第02讲 探索三角形全等的条件（SAS+ASA）（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第02讲 探索三角形全等的条件（SAS+ASA） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索三角形全等的条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验； 2掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 1.由上一节课我们已经知道了全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？ 想一想： （1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？ （2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？ （3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？ 动手做一做： 按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b． 作法： 1．作∠MAN ＝∠α． 2．在射线AM、AN上分别 作线段AB＝a，AC＝b ． 3．连接BC，△ABC就是所求作的三角形． 通过自己实践后发现： （简写成“ ”或“ ”） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠E， BC＝EF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）． 2.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？    动手做一做： 按下列作法，用圆规和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β． （1）作AB＝a． （2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C． △ABC就是所求作的三角形． 通过自己实践后发现： 简写成“ ”或“ ”） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）． 考点一：用SAS直接证明全等 例1．如图，将两根钢条的中点连在一起，使可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式1-1】使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．    【变式1-3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 考点二：用SAS间接证明全等 例2．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-1】在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ． 【变式2-3】如图，已知，，，求证：． 考点三：全等的性质与SAS判定 例3. 如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】如图，亮亮想测量某湖，两点之间的距离，他选取了可以直接到达点，的一点，连接，，并作，截取，连接，他说，根据三角形全等的判定定理，可得，所以，他用到三角形全等的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【变式3-3】阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 考点四：用ASA直接证明全等 例4．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 【变式4-3】如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：． 考点五：用ASA间接证明全等 例5．一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【变式5-1】如图，要测量一条河的宽度，先在的垂线上取两点、，使，再过点作，使点、、在同一条直线上，则可以说明，从而得到，因此测得的长就是的长．判定的依据是（    ） A．SAS B．HL C．SSS D．ASA 【变式5-2】如图，，，，，则等于 ． 【变式5-3】如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 考点六：全等的性质与ASA判定 例6. 为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．则测出的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是（    ） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【变式6-1】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【变式6-3】阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 3．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 4．如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，、的平分线、交于点．若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 6．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）    A． B． C． D．不能确定 9．如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 10．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，．若测得，，则圆形容器的壁厚是 ． 11．如图所示，有两个滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，测得米，则 ．    12．如图，在中，，，平分，，则 ；若，则的长为 ． 13．如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    14．如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 15．如图，点、在上，且．求证：． 16．如图，在中，交于点F，求证：． 17．如图，点C、E、B、F在一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 探索三角形全等的条件（SAS+ASA） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索三角形全等的条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验； 2掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 1.由上一节课我们已经知道了全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？ 想一想： （1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？ （2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？ （3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？ 动手做一做： 按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b． 作法： 1．作∠MAN ＝∠α． 2．在射线AM、AN上分别 作线段AB＝a，AC＝b ． 3．连接BC，△ABC就是所求作的三角形． 通过自己实践后发现：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠E， BC＝EF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）． 2.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？    动手做一做： 按下列作法，用圆规和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β． （1）作AB＝a． （2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C． △ABC就是所求作的三角形． 通过自己实践后发现：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）． 考点一：用SAS直接证明全等 例1．如图，将两根钢条的中点连在一起，使可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等是关键．因为是用两钢条中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是． 【详解】解：两钢条中点连在一起做成一个测量工件， ，， ， ． 所以的长等于内槽宽， 用的是的判定定理． 故选：A 【变式1-1】使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理． 【详解】解：、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，能判定，符合题意， 故选：． 【变式1-2】如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．    【答案】（或边角边） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】由题意知，， 在和中， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点． （1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二：用SAS间接证明全等 例2．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 【变式2-1】在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是边上的中线，得，又，，由判定，即可得到答案. 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 由判定， 故选：A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法. 【变式2-2】如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】由旋转可得，可求得，可求得的面积． 【详解】解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，， ∴， ∴ ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键． 【变式2-3】如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴． 考点三：全等的性质与SAS判定 例3. 如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系；证明，得，在中由三边不等关系确定的取值范围，根据范围即可完成求解． 【详解】解：为边的中点， ； 在与中， ， ， ； ，， ， 故可以为4, 故选：A． 【变式3-1】如图，亮亮想测量某湖，两点之间的距离，他选取了可以直接到达点，的一点，连接，，并作，截取，连接，他说，根据三角形全等的判定定理，可得，所以，他用到三角形全等的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等” 可得，再利用“”证明，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-2】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 考点四：用ASA直接证明全等 例4．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．结合题意，利用“角边角”定理可作出完全一样的三角形，即可确定答案． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：A． 【变式4-1】如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴当时，可根据可证， 故选：B． 【变式4-2】如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 【答案】110 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 【变式4-3】如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，由P为的中点，可得，再由对顶角相等可得出，结合已知条件可得出． 【详解】解为的中点， ． 又， 考点五：用ASA间接证明全等 例5．一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键． ①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理． 【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意； B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意； C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意； D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式5-1】如图，要测量一条河的宽度，先在的垂线上取两点、，使，再过点作，使点、、在同一条直线上，则可以说明，从而得到，因此测得的长就是的长．判定的依据是（    ） A．SAS B．HL C．SSS D．ASA 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可知利用ASA即可判定出，继而得到本题答案． 【详解】解：∵，在的垂线上取两点、， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：D． 【变式5-2】如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 【变式5-3】如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 考点六：全等的性质与ASA判定 例6. 为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．则测出的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是（    ） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性． 【详解】解：甲：由题意得，，， ， 在和中， ， ， ； 测出的长即为A，B间的距离； 乙：已知，， 不能判定和能全等， ； 测出的长不一定为，间的距离， ∴只有甲同学的方案可行， 故选：A． 【变式6-1】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【详解】解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【变式6-2】如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：． 【变式6-3】阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等； (2)见解析； (3)9． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案； （2）先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； （3）延长、交于点，先推出，得到，再推出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）， 依据2是：全等三角形的对应边相等； （2）∵ ． 即 ； （3）延长交于点F． 平分 在和中 ， 在中， 在中， 在和中 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 2．数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 3．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4．如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，三角形中线的性质，根据已知条件证明，根据全等三角形的性质可得，得出，，推出，代入求值即可． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 5．如图，在四边形中，，，、的平分线、交于点．若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作，根据角平分线可证明得到，，从而推算出四边形的周长等于 【详解】 解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B． 6．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 7．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 8．如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定． 9．如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， , , ． 故答案为：13． 10．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中，．若测得，，则圆形容器的壁厚是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴圆形容器的壁厚是： 故答案为：1． 11．如图所示，有两个滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，测得米，则 ．    【答案】2.5米 【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴米． 故答案为：2.5米． 12．如图，在中，，，平分，，则 ；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由和间角的关系可得；延长交于点，由ASA证得，求出，再由ASA证得，得到，从而求出的长． 【详解】 ，即 ，平分 如图所示，延长交于点 在和中， （ASA） 平分 在和中， （ASA） 故答案为：， 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，延长构造全等三角形是解题的关键． 13．如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图所示，延长交于，利用证明，得到，进而推出，，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于，   为的角平分线，， ，， 又， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为：16 14．如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 【答案】1秒或2秒 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为1秒或2秒， 故答案为：1秒或2秒． 15．如图，点、在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 16．如图，在中，交于点F，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．如图，点C、E、B、F在一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）根据，得到，由，利用即可证明； （2）由易得，根据即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，， ； （2）解： ， ， ； ， ． 18．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$