专题1.2 空间向量基本定理（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2 空间向量基本定理 【考点1：基底的判断】 1 【考点2：基底的应用】 2 【考点3：空间向量基本定理解决几何问题】 4 【考点4：空间向量基本定理中的参数问题】 7 【考点1：基底的判断】 【知识点：基底】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 1．（多选）（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024高二下·四川成都·开学考试）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024高二下·江苏·课前预习）（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【考点2：基底的应用】 【知识点：基底】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 1．（2024高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·云南曲靖·阶段练习）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    6．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【考点3：空间向量基本定理解决几何问题】 【知识点：空间向量基本定理】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 1．（2024高二上·江苏无锡·期中）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京昌平·期中）如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为 . 3．（2024高二上·重庆·期末）各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则 ；此平行六面体的体积为 ． 4．（2024高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 5．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 6．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【考点4：空间向量基本定理中的参数问题】 【知识点：空间向量基本定理】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 1．（2023·湖南永州·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2023·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则 . 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 4．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点F是侧面的中心，若，求m， n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 空间向量基本定理 【考点1：基底的判断】 1 【考点2：基底的应用】 5 【考点3：空间向量基本定理解决几何问题】 9 【考点4：空间向量基本定理中的参数问题】 15 【考点1：基底的判断】 【知识点：基底】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 1．（多选）（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 2．（多选）（2024高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 3．（多选）（2024高二下·四川成都·开学考试）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意； 对于B，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意； 对于D，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意. 故选：BCD 4．（多选）（2024高二下·江苏·课前预习）（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】如图，根据空间向量的线性运算可得，，结合基底的概念依次判断选项即可. 【详解】如图所示，    令，则，， A：由四点共面，则向量也共面，故A不符合题意； B：由四点不共面，则向量也不共面，故B符合题意； C：由四点不共面，则向量也不共面，故C符合题意； D：由四点不共面，则向量也不共面，故D符合题意. 故选：BCD. 5．（多选）（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】A.根据均为单位向量且两两垂直判断；B.利用基底的定义判断；C.利用数量积的运算律求解判断；D.利用基底的定义判断. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确． 因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误． ，C正确． 因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确． 故选：ACD 【考点2：基底的应用】 【知识点：基底】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 1．（2024高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 2．（2024高二下·云南曲靖·阶段练习）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要表示出，只需要用给出的基底表示即可，结合图形及空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】. 故选：B. 3．（2024高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量基本定理求解即可. 【详解】取中点，连接，，由底面为正三角形， 知过点，且. 于是， 故选：D. 4．（2024高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 5．（2024高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 6．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量的基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点， 得，且，则， ， ，而， 所以 . 故答案为：. 【考点3：空间向量基本定理解决几何问题】 【知识点：空间向量基本定理】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 1．（2024高二上·江苏无锡·期中）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据正四棱锥的几何性质选出一组基底，通过线性运算表示出所求向量，根据数量积运算，可得答案. 【详解】由题作图如下: 由，则，由为的中点，则， 则 ， 在正四面体中，易知， . 故选：D. 2．（23-24高二上·北京昌平·期中）如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为 . 【答案】 【分析】取，，为一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解． 【详解】取，，为一个基底，，，， ∴ ， 故答案为：. 3．（2024高二上·重庆·期末）各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则 ；此平行六面体的体积为 ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理可得，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出；连接交于点，连接，先证明平面，再由柱体的体积公式即可得出答案. 【详解】因为 ， 所以. 连接交于点，连接， 因为底面为边长是的正方形，所以， 因为，连接，则， 所以在中，，所以， 又因为，所以， ，平面， 所以平面，所以平行六面体的体积为： . 故答案为：；. 4．（2024高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【答案】，BN的长为 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果． 【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 5．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 6．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 【考点4：空间向量基本定理中的参数问题】 【知识点：空间向量基本定理】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 1．（2023·湖南永州·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】证明出四边形为平行四边形，为中点，利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， 故，， 所以四点共面，且四边形为平行四边形， 故为中点， 因为，， 所以， 故. 故选：D 2．（2023·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出. 【详解】因为，所以， 即，， 下面证明：已知，若三点共线，则， 因为三点共线，所以存在非零实数，使得， 即，整理得， 故，，所以， 因为三点共线， 故，解得：. 故答案为： 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 4．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点F是侧面的中心，若，求m， n的值． 【答案】 【分析】因F是侧面的中心，可用表示，又注意到，，即可得答案. 【详解】因为点F 是正方形的中心，所以， 又，则. 故． 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$