21.2 配方法（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第二课时 配方法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解配方的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. (重点） 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. （难点） 依据 步骤 直接开方法 (1)变形; (2)开方; (3)求解. 特征 形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0) 平方根的定义 解一元二 次方程 降次 复习引入 利用直接开平方法解下列方程： (1) 3(x-1) 2 − 6 = 0； 3(x-1) 2 = 6 (x-1) 2 = 2 (2) x 2-4x+4 = 5； 解： 解： 【提示】本... text has been truncated due to evaluation version limitation. 化为一般式，得 x2+6x-16=0 要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？ x(x+6)=16 解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得 怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？ 情景导入 问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 1.配方的方法 新知探究 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方． x2+px+( )2=(x+ )2 概念归纳 我们已经会解方程(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程． 问题3：怎样解方程 x2＋6x＋4＝0 那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？ 2.用配方法解方程 新知探究 移项 两边加上32,使左边配成x2+2bx=b2的形式 左边写成完全平方形式 解一次方程 在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：是在二次项系数为1的前提下进行的. 降次 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 问题4 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法： 概念归纳 配方法 1.定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 2.思路：把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解． 总结归纳 例 1：解方程3x2-2x-1＝0 解：移项，得 3x2－2x＝1. 二次项系数化为1，得 配方，得 所以 思考:二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？ 典例剖析 例 2 解下列方程： 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 即 典例剖析 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 典例剖析 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 为什么方程两边都加12？ 即 典例剖析 17 例 3 求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 解：2x2－4x＋3= 因为 ≥0，所以 ≥1. 所以2x2－4x＋3的值恒大于0. 二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式． 典例剖析 1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 练一练 配方法解一元二次方程的步骤： 变形：把未知项和常数项移在方程左右边，并将二次项系数化为 1 配方：在方程两同时加上一次项系数一半的平方。 整理：解方程左边写成 (x + n)2 = p的形式。 求解：运用直接开平方法解方程。 总结归纳 解一元二次方程的情况： ①当 p > 0 时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根 ②当 p = 0 时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n. ③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + n)2 = p. （Ⅱ） 总结归纳 例 4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 3.配方法的应用 新知探究 例 5.若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 典例剖析 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2. 总结归纳 24 例 6.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 典例剖析 解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x1=6, x2=5 x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25 x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x ∴这个两位数为36或25， ∴周瑜去世的年龄为36岁. ∵周瑜30岁还攻打过东吴， 1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 练一练 3.代数式x2－8x＋18的值(　　) A．恒为正　　 B．恒为负　　 C．可能为0　　 D．不能确定 4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则 m＝ ，k= . A 练一练 6.试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0， 5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋ )2 ，该式有 最 值，是 ． 2 -1 大 -1 ∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程． 练一练 7.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. 解：－x2－x－1=－(x2+x+ )+－1 所以－x2－x－1的值必定小于零. 当 时，－x2－x－1有最大值 练一练 8.若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 练一练 9.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 练一练 32 x2- x+ = ( x- )2 （1）x2+10x+ = ( x + )2 （2）x2-12x+ = ( x- )2 （3）x2+5x+ = ( x+ )2 （4） 25 5 36 6 1.填空： 课本练习 2.解下列方程： （1）x²+10x+9=0； （2）x²-x- =0； （3）3x²+6x-4=0； （4）4x²-6x-3=0； （5）x²+4x-9=2x-11； （6）x（x+4）=8x+12. 课本练习 解：（1）移项，得x² +10x=-9. 配方，得x² +10x+5²=-9+5²， 即（x+5）² =16，x +5 = ±4. 所以x₁=-1，x₂=-9. （2）移项，得 配方，得 即. 所以. 课本练习 （3）移项，得. 二次项系数化为1，得 配方，得， 即. 所以 （4）移项，得. 二次项系数化为1，得. 配方，得. 即 所以 课本练习 （5）原方程可化为x² +2x=-2. 配方，得x² +2x+1²=-2+1²， 即（x+1）²=-1<0. 所以原方程无实数根. （6）原方程可化为x²-4x =12. 配方，得x²-4x+2² =12+2²， 即（x-2）²=16，x-2= ±4. 所以 x₁=6，x₂=-2. 课本练习 完全平方形式 降次 一元一次 　 1 1 　 9 3 　 A 分层练习-基础 D 分层练习-基础 B A A 分层练习-基础 36 6 (x＋3)2－7 2 1 分层练习-巩固 配方 一半的平方 　 分层练习-巩固 C B 　 分层练习-巩固 D 　 4x 2x 　 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 －1 0 分层练习-拓展 分层练习-拓展 ⑤ x1＝2，x2＝－4 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 思路 步骤 配方法 (1)变形;(2)配方;(3)整理;(3)求解. 配方 方程两边同时加一次项系数一半的平方 ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0) 课堂小结 知识点二：运用配方法解一元二次方程 通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法．配方是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 方程． 1．在下列各题的横线上填上适当的数，使等式成立． (1)x2＋2x＋ ＝(x＋ )2； (2)x2－6x＋ ＝(x－ )2. 2．一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(　　) A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4 C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4 3. 用配方法解一元二次方程x2－4x＝5的过程中，配方正确的是( ) A.(x＋2)2＝1　　　　　　　B.(x－2)2＝1　　　　　　　 C.(x＋2)2＝9　　　　　　　D.(x－2)2＝9 4.(嘉兴中考)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x＋2)2＝2　　　　 B.(x＋1)2＝2 C.(x＋2)2＝3 D.(x＋1)2＝3 5.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程两边需要加上( ) A.1　　　 B.－1　　　 C.2　　　 D.－2 eq \f(3,2) eq \f(3,2) (x－eq \f(3,4))2＝eq \f(25,16) 6.(聊城中考)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( ) A.(x－eq \f(3,4))2＝eq \f(17,16) B.(x－eq \f(3,4))2＝eq \f(1,2) C.(x－eq \f(3,2))2＝eq \f(13,4) D.(x－eq \f(3,2))2＝eq \f(11,4) 7.在下列各空白处，填上适当的数使等式成立. (1)x2＋12x＋ ＝(x＋ )2； (2)x2－3x＋　 　＝(x－　 　)2. 8.将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为 . 9.解方程：2x2－3x－2＝0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x2－3x＝ ；再把二次项系数化为1，得x2－　 　x＝ ；然后配方， 得　 　. eq \f(9,4) 10．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0; (2)3x2－6x＋5＝0. 解：(1)配方，得(x－2)2＝5，直接开平方，得x－2＝±eq \r(5)，∴x1＝2－eq \r(5)，x2＝2＋eq \r(5)；　 (2)移项，得3x2－6x＝－5，二次项系数化为1，得x2－2x＝－eq \f(5,3)，配方，得x2－2x＋12＝－eq \f(5,3)＋12，即(x－1)2＝－eq \f(2,3)，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根． 能力点：能熟练准确地用配方法解一元二次方程 配方法的步聚：①移项；②二次项系数化为1；③ ；④开方．配方的前提是二次项系数化为1，关键是方程两边都加上一次项系数的 ． 11．用配方法解方程4x2－12x－1＝0. 解：移项，得4x2－12x＝1.系数化为1，得x2－3x＝eq \f(1,4).配方，得x2－3x＋(eq \f(－3,2))2＝eq \f(1,4)＋(eq \f(－3,2))2，即(x－eq \f(3,2))2＝eq \f(5,2).由此可得x－eq \f(3,2)＝±eq \f(\r(10),2)，∴x1＝eq \f(3＋\r(10),2)，x2＝eq \f(3－\r(10),2). 12．方程x2－16＝0的两个根是(　　) A．x1＝x2＝4　　　　　 B．x1＝x2＝－4 C．x1＝4，x2＝－4 D．x1＝2，x2＝－2 13．(临沂中考)一元二次方程y2－y－eq \f(3,4)＝0配方后可化为(　　) A．(y＋eq \f(1,2))2＝1 B．(y－eq \f(1,2))2＝1 C．(y＋eq \f(1,2))2＝eq \f(3,4) D．(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(3,4) eq \f(5,2) eq \f(13,4) 14．对于代数式－x2＋4x－5，通过配方能说明它的值一定是(　　) A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 15．在下列空白处填上适当的数或式子，使左、右两边相等． (1)x2－x＋　　＝(x－　　)2； (2)4x2－ ＋1＝( －1)2. 16．一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝eq \r(5)，则另一个一次方程是　 　. 17．把方程x2＋5x＋3＝0变形为(x＋h)2＝k的形式后，h＝　　，k＝　 　. eq \f(1,4) eq \f(1,2) x＋6＝－eq \r(5) 解：(1)x＝1±eq \r(6)；　 (2)x1＝1，x2＝eq \f(1,2). 18．解下列方程： (1)(2x＋5)2－1＝0; (2)(x－1)(x＋1)＝1. 解：(1)x1＝－3，x2＝－2；　 (2)x＝±eq \r(2). 19．用配方法解下列方程： (1)x2－2x＝5; (2)2x2＋1＝3x. 20．把方程x2－3x＋p＝0配方后，得到(x＋m)2＝eq \f(1,2). (1)求常数p与m的值； (2)求此方程的根． 解：(1)p＝eq \f(7,4)，m＝－eq \f(3,2)； (2)x1＝eq \f(3＋\r(2),2)，x2＝eq \f(3－\r(2),2). 21．小明遇到下面的问题； 求代数式x2－2x－3的最小值并写出取到最小值时的x值． 经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2－2x－3＝x2－2x＋1－3－1＝(x－1)2－4.所以，当x＝1时，代数式有最小值是－4. (1)请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题． ①x2－2x的最小值是 ； ②x2－4x＋y2＋2y＋5的最小值是 . (2)小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4＋2x2＋7的最小值． 解：∵x4＋2x2＋7＝x4＋2x2＋1＋6＝(x2＋1)2＋6.∴原式有最小值是6.请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由． 解：小明的结论错误．因为x2＋1＝0无实数根． 22.有n个方程，x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0. 小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.” (1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的， 正确的结果为 ； (2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0(用含有n的式子表示方程的根). 解：x2＋2nx－8n2＝0配方得(x＋n)2＝9n2，∴x＋n＝±3n.故方程的解为x1＝2n，x2＝－4n. 会用配方法解一元二次方程． 【例2】解方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)3x2－6x＋4＝0. 【思路分析】(1)中二次项系数为1，可直接移项后配方；(2)中二次项系数先化为1，然后再配方． 【规范解答】(1)移项，得x2－4x＝1 配方，得x2－4x＋22＝1＋22，(x－2)2＝5，由此可得：x－2＝±eq \r(5)，x1＝2＋eq \r(5)，x2＝2－eq \r(5)；　 (2)移项，得3x2－6x＝－4，二次项系数化为1，得x2－2x＝－eq \f(4,3)，配方，得x2－2x＋12＝－eq \f(4,3)＋12，(x－1)2＝－eq \f(1,3)，所以方程无实数根． 【方法归纳】因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，若不成立，即原方程无实数根． $$