第03讲 探索三角形全等的条件（AAS+SSS）（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第03讲 探索三角形全等的条件（AAS+SSS） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．三边分别相等的两个三角形全等； 2．证明两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？ 解：全等。 证：∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°） 在▲ABC和▲DEF中 ∴▲ABC≌▲DEF（ASA） 通过自己实践后发现： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （简写成“ 角边角 ”或“ AAS ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∠C=∠F， ∴ △ABC ≌ △DEF（AAS）． 2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。 如上面的推理过程也可这样表示 3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a 作法： （1）作线段BC=a、 （2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。 （3）连接AB、AC。 ▲ABC是所求的三角形。 通过自己实践后发现： 三边分别相等的两个三角形全等 （简写成“ 边边边 ”或“ SSS ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， BC=EF， AC=DF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）． 考点一：用AAS直接证明全等 例1．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，． 【详解】∵为中点， ∴， ∵由点分别向、作垂线段、， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：． 【变式1-1】如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据公共角相等，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 【变式1-2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ． 【答案】/角角边 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据所给条件可利用证明． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是 【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明； （2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ， 的度数是． 考点二：用AAS间接证明全等 例2．如图，已知，，则可以判定依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定方法．平行线的性质，得到，再结合，，利用证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 又，， ∴； 故选A． 【变式2-1】如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2-2】如图，已知，，添加一个条件 判定． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加一个条件，判定， 理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论； （2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解； 【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得， ，， ， 为的中点， ， ． 在和中 ， ； （2）平分， ， 又， ． ，， ． 考点三：全等的性质与AAS判定 例3. 如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 故选A． 【变式3-1】如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（    ）． A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键． 【详解】解：平分，过点作的垂线， ,， 在与中， ， ， ， 则的面积等于的面积为， ， 故选：C． 【变式3-2】如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：48． 【变式3-3】如图，在四边形中，是边上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的外角性质得出 ，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答，关键是利用证明与全等解答． 【详解】，， ， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ． 考点四：用SSS直接证明全等 例4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 在和中， ， ∴ 即这两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【变式4-1】如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，连接，根据题意得出，，证即可求解，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 【详解】解：如图，连接， 根据作图过程可知：，， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-2】在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．      由图可得，所有格点三角形的个数是4， 故答案为：4． 【变式4-3】如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．已知与两边相等，通过可得，即可判定． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在与中， ∴． 考点五：用SSS间接证明全等 例5．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 【变式5-1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 【变式5-2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等. 【详解】解：在与中， 所以补充： 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键. 【变式5-3】如图，，，点在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． （1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ， 即平分； （2）证明：由（1）， 在与中， ， ， ． 考点六：全等的性质与SSS判定 例6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【变式6-1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式6-2】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 ．    【答案】/48度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果． 【详解】解：在与中， ， ， ，， 在中，由三角形性质得：， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】【教材呈现】 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析 〖概念理解〗（1）见解析 〖性质探究〗（2）见解析 （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析 〖拓展应用〗（4）或 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗 （2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 1．如图，在中，，，过点C作，且，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故选：D 2．如图，，，过点的直线交于，交于，则图中全等三角形有（    ）对．    A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．熟练运用、、、是正确解题的关键． 【详解】在和中， ． 同理可得，． ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，，． 综上所述，共有6对全等三角形． 故选C． 3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．由作法易得，，，根据可得到三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， ． 故答案为：A． 4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推出，利用证明，得到，推出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握“两直线平行同旁内角互补”是解题的关键． 5．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（    ）      A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确合理添加辅助线是解决本题的关键． 利用角平分线的性质定理可作辅助线：过点E作于点E，证明，即可解决问题． 【详解】解：过点E作于点E，则    ∵， ∴， ∴， ∵平分，∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 故选：C． 7．小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解． 【详解】解： ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ． ∵， ∴ 故选：B． 8．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，，， ∴，故①正确； ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴四边形的面积是； 故③错误； ∵， ∴ ∴． 故④正确． 综上所述，正确的是①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 9．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】 解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 故根据全等三角形的对应边相等，只要测出的长，即可求出的长 故答案为：全等三角形的对应边相等 11．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 【答案】7 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．易证，即可证明，可得，根据，即可解题． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ， ． 故答案是：7． 12．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 【答案】100 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：100． 13．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案． 【详解】标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 15．如图，D是上一点，交于点E，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键；由平行线的性质得，，利用证明即可． 【详解】证明：， ，， 在和中，， ， （全等三角形的对应边相等）； 16．如图，点，在上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 17．如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵五边形的面积， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：3． 18．如图，，，，垂直的延长线于点F． (1)如图1． ①和全等吗？请说明理由； ②求的度数； (2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①和全等，理由见解析；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由可证； ②由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，由可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：①，理由如下： ， ， 在和中， ， ； （2）②，， ， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由：， ，， ， ，， ， ，， 又， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 探索三角形全等的条件（AAS+SSS） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．三边分别相等的两个三角形全等； 2．证明两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？ 解：全等。 证：∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°） 在▲ABC和▲DEF中 ∴▲ABC≌▲DEF（ASA） 通过自己实践后发现： （简写成“ ”或“ ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∠C=∠F， ∴ △ABC ≌ △DEF（AAS）． 2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。 如上面的推理过程也可这样表示 3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a 作法： （1）作线段BC=a、 （2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。 （3）连接AB、AC。 ▲ABC是所求的三角形。 通过自己实践后发现： （简写成“ ”或“ ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， BC=EF， AC=DF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）． 考点一：用AAS直接证明全等 例1．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ． 【变式1-3】如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点二：用AAS间接证明全等 例2．如图，已知，，则可以判定依据是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 【变式2-2】如图，已知，，添加一个条件 判定． 【变式2-3】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 考点三：全等的性质与AAS判定 例3. 如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（    ）． A．3 B．4 C． D． 【变式3-2】如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【变式3-3】如图，在四边形中，是边上一点，，求证：． 考点四：用SSS直接证明全等 例4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    【变式4-3】如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：． 考点五：用SSS间接证明全等 例5．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【变式5-2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 【变式5-3】如图，，，点在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 考点六：全等的性质与SSS判定 例6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 ．    【变式6-3】【教材呈现】 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 1．如图，在中，，，过点C作，且，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，，，过点的直线交于，交于，则图中全等三角形有（    ）对．    A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（    ）      A．2 B．4 C．6 D．8 7．小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ． 10．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 ． 11．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 12．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 13．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 14．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 15．如图，D是上一点，交于点E，，，求证：． 16．如图，点，在上，，，．求证：．    17．如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 18．如图，，，，垂直的延长线于点F． (1)如图1． ①和全等吗？请说明理由； ②求的度数； (2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由． 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