第02讲 矩形的性质与判定-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定 【北师大版】 ·模块一 矩形的性质 ·模块二 矩形的判定 ·模块三 矩形的性质与判定综合 ·模块四 课后作业 模块一 矩形的性质 1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质1：矩形的四个内角都相等，且为． 性质2：矩形的两条对角线相等． 性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线． 另外，由矩形的性质可以得出：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形． 【考点1 由矩形的性质解角度问题】 【例1.1】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，．若，则 ． 【变式1.1】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）矩形的对角线、交于点，平分交矩形的一条边于点，已知，则的度数为 ． 【考点2 由矩形的性质解线段长度问题】 【例2.1】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【例2.2】（2024·安徽宿州·一模）如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）    A．4 B． C． D． 【变式2.1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，分别是边的中点，连接分别是边的中点，连接．若，则的长度为（    ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【变式2.3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D． 【考点3 由矩形的性质解面积问题】 【例3.1】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【变式3.1】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 【变式3.2】（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论有(　  ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【变式3.3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为 ． 【考点4 由斜边的中线等于斜边一半解问题】 【例4.1】（2024·重庆·一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为 ． 【例4.2】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，分别是的中点，点在上，延长交于，，则 ． 【例4.3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式4.1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 【变式4.2】（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，中，，为边上的中点，为边上一点，，连接、，延长交延长线于，若，，则 ． 【变式4.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在上，且，点是边上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长为 ．    模块二 矩形的判定 判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是的四边形是矩形． （4）对于平行四边形 ，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形． 【考点1 添一个条件使四边形是矩形】 【例1.1】（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）在四边形中，对角线，互相平分，若添加一个条件，使得四边形是矩形，则下列条件不能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 【变式1.2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式1.3】（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是 ．（填序号） 【考点2 证明四边形是矩形】 【例2.1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边上一点，连接，与交于点，且，过作交于，求证：四边形是矩形． 【例2.2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是矩形． 【例2.3】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）当与满足条件 时，四边形ABDF是矩形． 【变式2.1】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【变式2.2】（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，连接AE，AF，CE，CF． (1)判断四边形AECF的形状并说明理由； (2)当AC与BD满足怎样的数量关系时，四边形AECF是矩形？为什么？ 【变式2.3】（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 模块三 矩形的性质与判定综合 【考点1 矩形的性质与判定综合应用】 【例1.1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 【变式1.1】（2024·云南昆明·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，交边于点，过点作于点．求的长． 【变式1.2】（23-24八年级下·湖北随州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 【变式1.3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，G恰好是的中点，求的长． 【变式1.5】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，点M、N分别为边、的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，延长至点P，使，连接，若，请直接写出图2中所有与相等的线段（不包括）． 模块四 课后作业 1．（2024·河北石家庄·二模）在矩形中，，点P是线段上一点，点M、N、E分别是的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形成为矩形（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是(    )    A．6 B．7 C．8 D．10 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，是矩形中边的中点，将沿折叠到在矩形内部，延长交于点，若，则 ． 8．（2024·湖南永州·三模）如图，矩形中，O为的中点．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的面积是 ． 9．（2024·浙江台州·三模）如图，点E为矩形的边上一点，，，将沿翻折得到，使点F落在矩形内部，连接．若平分，则的长为 ．    10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长为 ． 11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线交于点O，点E是菱形外一点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交于点F，当，时，求的长度． 12．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的值． 13．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）在中，，为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，垂足分别为G 、H，E 、F分别是、的中点，连接．    (1)求证：； (2)连接，若，则四边形的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 矩形的性质与判定 【北师大版】 ·模块一 矩形的性质 ·模块二 矩形的判定 ·模块三 矩形的性质与判定综合 ·模块四 课后作业 模块一 矩形的性质 1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质1：矩形的四个内角都相等，且为． 性质2：矩形的两条对角线相等． 性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线． 另外，由矩形的性质可以得出：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形． 【考点1 由矩形的性质解角度问题】 【例1.1】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】根据矩形性质得出 推出根据求出求出，根据 即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的四个角都是直角． 【变式1.1】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明是等腰直角三角形，求出，即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ═， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口． 【变式1.2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 【变式1.3】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）矩形的对角线、交于点，平分交矩形的一条边于点，已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分点E在边上和点E在上两种情况讨论即可. 【详解】解：当点E在边上时，如图：   四边形是矩形， 平分， ， 是等边三角形，， ， ； 当点E在上时，如图：   四边形是矩形， 平分， ， 是等边三角形， ， ， 综上，的度数为或. 故答案为：或 【点睛】此题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握各个知识点是解答此题的关键. 【考点2 由矩形的性质解线段长度问题】 【例2.1】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识．首先根据勾股定理求出，，然后证明出四边形是菱形，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 【例2.2】（2024·安徽宿州·一模）如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中垂线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求． 【详解】解：连接，   四边形是矩形， ， 且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． 故选：C． 【变式2.1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由已知条件得出，由线段垂直平分线的性质得出 ，得出为等边三角形，因此，由三角形的外角性质得出，由含角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2.2】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，分别是边的中点，连接分别是边的中点，连接．若，则的长度为（    ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．连接并延长交于，连接，首先证明，得，再利用勾股定理求出的长度，再根据三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：如图，    连接并延长，交于点，连接． 四边形是矩形， ． 分别是边的中点，， ， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， 是的中点， ． 故选：C． 【变式2.3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意知，，则，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图1，在上取点，使，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即三点共线，如图2，则四边形是矩形，     ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．明确时，点的位置是解题的关键． 【考点3 由矩形的性质解面积问题】 【例3.1】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，由四边形和四边形是全等的矩形，得出，，，所以四边形是平行四边形，在和中，利用证明两个三角形全等，得出，又因为四边形是平行四边形，推出四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理得，解得，所以图中重叠（阴影）部分的面积，解题的关键是掌握相关知识． 【详解】解：如图， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 设， 则， 在中，由勾股定理得， 解得， 图中重叠（阴影）部分的面积， 故选：D．    【变式3.1】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，根据为中线，可得，，根据，可得，，，即有，进而可得，， ，即可得，问题随之得解． 【详解】连接，如图，    ∵面积为矩形面积的一半，矩形的面积为12， ∴， ∵为中线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中线的性质，得出，且等高的两个三角形面积之比等于其底之比，是解答本题的关键． 【变式3.2】（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论有(　  ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、， ∴， 不能得出， 故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∴点一定在对角线上，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式3.3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：如图： 解：作于M，交于N． ∵，且四边形是矩形 ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4． 【考点4 由斜边的中线等于斜边一半解问题】 【例4.1】（2024·重庆·一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，设交于F， ∵四边形是矩形，点O是对角线的中点， ∴，点O是对角线的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4.2】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，分别是的中点，点在上，延长交于，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵，分别是，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4.3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图，连接、，   ，，， ， ，点、分别是、的中点， ，， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故选：A． 【变式4.1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明是等腰三角形，进一步得到则，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，与互相平分， ∴点O是与的中点，是等腰三角形， ∵点E为线段的中点， ∴，， ∴是等腰三角形，， 设，则，， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4.2】（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，中，，为边上的中点，为边上一点，，连接、，延长交延长线于，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E是的中点是解题的关键. 取的中点G，连接，则，可得，再利用三角形中位线定理得，利用证明得，再利用勾股定理分别求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； 【详解】解：取的中点G，连接， 则， 为边上的中点，G为的中点， 是的中位线， 在和中 , 在中， 为边上的中点， 在中， 在中， , 故答案为： 【变式4.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在上，且，点是边上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，连接，和，由题意可得，，和，则有和，进一步有，可得，继而得，则有，可判定，有即可． 【详解】解：连接，和，如图，    在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ． 模块二 矩形的判定 判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是的四边形是矩形． （4）对于平行四边形 ，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形． 【考点1 添一个条件使四边形是矩形】 【例1.1】（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）在四边形中，对角线，互相平分，若添加一个条件，使得四边形是矩形，则下列条件不能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定等知识点，对角线，互相平分，可得四边形是平行四边形，再由矩形的判定，即可求得答案，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【详解】∵在四边形中，对角线，互相平分， ∴四边形是平行四边形， A、当时，平行四边形是矩形，不符合题意； B、当时，平行四边形是矩形，不符合题意； C、当时，平行四边形还是平行四边形，符合题意； D、当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形，不符合题意； 故选：C． 【变式1.1】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定方法．根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：A、，根据对角线相等且平分的四边形是矩形，能判定四边形是矩形，本选项符合题意； B、，，能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； C、，，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； D、，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1.2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连，    ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【变式1.3】（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①， 新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形， ，． ， ． 根据等腰三角形的性质可知， ， 新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形， ． ， ． ． ， 四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④，， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件． 所以①②④符合条件． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理． 【考点2 证明四边形是矩形】 【例2.1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边上一点，连接，与交于点，且，过作交于，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是菱形    四边形是平行四边形． ． 四边形是平行四边形 四边形是矩形． 【例2.2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明即可； （2）证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 点，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， 是的中点， ， ， 同理：， ， ， ，， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例2.3】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）当与满足条件 时，四边形ABDF是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）∠BED=2∠C 【分析】（1）要证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AB=DF即可，然后根据题目中的条件，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF； （2）先写出∠C与∠BED之间的关系，然后根据矩形的判定方法和平行四边形的性质，得到∠BAF=90°，再结合（1）中的结论，即可得到四边形ABDF是矩形． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD， ∴∠BAE=∠FDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△BEA和△FED中， ， ∴△BEA≌△FED（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∠BED=2∠C时，四边形ABDF是矩形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE=∠C， ∵∠BED=2∠C， ∴∠BED=2∠BAE， ∵∠BED=∠BAE+∠ABE， ∴∠BAE=∠ABE， ∴EB=EA， 由（1）知四边形ABDF是平行四边形， ∴BE=EF， ∴EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°， ∴∠BAE+∠EAF=90°， ∴四边形ABDF是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 【变式2.1】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据点F、G分别是、的中点，得到，由、分别是边、上的中线，得到，即可证明； （2）根据第一问结论，可得，，即证得四边形是平行四边形，根据，证得，得到，结合，得到，再根据平行四边形对角线互相平分，得到，即证明四边形是矩形． 【详解】（1）点F、G分别是、的中点 ， 、分别是边、上的中线 是的中位线 ， ，． （2） 、分别是边、上的中线 ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 ，互相平分 ， ． 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 【变式2.2】（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，连接AE，AF，CE，CF． (1)判断四边形AECF的形状并说明理由； (2)当AC与BD满足怎样的数量关系时，四边形AECF是矩形？为什么？ 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)BD=2AC，见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论； （2）要得到四边形AECF是矩形，则AC=EF，据此解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：当BD=2AC时，四边形AECF是矩形， 证明：由（1）知OB=OD， ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴EF=BD=AC， ∵四边形AECF是平行四边形， 又EF= AC， ∴四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式2.3】（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据分别平分，可得，从而得到，即可求证； （2）先判定四边形是平行四边形，然后根据分别平分，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵点在边的中点， ∴， 由（1）得：， ∴四边形是平行四边形， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 模块三 矩形的性质与判定综合 【考点1 矩形的性质与判定综合应用】 【例1.1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，利用完全平方公式求面积是解题的关键． （1）设根据菱形的性质和等腰三角形的性质，得出三个角的度数，列方程得出，即可得到的度数； （2）连接，求出对角线的长度，从而得出四边形的边长，求出面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：连接交于点，如图： 设，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ， ∴四边形的面积为． 【变式1.1】（2024·云南昆明·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，交边于点，过点作于点．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，，再证明，得，则，进而得，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，，再证明是等腰直角三角形，得，，然后证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即的长为． 【变式1.2】（23-24八年级下·湖北随州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）先证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得到，再由三角形中位线定理求出的长，然后由矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，求出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， 点为中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：为的中位线， ， 点为的中点， ， 由（1）可知，四边形是矩形，   ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键． 【变式1.3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，G恰好是的中点，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，结合可得是的中位线，即可求证； （2）连接由（1）知得，根据题意证明，利用三角形全等的性质即可求证是矩形，在根据结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， ； （2）连接如图： 由(1)得∶， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ， ， 在中：， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握三角形全等的判定及平行四边形的性质运用是解题的关键． 【变式1.5】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，点M、N分别为边、的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，延长至点P，使，连接，若，请直接写出图2中所有与相等的线段（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)、、、、、 【分析】（1）先根据平行四边形的性质证明，，然后证明，，即可证明是平行四边形； （2）连接，．首先证明四边形是矩形．推出，证明为直角三角形，根据M为的中点，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， 点，分别为边，的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，连接，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点N是的中点， ∴点N在上， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的线段有、、、、、． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 模块四 课后作业 1．（2024·河北石家庄·二模）在矩形中，，点P是线段上一点，点M、N、E分别是的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形成为矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，先由三角形中位线定理得到，则当时，四边形是矩形，由矩形的性质得到，设，则，由勾股定理推出，据此求出即可得到答案． 【详解】解：∵点M、N、E分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质，折叠的性质，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ， ∵沿折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由矩形的两条边、的长分别为和，可求得，的面积，然后由求得答案． 【详解】解：连接， ∵矩形的两条边、的长分别为和， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得： ． ∴点到矩形的两条对角线和的距离之和是． 故选． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是(    )    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，过作于，连接，证明，根据，得出，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】解：过作于，连接，   平分， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，为的中点， ∴． 故选：A． 6．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等判定方法一一判定即可． 【详解】解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，是矩形中边的中点，将沿折叠到在矩形内部，延长交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的关键是利用折叠图形中的对应角相等进行求解．由沿折叠到，得出，由，求出，利用求解． 【详解】解：沿折叠到， ， ，， ， ． 故答案为：． 8．（2024·湖南永州·三模）如图，矩形中，O为的中点．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质得出，，证明得出，得出，，由勾股定理求出，再求解的面积． 【详解】解：连接，如图： 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积是， 故答案为：5 9．（2024·浙江台州·三模）如图，点E为矩形的边上一点，，，将沿翻折得到，使点F落在矩形内部，连接．若平分，则的长为 ．    【答案】或 【分析】过F作于G，交于H，则可得四边形是矩形，，由已知得，由折叠知，，；设，在中由勾股定理可求得a的值，从而得；设，在中，由勾股定理建立方程求得x的值，进而得到的长． 【详解】解：如图，过F作于G，交于H． 在矩形中，， ， 四边形是矩形． ，． 平分， ． ． ． 由折叠知，，． 设，则； 在中，由勾股定理可得：， 解得：． 即或， 当时，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 即． 当时，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 即． 综上，或．    故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，作出辅助线利用勾股定理建立方程求解是关键． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，利用矩形的性质以及折叠的性质，即可得到与全等，设，则可得，在中利用勾股定理即可得到的值，在中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，, ∵为中点， ∴， 由折叠可得，，， ∴，, 又∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴ ， 设，则， ， ， ∵， ∴中，， 即， 解得 ， ∴ ， ∵， ∴中， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，解题时我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线交于点O，点E是菱形外一点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交于点F，当，时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，即可证明； （2）连接，利用勾股定理得出，进一步证明出四边形是平行四边形，得到，，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 ． （2）连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、含的直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键． 12．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键. （1）证明是的中位线， 得，再证， ， 则四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质和时间在我想到了得，， 再求出 ，然后由菱形的性质和面积公式即可得出结论. 【详解】（1）证明： ∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）由（1）可知， 四边形是矩形， 是的中位线， ∴， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴. 13．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论； （2）由菱形的性质可得,，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，计算出的长，最后再由勾股定理计算出AE的长即可． 【详解】（1）证明: ∵四边形是菱形, ∴且, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是菱形, ∴,, ∵, ∴, ∴, ，即， ， ． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）在中，，为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）首先根据平行四边形的性质得到，然后结合已知条件利用判定两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到，从而判定矩形； （3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在平行四边形中，， ， ， 四边形是矩形； （3）解：四边形是矩形， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，垂足分别为G 、H，E 、F分别是、的中点，连接．    (1)求证：； (2)连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是矩形，则，由E 、F分别是、的中点，可得，证明即可； （2）如图，连接，由，E是的中点，可得，，由勾股定理得，，由，可求，由E 、F分别是、的中点，则底边上的高均为，由，可得，同理（1）可证，，，根据 ，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E 、F分别是、的中点， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵，E是的中点， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵E 、F分别是、的中点， ∴底边上的高均为， ∵， ∴， 同理（1）可证，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$