 二次函数最值问题 压轴题型十二 二次函数的综合 【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】 1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为 ． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图像过点， (1)当时，求a的值； (2)若，求p的取值范围； (3)求证：． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点． (1)当时，求b的值． (2)当时，求m的取值范围． (3)若两点也都在此函数图象上，求证：． 5．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． (2)若，，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和；且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②③若点，点都在抛物线上，则；④；⑤若，则．其中结论正确的是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若 当 时，函数最小值为 ，求t的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m的取值范围． 5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】 1．（2024·山东淄博·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线（，，为常数，） (1)若，，求此抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值． 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若．比较的大小关系，并说明理由； (2)点在抛物线上，若，求及的取值范围． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，则_______； (2)当，时，都有，求的取值范围． 【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】 1．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值的差为    3．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（b为常数）向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，其顶点为E． (1)求点E的坐标；（用含m，n的式子表示） (2)若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； (3)当时，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，且当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F，满足，求点F的纵坐标的取值范围． 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①至少写出该函数的两条性质； ②直接写出方程的解； ③直接写出方程有四个实数根时的取值范围． (2)延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象?写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围． 5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线:交轴于点A，B，交轴于点C． (1)如图1，当点A坐标为时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接，若将四边形平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标； (3)如图2，为等边三角形，点F，H在轴上，且点E的坐标为，将抛物线:向右平移个单位，再向下平移个单位后得到新的抛物线，若与等边三边恰有四个交点，求的取值范围． 【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】 1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的值； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下： 步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，； 步骤二：绘制函数； 步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化． 问题：如图2，将点移动到点的位置． (1)若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴； (2)在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和. (1)求，满足的关系式； (2)当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】 1．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元． 3．（2024·四川德阳·三模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． (1)当时，P等于______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？ 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 5．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： （元/件） （件） 10000 9500 9000 (1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值． 【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点和点在抛物线上．    (1)求的值及点的坐标； (2)点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标； (3)将抛物线向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式． 4．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． (1)当为何值时，的长度等于； (2)求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点为轴上一点，点关于直线的对称点为． ①当点刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点的坐标． ②点在抛物线上（点不与点、点重合），连接，，，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】 1．（2024·浙江宁波·一模）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米．      3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由． 4．（23-24九年级上·黑龙江伊春·期末）如图，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．    (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由； 5．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点E是直线上方抛物线上的一动点，过E作轴交x轴于点F，交直线于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】 1．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 3．（2024·浙江舟山·三模）已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，将点A向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数（a、b是常数，）图象的对称轴上． (1)用含a的代数式表示b． (2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． (3)若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．    (1)求m的值以及二次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出当时x的取值范围． (3)若将二次函数向上平移t个单位长度后，得到的图象与x轴没有交点，求t的取值范围． 5．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．    (1)若，如图． ①求该抛物线的表达式． ②求点的坐标． (2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【压轴题型十 二次函数的翻折问题】 1．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023江苏南通·模拟预测）如图，将二次函数（其中）的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是 ． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 5．（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数，且与x轴交于不同点M、N． (1)若二次函数图象经过点， ①求二次函数的表达式和顶点坐标； ②将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F，若直线过点，且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围； (2)若，当时，求实数m的取值范围． 【压轴题型十一 二次函数最值问题】 1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大值为 ． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． 求关于的函数解析式；求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ 当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）设二次函数（均为常数，且）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： (1)若． 求二次函数的表达式，并写出顶点坐标； 已知点与都在该二次函数图象上，且，请求出的最小值． (2)将该二次函数图象向右平移（）个单位，若平移后的二次函数图象在的范围内有最小值为，求的值． 【压轴题型十二 二次函数的综合】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线，，点，为抛物线上第一象限内的两点，且满足，以为边向右作矩形，若P点纵坐标为5． (1)求的值； (2)求的值； (3)求矩形的面积． 5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数60道压轴题型专项训练（12大题型） 【题型目录】 压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题 压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题 压轴题型三 根据二次函数的对称性求值 压轴题型四 二次函数的平移压轴题 压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题 压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题） 压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题） 压轴题型八 二次函数中的存在性问题 压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题 压轴题型十 二次函数的翻折问题 压轴题型十一 二次函数最值问题 压轴题型十二 二次函数的综合 【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】 1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．由“抛物线与轴只有一个交点“得出，即，其次，根据抛物线对称轴的定义知当和时函数值都为，得出最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点， △， 即， 当和时函数值都为， ， ， 把，代入得， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图像过点， (1)当时，求a的值； (2)若，求p的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）当时，得，解得； （2）根据题意，，，结合，解答即可； （3）根据题意，，，则，利用实数的非负性解答即可． 本题考查了抛物线的性质，实数非负性，不等式解法，熟练掌握性质，不等式性质是解题的关键． 【详解】（1）当时，得， 解得． （2）根据题意，，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴或，， ∴或． （3）根据题意，，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点． (1)当时，求b的值． (2)当时，求m的取值范围． (3)若两点也都在此函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）根据解析式可得对称轴为直线，进而可得，结合已知条件，即可求解； （2）令，得出抛物线与轴的交点为，根据可得在原点的两侧，结合得出，即可求解； （3）将，，分别代入，计算得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴对称轴为直线 又关于直线对称， ∴ ∵ ∴； （2）由 当时，，则抛物线与轴的交点为 ∵， ∴在原点的两侧， 又∵，则抛物线开口向上， ∴抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴ 解得： 又 ∴ （3）证明：将，，代入得， 由得， ∴ ∵ ∴ 5．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． (2)若，，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． （1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为；即可得函数图象的对称轴为直线； （2）当时，可得，又，故，得； （3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案． 【详解】（1）解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； ∵， ∴函数图象的对称轴为直线； （2）当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； （3）把和代入得： ， ， ， 或， ， 或，无解； 或； 把代入， 得：， ， ， ． 【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；②根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；③由抛物线与轴的另一个交点在点（，和，之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，， ∴根据左同右异，， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵方程没有实数根，抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线的对称轴， ∴抛物线与轴的另一个交点在点（，）和（，）之间， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时， 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上，可得正确结论的序号是：②③． 故选∶C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和；且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②③若点，点都在抛物线上，则；④；⑤若，则．其中结论正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，于是可对①进行判断；由于抛物线过点和，且，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到，变形可得，则可对②进行判断；利用点和点到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得，，两式相减得，然后把等式左边分解后即可得到，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到，变形得到，则可对⑤进行判断． 【详解】解：如图， 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①的结论正确； 抛物线过点和，且， ， ， ，所以②的结论正确； 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ，所以③的结论错误； 抛物线过点，， ，， ， ， ，所以④的结论正确； ， 而， ， ，所以⑤的结论错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若 当 时，函数最小值为 ，求t的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)的值为3或 (3)的取值范围为 【分析】（1）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）分三种情况：，即时，随增大而减小，当时，则时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可； （3）根据题意判断出点的位置，利用待定系数法确定的范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：若，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，随增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的值为， 当时，则时，的最小值为，不符合题意， 当时，随增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， 的值为3， 综上所述，的值为3或； （3）解：抛物线的对称轴是：直线，顶点坐标为， 如图所示，抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有10个整点， 点在与之间， 当抛物线经过点时，，， 当抛物线经过点时，，， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，把二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）抛物线过点，可知关于对称轴对称，即可求解； （2）设抛物线的对称轴为，先求出的取值范围，再根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是． （2）解：设抛物线的对称轴为， 由题知， 在的右侧，在的左侧， ∵，存在， ∴点到大于 点到的距离， ∴到的距离为：，点到的距离为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都在函数的左侧， ∴， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小， ∵， ∴． 【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】 1．（2024·山东淄博·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，则，，即可判断①；根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为，即可判断②；根据对称轴可得，根据当时，与其对应的函数值，得出，进而可得，根据对称性可得二次函数的图象过点，，得出，当时，得出，结合，即可判断③． 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，， 当时，与其对应的函数值， ，， 函数图象的顶点在第四象限内；故①正确： ②根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为， 即和3是关于的方程的两个根， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， 当时，与其对应的函数值， ，即， ． 对称轴为直线，二次函数的图象过点，， ，当时，， ， ． ， ③错误． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系； （1）根据抛物线的对称性可得点P的坐标与点C的纵坐标相等，再根据对称的性质求出横坐标即可； （2）把点A、C的坐标代入函数解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根据顶点在第一象限求出a的范围，即可求得t的范围． 【详解】解：（1）∵点C与点P关于直线对称， ∴点P的纵坐标为1； 设点P的横坐标为x，则， ∴， 即点P的坐标为； 故答案为：； （2）∵二次函数的图像过点和， ∴， 则， 即； 上式中，令，则； ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴，， 由后一式得，则， ∴由前一式得， ∴， 即， 故答案为：． 3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线（，，为常数，） (1)若，，求此抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)17． 【分析】（1）先根据题意求出对称轴为，将其代入抛物线方程即可得到顶点坐标； （2）先根据顶点坐标设抛物线的解析式，求得抛物线的解析式，由于为正整数，分成，，，，时，分别讨论部分平移后的图象与轴的交点个数，从而得到的值，再根据（1）可知抛物线平移后的对称轴为，且点S与点 Q关于对称轴对称，可得，即，将其代入代数式即可． 【详解】（1）对称轴为， ，即， ， 将代入得， ，即 顶点坐标为； （2）由（1）可知的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ， 抛物线与轴交于点，顶点坐标为， 因为为正整数，那么 当时，抛物线表达式为， 当时，，解得， 此时抛物线与轴的交点有2个，其中， 但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个； 当时，抛物线的表达式为， 当时，，解得，，此时抛物线与轴的交点有2个， 但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个； 当时，抛物线的表达式为， 当时，，解得，，，，满足的要求，此时抛物线与轴的交点有2个； 当时，抛物线表达式为，此时，抛物线与轴交点为1个； 当时，抛物线与轴交点为0个； 综上所述，； 由（1）可知平移之后抛物线的对称轴为：， 点与点 关于对称， ， 将代入代数式 则 故代数式的值为 17． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性，二次函数的平移，解一元二次方程，一元二次方程的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若．比较的大小关系，并说明理由； (2)点在抛物线上，若，求及的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 （1）根据二次函数的增减性，利用对称轴与点横坐标进行比较即可判断大小关系． （2）由题意得，将，两点代入解析式，进而结合，即可求出的取值范围，又根据、关于对称轴对称，借助的范围即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵，即， ∴对称轴为：， 故 ∵，故离对称轴越远的点纵坐标越大， ， ∴， 当，， ∵故 （2）解：由题意，由抛物线的对称轴为，得， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点与是对称点， ∴． ∴， ∴． 综上可得， ，． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，则_______； (2)当，时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据，即可求解； （2）根据，， ，进行讨论求解即可 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为：直线， ∴， 故答案为：5． （2）①当时，， ∵， ∴，， ∵， ∴． ②当时，则与条件矛盾， ③当时，与条件矛盾， 综上，当，时，都有，的取值范围． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键． 【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】 1．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象的平移，运用数形结合思想是解题的关键． 先找出符合题意的整点共计10个，再依次以y轴上整点个数分类讨论，判断y轴右侧在区域内的整点个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点在x轴上，其余部分均在x轴上方， 而， ∴对称轴为直线， 则在x轴上方且与抛物线围成的整点有共10个， 当封闭区域在y轴上只有整点时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， ∴只有一个整点； 当封闭区域在y轴上只有整点，时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， ∴只有2个整点； 当封闭区域在y轴上只有整点，，时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， 就必定包括这个整点， ∴ 不能为3个， 故选：C． 2．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值的差为    【答案】 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质等知识点，画出图象，从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值，解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值． 【详解】如图，    由题意得，互异二次函数的顶点在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C， ∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值，当互异二次函数经过点时，，或； 当互异二次函数经过点时， ，或m=； ∴互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值分别是，—1， ∴最大值与最小值的差为， 故答案为：． 3．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（b为常数）向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，其顶点为E． (1)求点E的坐标；（用含m，n的式子表示） (2)若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； (3)当时，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，且当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F，满足，求点F的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 (3)①；② 【分析】（1）把点代入抛物线求出，根据图象的平移的性质，即可得到抛物线：，顶点E的坐标为； （2）由于抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，分别讨论当抛物线经过原点时和抛物线不经过原点时两种情况．当抛物线经过原点时满足要求，将代入抛物线：，即可求出顶点E的坐标为；当抛物线不经过原点，与轴一定会有一个交点，所以抛物线与轴只有一个交点，即当顶点落在轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，此时，顶点E的坐标为； （3）① 画出图象可知，当时，抛物线纵坐标取值范围是，要满足题目要求，D点纵坐标要小于等于-1，即，同时点横坐标小于等于2，即，由此可解出m的取值范围； ② 存在一点F，满足，故点在的中垂线上，即抛物线的对称轴上，设，然后利用两点间的坐标公式，结合，化简可得，即是关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线，在，随着的增大而减小，根据函数增减性，即可求出点F的纵坐标的取值范围； 【详解】（1）抛物线过点， ，解得， 抛物线． 向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，根据图象的平移，可得， 抛物线：． 其顶点E的坐标为． （2） 抛物线与坐标轴有且只有两个公共点， ① 当抛物线经过原点时满足条件，如图所示，    将代入抛物线：， 得，即， 顶点E的坐标为． ② 当抛物线不经过原点，与轴一定会有一个交点，所以抛物线与轴只有一个交点，即当顶点落在轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，如图所示，    此时，，顶点E的坐标为． 综上所述，顶点E的坐标为或． （3）① 当时，抛物线为：，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，如图所示，    当，， 点坐标为， 当，即，解得，， ，， 当时，抛物线纵坐标取值范围是， 当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等， 点纵坐标要小于等于-1，即，解得，或（由于，舍去） 同时点横坐标小于等于2，即，解得， 综上，． ② 存在一点F，满足， 点在的中垂线上，即抛物线的对称轴上，故设， ，， ， ， ，即， ， 整理化简得，， ， ， 二次函数的对称轴为直线，开口向下， 在，随着的增大而减小， 当时，，时，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，图象的平移，勾股定理，利用函数的增减性求函数值的取值范围，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①至少写出该函数的两条性质； ②直接写出方程的解； ③直接写出方程有四个实数根时的取值范围． (2)延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象?写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)①关于y轴对称；函数的最大值为0（答案不唯一）；②，，；③ (2)将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象；或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数图象的平移，数形结合， （1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解； （2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题． 【详解】（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，函数的最大值为0（答案不唯一）； ②由题意及图象可看作直线与函数的图象交点问题，如图所示： ∴方程的解为，，； ③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示： ∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是； 故答案为； （2）由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示： ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或． 5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线:交轴于点A，B，交轴于点C． (1)如图1，当点A坐标为时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接，若将四边形平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标； (3)如图2，为等边三角形，点F，H在轴上，且点E的坐标为，将抛物线:向右平移个单位，再向下平移个单位后得到新的抛物线，若与等边三边恰有四个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，求一次函数解析式，等边三角形的性质等知识点， （1）将点代入，即可求函数的解析式； （2）设，求出直线的解析式为，再由，可得方程，即可求D点横坐标； （3）根据等边三角形的性质，分别求出，，再由平移的性质求出平移后的函数解析式为，求出直线的解析式为，直线的解析式为，当直线、与抛物线相切时，与抛物线与三个交点，当抛物线经过、时，与抛物线与三个交点，根据此临界情况，可得当或时，与等边三边恰有四个交点； 熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入中得， ，    解得：，      ∴； （2）设，y轴与直线交于点E， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵D是第二象限内抛物线上的一点， ∴（舍去）， ∴点D的横坐标是； （3）将抛物线：向右平移个单位，向下平移个单位后得到新的抛物线：， ①如图2，当抛物线与边相切时，抛物线与等边三角形三边有三个交点， ∵，为等边三角形， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， 当抛物线过点时，抛物线与等边三角形三边有三个交点， ， ， ∴当抛物线等边三角形三边恰有四个交点时，， ②如图3，当抛物线与边相切时，抛物线与等边三角形三边有三个交点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解得（ 舍去）， 当抛物线过点时，抛物线与等边三角形三边有三个交点， ， ∴， ∴当抛物线等边三角形三边恰有四个交点时，， 综上：或时，抛物线与等边三边恰有四个交点． 【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】 1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【详解】解：，， ，， 抛物线与的交点为A， ， 整理得， 解得或， ， ， 抛物线与，与x轴的交点分别为B，C， ，可得，，可得， ， ，， ， 故选：C． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的值； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解． （1）①由，可得抛物线解析式，令求解． ②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出时的值，进而求解． （2）由抛物线恒在轴下方可得，由符合条件的整数只有三个可得的取值范围，进而求解． （3）由点坐标求出的值为1，求出直线，直线与抛物线的交点坐标，分类讨论，两种情况，列不等式组求解． 【详解】（1）当，时， ， 令，则， 解得，， 抛物线与轴交点坐标为，； （2）， 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， 将代入得， 抛物线经过， 由抛物线对称性可得抛物线经过， 时，随增大而减小，时，随增大而增大，且， 或． （3）点的坐标是， ， ， 时，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， ①当时，抛物线顶点在轴上，满足题意， 解得（舍或． ②当时，若点在轴上或轴下方，点在轴上方满足题意， 则， 解得， ③当时，若在轴上方，点在轴下方满足题意， ， 解得． 综上所述，或或． 4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下： 步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，； 步骤二：绘制函数； 步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化． 问题：如图2，将点移动到点的位置． (1)若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴； (2)在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，B或或或 【分析】(1)根据题意，确定a，b的值，结合对称轴为直线计算即可． (2)根据题意，确定，结合抛物线与x轴只有一个交点，得到，分点B、C在点A同侧和异侧两种情形求解即可． 【详解】（1）由题意知，， ∴对称轴为直线． （2）∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴， ∵， ∴， 当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时， 则， ∴ 解得或， ∴B点坐标为或 ②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点， 则，， ∴ 解得或， ∴B点坐标为或． 综上， B或或或． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与x轴交点，根的判别式是解题的关键． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和. (1)求，满足的关系式； (2)当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系； （2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围； （3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解． 【详解】（1）把和分别代入函数式， 得方程组. 由这个方程组得. 所以，满足的关系式为. （2）∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且， ∴. ∵， ∴，解得. 所以的取值范围是. （3）由（1）得，， 又∵函数图象与轴无交点， ∴，解得. ∵， ∴当时，的最小值为，当时，. ∴的取值范围是 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的对称轴公式，顶点公式，会根据抛物线和x轴交点的情况求解． 【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】 1．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 2．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元． 【答案】1264 【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可． 【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份． 据题意：， ， ∴， ∵， ∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元， 故答案为：1264． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点． 3．（2024·四川德阳·三模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． (1)当时，P等于______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？ 【答案】(1)400； (2)当时，取最大值，最大值为8750元； (3)小红错误，理由见详解． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案； （3）根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是， 当时，， 故答案为：400． （2）解：由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ， 即，解得． 当时，取得最大值，此时， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元； （3）解：小强：， 设日销售额为元， ， 当时，值最大，此时， 当时，值最大，此时， 小强正确． 小红：当日销售利润不低于8000元时， 即， ，解得：， ， 当日销售利润不低于8000元时，． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 5．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： （元/件） （件） 10000 9500 9000 (1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元 (3)3，4，5 【分析】（1）用待定系数法即可求解即可； （2）由，根据函数的性质即可求解； （3）根据题意得，，则对称轴为直线，进而求解． 【详解】（1）解：设和的函数表达式为， 则， 解得， 故和的函数表达式为； （2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元， 由题意得 ， 解得， 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵，x为正整数， ∴当时，有最大值， 最大值为， 答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元； （3）根据题意得，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 对称轴，大于等于，则对称轴大于等于，由于取整数， 实际上是二次函数的离散整数点，取，，时利润一直增大， 只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于就可以了， 故， 解得， ∵， ∴， 整数的值为3，4，5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式等知识，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组． 【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合．根据题意画出函数图像，再利用平移的方法即可求解． 【详解】解：当时，，画出函数图像如图所示． 当时，，画出函数图像如图所示． 第二个小球的运动高度，令，解得或1， 两球在空中相遇，即把抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与抛物线在第一象限有交点， 当或时，两图像交于点， ， 故选：B．    2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点横坐标即可求解； 由题意可得，由得到点和点关于抛物线的对称轴对称，即点距也是，，进而得到，由勾股定理即可求出的长； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴落点到拦网的距离为， 故答案为：； 由题意可得，， ∴， ∵， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴点距也是， 设轴交于点，连接， ∵轴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点和点在抛物线上．    (1)求的值及点的坐标； (2)点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标； (3)将抛物线向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式． 【答案】(1)，点坐标 (2)点坐标为或 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合题型． （1）直接代入点即可求出，然后求点坐标； （2）设直线为，用待定系数法求出其解析式，然后求出过点且垂直直线的解析式即可； （3）过点作轴的垂线，过点、点作轴的垂线得到点，由直线解析式为，得都是等腰直角三角形，然后求出，可得坐标，最后根据平移得到结果． 【详解】（1）解：把点代入，得到， ∴抛物线为 ∴时， ∴点坐标 ∴，点坐标； （2）设直线为，则有 解得， ∴直线为 ∴过点垂直的直线为，与y轴交于点， 过点垂直的直线为，与轴交于点， ∴点在轴上，且是以为直角边的三角形时，点坐标为或； （3）如图四边形是正方形，过点作轴的垂线，过点、点作轴的垂线得到点．    ∵直线解析式为， ∴都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴点到点是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到， ∴抛物线的顶点，向右平移6个单位，向下平移6个单位得到， ∴此时抛物线为． 4．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． (1)当为何值时，的长度等于； (2)求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 【答案】(1)当t为0秒或2秒时，的长度等于 (2)P、Q出发秒时，有最大值，这个最大面积为 【分析】（1）利用的代数式分别表示出线段，，，利用勾股定理在 中列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到关于的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ． 在中， ， ， 解得：或， 答：当为0秒或2秒时，的长度等于． （2）由（1）知：，， 当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动， ， ． ， 关于的函数解析式为； ， ， 当秒时，有最大值，最大值为． 、出发秒时，有最大值，这个最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用的代数式分别表示出线段，，的长度是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点为轴上一点，点关于直线的对称点为． ①当点刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点的坐标． ②点在抛物线上（点不与点、点重合），连接，，，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)函数表达式为： (2)①点②存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【分析】 （1）根据题意，由点、，利用待定系数法，求出答案． （2）①利用对称性，得到，由此得到轴，从而求出点，再由，得到答案． ②分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，求出每一种情况对应的点的坐标． 【详解】（1）解：由已知得： 抛物线与轴交于点、， ， ， 函数表达式为：． （2）①如图，点，关于直线对称，连结，． 当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， 又点关于直线的对称点为， 由对称性可知：， 轴， ，关于抛物线对称轴对称， 对称轴为直线， 点． ，即， 点． ②以为直角顶点，若点在点下方，如图，过点作轴， ，， ， ， ， 轴， ， ， ，， ， ， 设， 点， ， ，（舍去）， ； 若点在点上方，如图， ，， ，， ， 点纵坐标为， ， （舍去），， ； 如图，若以点为直角顶点，此时点与点重合，不合题意， 如图，若以点为直角顶点，此时点与点重合，不合题意， 如图，以为直角顶点，此时轴，过点作轴，交于， ， ， 设， 点的纵坐标为， ， ， ，（舍去）， ； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，结合题意，分类讨论是解答本题的关键． 【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】 1．（2024·浙江宁波·一模）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题．由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图，    联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， △， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米．      【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，令，求得，进而当时，求得，进而即可求解． 【详解】解：令， 解得：舍去或米， 则， 则米， 当时，（米）， 则米， 故答案为：． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，面积的最大值为， 点的坐标是 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时关键． （）根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可； （）设的面积为，，则，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得解。 【详解】（1）解：在中，令得，令得 ，， 二次函数的图象过、两点， ， 解得 二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴交于点，    设的面积为，，则， ∴ ∵，， ∴ ∴当时，面积的最大值为，， 点的坐标是 4．（23-24九年级上·黑龙江伊春·期末）如图，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．    (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1)， (2)存在，或， 【分析】（1）利用待定系数法将，两点的坐标代入解析式中，解方程组即可求得； （2）根据题意画出符合题意的图形，设出点的坐标，依据解析式得出点的坐标，利用，的坐标表示出线段，的长度，利用平行四边形的对边相等得到，解方程即可求得的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 直线经过、两点， ． 解得：． 直线的解析式为：． （2）存在． ， 抛物线的顶点的坐标为． 轴，在直线上， ． ． ①如图1，连接，    若点在轴的下方，四边形为平行四边形，则． 设，则． ． ． 解得：或（舍去）． ． ②如图2，连接，，，    若点 在轴的上方，四边形为平行四边形，则． 设，则． ． ． 解得：（负值舍去）． ． ，． 综上，点的坐标为或，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法确定函数的解析式，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度，平行四边形的性质． 5．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点E是直线上方抛物线上的一动点，过E作轴交x轴于点F，交直线于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)最大值为 (3)存在，点坐标为：，或者 【分析】(1)先根据一次函数求出点的坐标，再用待定系数即可求解； (2) 设点的横坐标为，则有，进而有，即可得：，化简得：，利用二次函数的性质即可求解； (3)根据(2)的结论可知：当时，有的坐标为：，令，可得坐标为：，设的坐标为：，的坐标为：，以，为顶点的四边形为平行四边形，此时分类讨论：第一种情况：以为对角线时，另一条对角线为，第二种情况：以为对角线时，另一条对角线为，第三种情况：以为对角线时，另一条对角线为，再结合平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即的坐标为， 当时，，解得，即的坐标为， 将代入抛物线中， 有，解得 ， 故抛物线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是直线上方拋物线上的一动点， ， 轴，且点在直线上，直线解析式为， ∴点和点的横坐标相同，则， 则有：， ， ∴当时，有最大值，最大值为，此时； 即最大值为； （3）解：存在，理由如下： 解：根据(2)的结论可知：当时，有的坐标为：， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为：， 令，解得或者，即可得坐标为：， 根据点是抛物线对称轴上的动点，设的坐标为：， 根据点是抛物线上的点，设的坐标为：， 以为顶点的四边形为平行四边形，此时分类讨论： 第一种情况：以为对角线时，另一条对角线为， 根据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可得： ，解得： ，则可得点坐标为：； 第二种情况：以为对角线时，另一条对角线为， 根据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可得： ，解得： ，则可得点坐标为：； 第三种情况：以为对角线时，另一条对角线为， 根据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可得： ，解得： ，则可得点坐标为：； 综上：点坐标为：，或者． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，掌握二次函数的图象与性质以及中点坐标公式是解答本题的关键． 【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】 1．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．依据题意，由抛物线过，，从而可得抛物线的对称轴，且有，用表示和，进而用m表示抛物线的顶点，再结合一次函数过和二次函数的顶点，即可求出． 【详解】解：抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线，， ， ， 顶点为， 又一次函数过和二次函数的顶点， ，且， ， 或（舍去）， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可． 【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵一次函数经过，一次函数经过． ∴， 当时， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 当时，，， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 故答案为：或5 3．（2024·浙江舟山·三模）已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，将点A向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数（a、b是常数，）图象的对称轴上． (1)用含a的代数式表示b． (2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． (3)若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析，该点的坐标为 (3)a的取值范围是或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键． （1）先求得，再利用抛物线的对称轴方程列式计算即可求解； （2）联立方程组结合，得到，求得，，据此求解即可； （3）分①当时和②当时，两种情况讨论，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 由题意可得， ∴，即； （2）解：联立方程组，得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为； （3）解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点，一次函数的图象与y轴交于点， ①当时， ∵二次函数的图象与y轴交于点，一次函数的图象与y轴交于点， 又∵两函数必定交于一个定点为， ∴由图象可得，时，均符合题意； ②当时， 由图象可得，当时，，或者二次函数的图象与线段只有一个交点时，符合题意； 当时，，解得； 当二次函数与线段只有一个交点时， 联立方程组，得， 即， 由，即， 解得， 综上所述，a的取值范围是或或． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．    (1)求m的值以及二次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出当时x的取值范围． (3)若将二次函数向上平移t个单位长度后，得到的图象与x轴没有交点，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的基本性质和二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据待定系数法求解； （2）即一次函数图象在抛物线上方，观察图象即可求解； （3）将二次函数向上平移t个单位长度后得：，与x轴无交点即方程无实数根，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数； （2）由图象得：当时x的取值范围为； （3）将二次函数向上平移t个单位长度后得：， 与x轴无交点即方程无实数根， 由题意得：， 解得；． 5．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．    (1)若，如图． ①求该抛物线的表达式． ②求点的坐标． (2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；② (2)是， 【分析】（1）①将的值代入一次函数解析式，可求出点的坐标，利用待定系数法可得出结论；②由抛物线的对称性可得点的坐标，根据平行四边形的性质可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论； （2）根据待定系数法可求出点的坐标，从而可得抛物线的解析式为：；由抛物线的对称性可得，由平行四边形的性质可知，进而求出直线的表达式，联立求出点的坐标，进而求出的长度，求出比值即可得出结论． 【详解】（1）解：①当时，一次函数为， 令，则；令，则， ，， 设抛物线的表达式为：， 将代入可得，， 解得； 抛物线的解析式为：； ②由抛物线的对称性可得，， 由平行四边形的性质可知，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令， 解得舍或， ； （2）解：是定值，理由如下： 对于， 令，则；令，则， ，， 设抛物线的表达式为：，， 将代入可得，， 解得； 抛物线的解析式为：； 由抛物线的对称性可得，， 由平行四边形的性质可知，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令， 解得舍或， ； ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识点，表达出点的坐标是解此题的关键． 【压轴题型十 二次函数的翻折问题】 1．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得点，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和，分两种情况：①当时，②当时，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折， ，直线为，抛物线的对称轴为直线，轴右侧的部分的抛物线为， ， 点在点左侧， 如图，当时，函数单调递增， ， ①当时， ， ， 解得， 又， ； ②当时，， ， 解得， 又， ， 综上，的取值范围为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键． 2．（2023江苏南通·模拟预测）如图，将二次函数（其中）的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意得出翻折后的抛物线解析式为，若与恰有两个交点，则需分两种情况，①当直线与和分别有一个交点时，结合图象即可解答；②当直线与有两个交点，直线与无交点时，联立方程组，利用根的判别式求出m的值，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数（其中）的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到的抛物线解析式为：， ∵直线， 当x=0时，y=2，当y=0时，x=-2， ∴直线与x轴交点为（-2,0），与y轴的交点为（0,2）， ①如下图，当抛物线经过点（-2,0）时，0=4-m，解得m=4， 观察图象可知，当m＞4时，与恰有两个交点， ②由得，当时，解得：， 观察图象可知，当时，与恰有两个交点， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题． （1）利用配方法求出顶点D坐标，令，可以求出点A坐标； （2）求出直线解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （3）分为边，为对角线两种情形分别讨论即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴顶点， 令，则， ∴点， ∴； （2）设直线为，则，解得， ∴直线解析式为， 由，解得， ∴点E坐标为， ∴点关于y轴的对称点， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或， ∵， ∴； （3）如图， ①当为边时，，， 令，则， ∴点C的坐标为， ∴ 根据平移可以得到点P坐标， ∴， ∴或(舍弃)， ②当为对角线时，为边， 根据平移可得点坐标， ∴， ∴或(舍弃) ∴抛物线解析式为或． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数, 是常数,)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换． （1）解方程: 得，，然后求出直线经过点 时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到直线与图象恰好有个交点时，的值. （2）求出直线经过点时的值，结合（1）的结果即可得到直线与图象恰好有个交点时的取值范围. 【详解】（1）如图，当时，， 解得 ， 则，， 当直线经过时, ， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 解得 ， 所以当直线与图象恰好有个交点时，或 ． （2）当直线经过点时, 解得 观察图象，若直线 与图象恰好有个交点时，的取值范围为或 ． 5．（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数，且与x轴交于不同点M、N． (1)若二次函数图象经过点， ①求二次函数的表达式和顶点坐标； ②将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F，若直线过点，且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围； (2)若，当时，求实数m的取值范围． 【答案】(1)①，顶点为；②或； (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）①代入A的坐标，求得，即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出函数图象，代入关键点，结合图象即可求得n的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到根与m的不等式，解不等式即可，注意利用根的判别式确定m的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴顶点为； ②∵时，，时，， 即函数图象经过点， ∴将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，点的对应点为， ∵直线过点， ∴， ∴， ∴， 当直线过点时，直线与图象F恰有一个交点，此时，，解得， 当直线过点时，直线与图象F恰有三个交点，此时，，解得， 当直线过点时，直线与图象F恰有两个交点，此时，，解得， ∴若直线过点，且与图象F恰有两个交点，n的取值范围是或； （2）设， 令，则， 二次函数，与x轴交于不同点M、N． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 又∵， ∴， 解得： ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴时，不等式成立， ∴实数m的取值范围是． 【压轴题型十一 二次函数最值问题】 1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．①当时，时，取最大值2，时，取最小值，代入，无解；②当时，时，取最大值2，时，取最小值1，不满足；③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2，不满足；④当时，时，取最小值1，时，取最大值，代入，求出值． 【详解】 对称轴为，顶点坐标为， 将代入，，所以该二次函数过 将代入，，所以该二次函数过 画出的图象，，开口向上，如图所示 ①当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为 ， 该方程无解； ②当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为1 ， 不满足 ③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2 ， 不满足 ④当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为 ， 解得， 舍去 故选：C． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，由随的增大而增大的取值范围可得与的数量关系，进而求解． 【详解】解：，为常数且， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ，即， ， 最大值为． 故答案为：． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①先表示出，，由得到或，当时，有，解得：，则，可得，故；当时，有，解得：，故，因此可求，综上所述，；②将点代入，得：，求出，将代入①可得：，求出m关于的二次函数，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的函数表达式； （2）①解：∵， ∴， 而二次函数，且过点， ∴，， ∵ ∴或， 当时，有 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， ∴， 当时，有， 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， 综上所述，； ②将点代入， 得：， 由②①得：， ∴， 将代入①可得：， ∴， ∴，m取得最大值为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，借助于图像求解集，难度较大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． 求关于的函数解析式；求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ 当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)；当时，有最大值为；； (2)，． 【分析】（）当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； 根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 当时，， 把、代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵和时，函数值相等， ∴， 整理得，， 解得（不合，舍去）或， ∴的值为； （2）解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过原点和点， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 即， 整理得，， ∴或， ∵ ∴， ∴或不合，舍去； 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，，． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）设二次函数（均为常数，且）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： (1)若． 求二次函数的表达式，并写出顶点坐标； 已知点与都在该二次函数图象上，且，请求出的最小值． (2)将该二次函数图象向右平移（）个单位，若平移后的二次函数图象在的范围内有最小值为，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为；； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的表达式，再根据二次函数的表达式即可求出顶点坐标； 根据二次函数的增减性可得，进而得到，由二次函数的性质可得当时，随的增大而增大，则的最小值是时的函数值，代入求解即可； （）求得抛物线的解析式，进而求出平移后的函数解析式，根据题意时，函数有最小值，可得，解方程即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； ∵点与都在该二次函数图象上，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴的最小值是时的函数值， ∴的最小值； （2）解：由表格数据可知，抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， 将该二次函数图象向右平移（）个单位得到， ∵平移后的二次函数图象在的范围内有最小值为， ∴抛物线开口向下，时，函数有最小值， 把代入得，， ∴， 解得， ∵， ∴． 【压轴题型十二 二次函数的综合】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可． 【详解】解：（1）由好点”定义可得：， ∴， 整理得：， ∴或5， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为，， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点A时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ∴， 解得：， ∴c的取值范围为： ． 故答案为：． 3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把点代入，即可解答； （2）先求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的另一个交点，得出和，再根据n的范围即可得出答案； （3）分别表示出，，，再相加化简即可． 【详解】（1）由题意得，抛物线（m是常数，且）经过点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意得：垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点， ，即与抛物线交于P、Q，与直线交于N， 对于二次函数，令，则， ， 又对称轴是直线， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与抛物线的另一个交点满足 ， 解得：（舍去），或， 另一个交点为， 直线与的交点在之间， ， 又P、Q两点为直线与抛物线的交点， ，即， ， 又在直线上， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， 当，，时，， ， ， ． ， ． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线，，点，为抛物线上第一象限内的两点，且满足，以为边向右作矩形，若P点纵坐标为5． (1)求的值； (2)求的值； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，完全平方公式的变形求值，矩形的性质，勾股定理： （1）根据矩形对角线中点坐标相同进行求解即可； （2）连接，在中，由勾股定理得，进而得到，解得； （3）先得到，，则，即，由勾股定理可得，设，进而可得，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴由矩形对角线中点坐标相等可得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点，为抛物线第一象限内的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴矩形的面积为． 5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； （2）如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$