1.3.3探索三角形全等的条件：5种判定定理的综合（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章全等三角形 1.3.3探索三角形全等的条件：5种判定定理的综合 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解5种判定定理的联系和区别，理解关于HL的特别说明，能准确、快速地选择合适的定理证明全等 02 理解关于SSA的特别说明 5种判定定理的综合 01 课堂引入 请描述全等三角形的5种判定定理。 已知条件 选择的判定定理 两边及其夹角分别相等 SAS 两角及其夹边分别相等 ASA 两角及其中一角的对边分别相等 AAS 三边分别相等 SSS 斜边和一条直角边分别相等 HL 01 课堂引入 虽然上述表格总结了5种判定定理的使用条件，但是在实际证明过程中，对于较为复杂的题型，一般只能已知或易证全等所需的其中2个条件，那么在第3个条件不明确的情况下，我们究竟该选择哪种判定定理呢？ 02 知识精讲 类型一：已知或易证两边分别相等，则可能选择的判定定理有____、____、____。 SAS SSS HL ①若选择判定定理SAS，则缺少的条件应为________________； 这两边的夹角相等 ②若选择判定定理SSS，则缺少的条件应为________________； 第三边相等 ③若选择判定定理HL，则缺少的条件应为________________。 两边中较长边对应的角是直角 类型一 02 知识精讲 ①如图，已知AB=DE，BC=EF，若选择判定定理SAS，则缺少的条件应为________________。 C A B F D E ∠B=∠E 02 知识精讲 ②如图，已知AB=DE，BC=EF，若选择判定定理SSS，则缺少的条件应为________________。 C A B F D E CA=FD 02 知识精讲 ③如图，已知AB=DE，BC=EF，若选择判定定理HL，则缺少的条件应为________________。 ∠A=∠D=90° C A B F D E 02 知识精讲 类型二：已知或易证两角分别相等，则可能选择的判定定理有____、____。 ASA AAS 因为三角形的内角和是180°，所以两角相等即三角相等，故缺少的条件为________________。 其中一边相等 类型二 02 知识精讲 ①如图，已知∠A=∠D，∠B=∠E，若选择判定定理ASA，则缺少的条件应为________________。 AB=DE C A B F D E 02 知识精讲 ②如图，已知∠A=∠D，∠B=∠E，若选择判定定理AAS，则缺少的条件应为________________。 BC=EF或CA=FD C A B F D E C A B F D E 02 知识精讲 类型三：已知或易证一边和一角分别相等（其中等角为等边所对的角），则选择的判定定理只有____。 AAS 类型三 02 知识精讲 如图，已知∠A=∠D，BC=EF，则缺少的条件应为__________________。 C A B F D E ∠B=∠E或∠C=∠F C A B F D E 02 知识精讲 类型四：已知或易证一边和一角分别相等（其中等角为等边与邻边的的夹角），则可能选择的判定定理有____、____、____。 类型四 SAS ASA AAS ①若选择判定定理SAS，则缺少的条件应为________________； 使得等角为夹角的邻边相等 ②若选择判定定理ASA或AAS，则缺少的条件应为_______________________。 除等角外的其中一角相等 02 知识精讲 ①如图，已知∠B=∠E，BC=EF，若选择判定定理SAS，则缺少的条件应为________________。 AB=DE C A B F D E 02 知识精讲 ②如图，已知∠B=∠E，BC=EF，若选择判定定理ASA，则缺少的条件应为________________。 ∠C=∠F C A B F D E 02 知识精讲 ③如图，已知∠B=∠E，BC=EF，若选择判定定理AAS，则缺少的条件应为________________。 C A B F D E ∠A=∠D 02 知识精讲 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：Rt△ADE≌Rt△ADF。 【分析】 虽然大多数情况下，证明Rt△≌Rt△默认用HL， 但是本题已知的条件为： ∠EAD=∠FAD、∠AED=∠AFD=90°、AD=AD， 反而应该用AAS证明Rt△ADE≌Rt△ADF。 02 知识精讲 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：Rt△ADE≌Rt△ADF。 证明：∵AD是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠EAD=∠FAD（角平分线的定义）， ∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高（已知）， ∴∠AED=∠AFD=90°（高的定义）， 02 知识精讲 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：Rt△ADE≌Rt△ADF。 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（AAS）。 02 知识精讲 关于HL的特别说明 HL只适用于直角三角形，但是全等直角三角形的证明不一定全用HL。 03 典例精析 例1、如图，已知CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN。 【分析】 DM=DN⇒△CMD≌△CND， ⇒已知CM=CN、CD=CD，故缺少角相等， ⇒由“CA=CB、AD=BD、CD=CD”易证“△ACD≌△BCD”，进而得到角相等的条件。 类型一 03 典例精析 在△ACD和△BCD中，， ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴∠MCD=∠NCD（全等三角形的对应角相等）； 证明：连接CD， 例1、如图，已知CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN。 03 典例精析 例1、如图，已知CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN。 在△CMD和△CND中，， ∴△CMD≌△CND（SAS）， ∴DM=DN（全等三角形的对应边相等）。 ∵M、N分别是CA、CB的中点（已知）， ∴CM=CN（中点的定义）， 03 典例精析 例2、如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=DC，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF，求证：EF平分线段BC。 【分析】 EF平分线段BC⇒△GBF≌△GCE， ⇒已知∠GBF=∠GCE、∠BGF=∠CGE，故缺少边相等， ⇒由“∠ACE=∠DBF=90°、AB=DC(⇒AC=DB)、AE=DF”易证“△ACE≌△DBF”，进而得到边相等的条件。 类型二 03 典例精析 例2、如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF，求证：EF平分线段BC。 在△ACE和△DBF中，∠ACE=∠DBF=90°，， ∴△ACE≌△DBF（HL）， ∴CE=BF（全等三角形的对应边相等）； 证明：∵AB=DC（已知）， ∴AB+BC=DC+BC，即AC=DB（等量代换）， ∵作CE⊥AD，BF⊥AD（已知）， ∴∠GBF=∠GCE=90°（垂直的定义）， 03 典例精析 例2、如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF，求证：EF平分线段BC。 在△GBF和△GCE中，， ∴△GBF≌△GCE（AAS）， ∴BG=CG，即EF平分线段BC（全等三角形的对应边相等）。 03 典例精析 例3、如图，E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，求证：AC与BD互相平分。 【分析】 AC与BD互相平分⇒△AOB≌△COD， ⇒已知AB=CD、∠AOB=∠COD，故缺少角相等， ⇒由“AB=CD、BF=DE(⇒BE=DF)、AE=CF”易证“△ABE≌△CDF”，进而得到角相等的条件。 类型三 03 典例精析 例3、如图，E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，求证：AC与BD互相平分。 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（SSS）， ∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）； 证明：∵BF=DE（已知）， ∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF（等量代换）， 03 典例精析 例3、如图，E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，求证：AC与BD互相平分。 在△AOB和△COD中，， ∴AOB≌△COD（AAS）， ∴AO=CO，BO=DO， 即AC与BD互相平分（全等三角形的对应边相等）。 03 典例精析 例4、如图，AB=CD，AF=CE，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：AD∥BC。 【分析】 AD∥BC⇒∠DAF=∠BEC⇒△DFA≌△BEC， ⇒已知AF=CE、∠DFA=∠BEC=90°，故缺少边相等， ⇒由“∠AEB=∠CFD=90°、AB=CD、AF=CE(⇒AE=CF)”易证“△ABE≌△CDF”，进而得到边相等的条件。 类型四 03 典例精析 例4、如图，AB=CD，AF=CE，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：AD∥BC。 在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD=90°，， ∴△ABE≌△CDF（HL）， ∴BE=DF（全等三角形的对应边相等）； 证明：∵AF=CE（已知）， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF（等量代换）， ∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F（已知）， ∴∠AEB=∠CFD=90°，∠DFA=∠BEC=90°（垂直的定义）， 03 典例精析 例4、如图，AB=CD，AF=CE，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：AD∥BC。 在△DFA和△BEC中，， ∴△DFA≌△BEC（SAS）， ∴∠DAF=∠BEC（全等三角形的对应角相等）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。 关于SSA的特别说明 02 知识精讲 SSA能不能作为第6种判定定理呢？ 操作——用直尺和圆规作△ABC，使AB=a，∠BAC=α，BC=b。 a a 02 知识精讲 2.在射线AP上截取AB=a； ①若b<BD，则无法构成△ABC； 1.作∠PAQ=α； A P Q B D b 3.过点B作BD⊥AQ于D； 4.以点B为圆心，b的长为半径作弧交射线AQ于点C； 02 知识精讲 ②若b=BD，则△ABC有且只有1个； A B D b (C) 02 知识精讲 ②若BD<b<a，则△ABC有且只有2个； A B D 如图，在△ABC1和△ABC2中， 虽然已知条件满足SSA， 但是△ABC1和△ABC2不全等。 b C1 b C2 02 知识精讲 ③若b=a，则△ABC有且只有1个； A B D b C ④若b>a，则△ABC有且只有1个； A B D b C 综上，两边及其中一边的对角分别相等的三角形不一定全等。 02 知识精讲 两边及其中一边的对角分别相等的三角形不一定全等； SSA不是全等三角形的判定定理。 关于SSA的特别说明 03 典例精析 例、如图，在△ABC和△DEF中 ，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，其中AB>AC，求证：△ABC≌△DEF。 【分析】 虽然已知条件符合SSA，但是SSA不是判定定理， 不妨分别作BC、EF边上的高，将△ABC和△DEF分割成两个Rt三角形。 M N 03 典例精析 例、如图，在△ABC和△DEF中 ，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，其中AB>AC，求证：△ABC≌△DEF。 在△AMC和△DNF中，， ∴△AMC≌△DNF（AAS）， ∴AM=DN，MC=NF（全等三角形的对应边相等）； 证明：如图，作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N， ∴∠AMC=∠DNF=90°，∠AMB=∠DNE=90°（垂直的定义）， N M 03 典例精析 例、如图，在△ABC和△DEF中 ，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，其中AB>AC，求证：△ABC≌△DEF。 在△AMB和△DNE中，∠AMB=∠DNE=90°， ， ∴△AMB≌△DNE（AAS）， ∴BM=EN（全等三角形的对应边相等）， ∴BM+CM=EN+FN，即BC=EF（等量代换）； N M 03 典例精析 例、如图，在△ABC和△DEF中 ，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，其中AB>AC，求证：△ABC≌△DEF。 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 N M 课后总结 已知条件 选择的判定定理 两边及其夹角分别相等 SAS 两角及其夹边分别相等 ASA 两角及其中一角的对边分别相等 AAS 三边分别相等 SSS 斜边和一条直角边分别相等 HL（只适用于直角三角形，但是全等直角三角形的证明不一定全用HL） 两边及其中一边的对角分别相等的三角形不一定全等；SSA不是全等三角形的判定定理。 1.3.3探索三角形全等的条件：5种判定定理的综合 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$