21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&专题三 根与系数关系的应用-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（人教版）

]优课堂A·九年级数学(上) 第8课时 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 =(x+x)-4x1-5; 课预习 (4)*x+3+1=0,'x=-3x-1 1.一元二次方程的根与系数的关系(韦达定 '+8x+20-x(-3x-1)+8x:+2 理):若x,x:是一元二次方程ar^*}+bx十c-0 =-3r-+8x+20 (a子0)的两个根,则有x十x。= --3(-3r-1)-x.+8x+20 r= -8(r.+r)+23 2.根与系数的关系使用的前提是一元二次方 -8×(-3)+23--1. 程有实数根,即前提: 针对练 3.常用的转化关系 1.若一元二次方程5x-1-4x^*}的两根为x (1)*}+x-(x.+x)?-2xx; ( 和x。,则x·x。的值等于 112: ) (2). C.-1 D -x1x2 A.1 (3)(x+a)(x+a)=xx+a(x +x)+a}; 2.若x.x。是一元二次方程5x*+x-5-0 (4)lx-x-(x-x){ 的两根,则x十x。的值是 ( _~_ -(+x)②-4x1x. A C1 D.-1 课堂导入 3.已知m,n是方程x②十x-1-0的根,则式 1.一元二次方程的根与系数有着密切的关系 子n}+2m+n-mn= 早在16世纪法国的数学家韦达发现了这一 4.已知方程2x{}-3x-4-0的两根为x; 关系,你能发现吗? x..不解方程,求下列各式的值 2.已知两个整数的和为28,积为187,你能很 (1 (2)十r{; 快算出这两个数吗? (3)(xr-1)(x-1): (4)x1-r. ① 课堂探究 探究一 不解方程,求根的代数式的值 1x,r。是方程x*+3x+1-0的两 根,利用根与系数的关系,求下列各式的值 (1) (2)xx十x; (3)x-x。; (4)r+8x。+20. 【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关 系可得x+x:与xx:的值,再根据一元二次方程 的根与系数的关系的常用转化关系求解。 解:.xi,r。是方程x”+3x十1-0的两根, '+r=-3,rx-1,r +3r+1-0 (1)-+(“r)-2r_7; x: r1.r1x2 □1]2 (2)rix+xr=x(x+x)=-3; (3)r-r。=(-x)¥ 12. 第21章 一元二次方程 第9课时 专题三 根与系数关系的应用 课预习 针对训练 1.已知关于x的一元二次方程x十mx十” 1.以x,x。为根的一元二次方程为(二次项系 -0的两个实数根分别为x1=-2,x。-4. 数为1):r-(x.+x)x十xx。=0. C 则n一n的值是 ~ 2.若m,n满足am?+bm+c=0,an?+bn+c= B.10 C.-6 A.-10 D.6 0.且m去n,则m,n是方程ax{}+bx十c= 2.已知x,x:是一元二次方程x2-mx+ 的两个不等实根. 3.易错提示:利用根与系数的关系求一元二次 1 x2 方程中字母系数的值时,一定要检验根的判 则的值是 ,。 __ 别式是否为非负数 A.0或1 B.0 C.1 D.-1 ①课堂探究 3.若方程9x{}-6(a+1)x+a②}-3=0的两根$$ 之积等于1,则a的值是 探究一 利用根与系数的关系,求字母系数 ) A. +2/③ B.2/③ 的值 C.士2/2 D.2/2 则1已知关于x的方程kx^{②}-2(b+2)x十 4.已知x,x。是关于x的一元二次方程x b一2一0有两个不相等的实数根x&1,x。 -5x十a=0的两个实数根,且x^{}十x}=$$ 13.则a-__. (D)求人的取值范围 (2)若xr{}+xr{}-xx。-4,求k的值 5.若关于x的一元二次方程3r*-6(n-1)x 【思路点拨】(1)要保证方程总有两个不相等的 +(n^{}+1)=0的两根分别为x,x,且 实数根,就必须使A一0恒成立;(2)欲求人的值,先 x+x-2,求实数n的值 把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代 入数值计算即可。 解:(1)由题意,得A-[-2(\+2)]}-4(^-2 -24+16>0且-0. _=1 共0. 解得- 'k的取值范围是一一 (2).工,:是方程的两个根, .x+。2(+2) -2. .rx。一 是 '.x+x-xx:=(x+x)-3x [2(2)1-324 即3{-22-16-0. 经检验,k。一8是原方程的解,故k的值是8 13· ]优课堂A·九年级数学(上) 探究二 已知两根作方程 【思路点拨】将”{+2022n+3-0两边都除以 例2已知某一元二次方程的两根为一3. 6.且二次项系数为1.求作这个一元二次方程. 【思路点拨】先求出两根之和与两根之积,再利 方程3x+2022x+1-0的两个实数根,再利用韦 用根与系数的关系即可得出结论。 达定理可得答案. 解:两根为-3,6. 解:由n+2022n+3-0,得 $+2022×+3x()×}-0. '.两根之和为:一3+6-3. 两根之积为:-3×6--18. ? .n 1.是方程3x+2022x+1-0的两个实 .符合条件的一元二次方程可以为; 。 -3r-18-0. 数根. 则n1-n+1- 2022 针对训练 77 n 3. 6.已知某一元二次方程的两根为/5一4.5 士4,且二次项系数为1.求作这个一元二 针对训练。 次方程. 8.阅读下列材料: 已知实数a,b满足a{}-4a+2-0,b^{}-4b$$ 解:当a一b时,原式的值为2; 当a≠b时,a,b可看成方程x②}-4x+2=$ 的两个不相等的实数根,由根与系数的关 系得到a+b-4,ab-2. 7.已知一元二次方程2x^*}+3x-5=0的两个 十6{} (a+b)2-2ab 根是x,x。,不解方程,求以x:+x。,x1x。 .原式 ab ab 为根的一元二次方程 4-2x2 2 根据材料,解答下面的问题; 已知实数m,n满足n-8m+5-0,n^{}- 探究三 m,n满足am}+bm+c=0,an{}+bn 十c一0型问题 则已知两个不相等的实数n,”满足 3m$}+2022m+1-0,n+2022n+3-0且m 1,求n+1 的值 。 .14.可得(a.x+1)(x-4)=0. 当a=0时，方程化为x一4=0，解得x=4. :=专m+1D>0, 当a0时，方程化为(+)x-0=0 ∴.x1>0,2>0或x1<0,x<0, 当x1>0,x4>0时，由x|+|x=2,得 解得x=4或一日 x0十x:=2,即2(m-1)=2, 解得m=2,此时方程为3.x2-6.x+5=0, 2.y-y-2=0 此时△<0，方程没有实数解： 3.解：设x2一2x为y,则原方程可化为 当x1<0,x<0时，由x|+x=2,得 y+y-12=0,解得1=-4,2=3， -x1-x:=2,即-2(m-1)=2, 有-2x=-4.0 解得m=0,此时方程为3.x2+6x+1=0, x2-2x=3,② 此时△>0，方程有两个实数解， .①无实数根，②解得x1=-1,x1=3, ∴，实数m的值为0 经检验，1■一1，x:-3是原方程的解. 6.解：：两根为5-45+4， 4.解：由题意知x-1,x一2，x-3中负数的个数为偶 .两根之和为W5-4十5+4-25， 数个. [x-1>0, 两根之积为：(5-4)(5+4)-5-16=-11， 则①{x-2>0,解得x>3: 符合条件的一元二次方程可以为： x-3>0, x2-25x-11=0. x-1>0. 7.解：，一元二次方程2x2+3.x-5=0的两个根是 ②{x-2<0,解得1<x<2: .T2 x-3<0, 根据根与系数的关系，得 综上所述，该不等式的解集为x>3和1<x<2. +=-3, 第8课时21,2.4”一元二次方程的 根与系数的关系 (十)+m西=-4，x1+x)(xx)=15 课前预习 .以+x,x1为根的一元二次方程为： 1.-6c x+4x+15=0. 4 2.6-4ac≥0 8.解：当m=n时，原式=1十1=2： 针对训练 当m≠n时，m,n可看作x2一8.x+5=0的两个不相 1.B2.B3.1 等的实数根， 4.解：，方程2x2-3.x-4=0, 由根与系数的关系知m十n=8,mn=5, x1+-2远一2 (n+1)° (m+1)2 六原式=(m+)(n+D(m+1)n+D (1)1+1=西+至-2 -m2+2m+1+n2+2n+1 3 m十m十功十1 II::-2 =一4 (m+n)2-2mn+2(m+n)+2 (2)x+x=(x1+x1)P-2x1x2 m2十加十月十1 =号-2x(-2)-。 82-2×5+2×8+2_72_36 5+8+1 147 (3)-1D国-)=-6+)+1=-号： 第10课时21.3实际问题与一元二次方程(1) 针对训练 (4)(.-x2)=xi-2.x1x2+xi 1.D2.D3.10 -+-4号 4,解：设竖彩条的宽度为xcm,则横彩条的宽度为 3 小-n=土 之tcm.根据题意，得 2 第9课时专题三根与系数关系的应用 20×2x+2×121-2×2 -号×20×12. 针对训练 整理，得x2-18.x+32=0, 1.D2.B3.B4.6 5.解：根据题意，得 解得石=2=16（含去）2=3. x+=20m-10=号m+10. 答：横彩条的宽度为3cm.竖彩条的宽度为2cm 5.解：(1)8÷2=4（秒）. 3