专题02 平行四边形6大核心考点【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题02 平行四边形 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、多边形的内角和 2、平行四边形的性质 3、中心对称图形 4、平行四边形的判定 5、三角形中位线的性质 6、反证法 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 平行四边形的判定 2023·浙江湖州·中考真题 平行四边形的判定、平行四边形的性质 2023·浙江杭州·中考真题 三角形中位线的性质 2023·浙江湖州·中考真题 三角形中位线的性质 2023·浙江金华·中考真题 中心对称图形 2023·浙江温州·中考真题 中心对称图形 2022·浙江衢州·中考真题 三角形中位线的性质 2022·浙江宁波·中考真题 一．多边形 （1）多边形的定义： 在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。 （2）多边形的内角、外角、对角线 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。 （3）多边形的内角和 四边形的内角和等于360o。n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。任何多边形的外角和为360o。 二、平行四边形及其性质 （1）平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD可记做“▱ABCD”。 （2）平行四边形的性质 平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等。 夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。 两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。 平行四边形的对角线互相平分。 三、中心对称 如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 对称中心平分连结两个对称点的线段。 在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(-x,-y)关于原点成中心对称。 四、平行四边形的判定定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 五、三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 六、反证法 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 例如：用反证法求证四边形中至少有一个角是直角或钝角 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 1.平行四边形的性质 1． 边的性质：平行四边形两组对边平行：AB∥CD，AD∥BC，平行四边形两组对边相等：AB＝CD，AD＝BC。 2．角的性质：平行四边形对角相等：∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD。 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分：AO＝CO，BO＝DO。 补充 4.夹在两条平行线间的平行线段相等。 5.夹在两条平行线间的垂线段相等。 特别说明：平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系． 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD 3.平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：S△AOB+S△COD=S△BOC+S△AOD 真题感知 1．（2022·浙江衢州·中考真题）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．      (1)在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． (2)在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 7．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 提升专练 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一个八边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 3．一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长为（     ） A．28 B．18 C．14 D．24 7．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（    ） A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都不是 D．甲、乙都是 9．对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 10．如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 12．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 13．已知点与点关于原点成中心对称， 则 ． 14．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 15．如图，在等腰中，，，为线段上一动点，连接，过点作，过点作，和相交于点，连接，则的最小值为 ．    16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长到点，使，过点作于点，连接．若平行四边形的周长为8，则的长是 ．    17．如图，在中，点是边的中点，连接，将沿着直线翻折．得到，连接．若，，，则的面积为 ． 18．每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上， (1)写出、、的坐标． (2)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并求的面积． 19．如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 20．如图，在中，于点，于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 21．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长． 22．数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：． ①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线． ②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类别分析】 （2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明； 【学以致用】 （3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行四边形 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、多边形的内角和 2、平行四边形的性质 3、中心对称图形 4、平行四边形的判定 5、三角形中位线的性质 6、反证法 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 平行四边形的判定 2023·浙江湖州·中考真题 平行四边形的判定、平行四边形的性质 2023·浙江杭州·中考真题 三角形中位线的性质 2023·浙江湖州·中考真题 三角形中位线的性质 2023·浙江金华·中考真题 中心对称图形 2023·浙江温州·中考真题 中心对称图形 2022·浙江衢州·中考真题 三角形中位线的性质 2022·浙江宁波·中考真题 一．多边形 （1）多边形的定义： 在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。 （2）多边形的内角、外角、对角线 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。 （3）多边形的内角和 四边形的内角和等于360o。n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。任何多边形的外角和为360o。 二、平行四边形及其性质 （1）平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD可记做“▱ABCD”。 （2）平行四边形的性质 平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等。 夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。 两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。 平行四边形的对角线互相平分。 三、中心对称 如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 对称中心平分连结两个对称点的线段。 在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(-x,-y)关于原点成中心对称。 四、平行四边形的判定定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 五、三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 六、反证法 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 例如：用反证法求证四边形中至少有一个角是直角或钝角 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 1.平行四边形的性质 1． 边的性质：平行四边形两组对边平行：AB∥CD，AD∥BC，平行四边形两组对边相等：AB＝CD，AD＝BC。 2．角的性质：平行四边形对角相等：∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD。 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分：AO＝CO，BO＝DO。 补充 4.夹在两条平行线间的平行线段相等。 5.夹在两条平行线间的垂线段相等。 特别说明：平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系． 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD 3.平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：S△AOB+S△COD=S△BOC+S△AOD 真题感知 1．（2022·浙江衢州·中考真题）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意； B、是中心对称图形，此项符合题意； C、不是中心对称图形，此项不符合题意； D、不是中心对称图形，此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题关键． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长． 【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2， ∴AE＝2DF＝4， ∵AE＝AD， ∴AD＝4， 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点， ∴BD＝AC＝AD＝4， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长． 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      【答案】8 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．      (1)在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． (2)在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，然后根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形． （2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可． 【详解】（1）（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（ ）．    （2）画法不唯一，如图3或图4．    【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段． 6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长． 【详解】解，∵，于点D， ∴．                     ∵， ∴．                             ∵于点D， ∴， ∴在中，．     ∵， ∴，         ∵E为AB的中点， ∴． 【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 7．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （2）解： ，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 提升专练 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2．一个八边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式，列式进行计算即可得解． 【详解】解：． 故选： A 3．一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解答本题的关键． 设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为，则相邻的内角为，由题意得， ， 解得：， 多边形的外角和为， ， 这个多边形的边数为10． 故选：C． 4．如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．根据平行四边形的邻角互补即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴ ， 又平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又平分， ， ， ∴， ． 故选：B． 6．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长为（     ） A．28 B．18 C．14 D．24 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握相关结论是解题的关键．根据平行四边形“对角线互相平分”的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵，， 故选： 7．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 8．如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（    ） A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都不是 D．甲、乙都是 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的判定方法分别对甲、乙两种方案进行正确即可判断求解，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：甲方案：∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案：∵，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确； 故选：． 9．对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】C 【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行． 【详解】解：图2中，∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法一可行； 图3中，由题意知，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法二可行； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题的关键． 10．如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据 “三线合一”得到D为的中点，根据三角形中位线定理计算得到，再利用计算求解即可解题． 【详解】解： ，是边上的高，垂足为D， D为的中点， E为的中点， 为的中位线， ， ， ， 故选：B． 11．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是，根据题意得， ， 解得， 这个多边形为八边形． 故答案为：八． 12．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可． 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ， 故答案为：1． 13．已知点与点关于原点成中心对称， 则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标特征，以及已知字母的值，求代数式的值，根据关于原点对称的点的坐标横纵坐标都相反求出a，b ，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 14．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 15．如图，在等腰中，，，为线段上一动点，连接，过点作，过点作，和相交于点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，与交于点，过点作于点，如图所示，利用等腰直角三角形性质求出，在中，由等腰直角三角形的判定与性质求出，当点与点重合时，的值最小，从而得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 与交于点，过点作于点，如图所示：    在等腰中，，，则，解得， 四边形是平行四边形， ， 在中，，则， ∴是等腰直角三角形， 则，解得， 当点与点重合时，的值最小，则的值最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键． 16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长到点，使，过点作于点，连接．若平行四边形的周长为8，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质可得，，再根据，，可知，，即可知为的中位线，即可求解．理解题意的为的中位线是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ∵平行四边形的周长为8， ∴， ∵，， ∴，， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 17．如图，在中，点是边的中点，连接，将沿着直线翻折．得到，连接．若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交的延长线于点，根据翻折得垂直平分，结合，根据中位线的性质的得出，，求出的长，根据勾股定理计算，得出、的长，根据计算即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点， ∵将沿着直线翻折得到， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵点是边的中点，，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式等，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上， (1)写出、、的坐标． (2)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并求的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】此题主要考查了坐标与图形，画中心对称图形； （1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；  （2）首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到、、的对称点坐标，再顺次连接即可，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：根据 坐标系可得：，，； （2）如图所示，即为所求； ． 19．如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 【详解】证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． 20．如图，在中，于点，于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，，则，由于点，于点，得，，即可根据“”证明，得，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由，，得，则，，所以，求得，则，所以，则． 【详解】（1）（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 于点，于点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，，， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为13． 21．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， 四边形的周长为24． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22．数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：． ①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线． ②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类别分析】 （2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明； 【学以致用】 （3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析（3） 【分析】（1）选小芳同学：延长，交于点，结合平行四边形的性质可证，得，即为的中点，由，，结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半可证明结论； 选小琳同学：分别取、中点、，连接，，根据三角形中位线的性质及平行四边形的性质可证、、三点在同一直线上，进而可证明垂直平分，即可证明结论； （2）由折叠可知，，，先证，得，再证，得，进而证明四边形为平行四边形，得，可知为的中点，即可证得； （3）在中，，由折叠可知，，，求得，在中，，，则，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，则，，，过点作轴于，则为等腰直角三角形，设，则，求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而可得，同理可得，直线的解析式为：，求得，得，则，即可求得，，进而可得的面积与的面积的比为． 【详解】解：（1）若选小芳同学的解题思路， 证明：延长，交于点， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， ∴； 若选小琳同学的解题思路， 证明：分别取、中点、，连接，， ∴为的中位线， ∴， 在中，，， ∵为的中点，为的中点，则，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∵，， ∴，即：， ∴垂直平分， ∴； （2），理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即为的中点， ∴． （3）在中，， 由折叠可知，，， ∵，的面积为20， ∴，则， 在中，， ∴，则， ， 以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系， 则，，， 过点作轴于，则为等腰直角三角形，设，则， 设直线的解析式为：，代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：，则， 同理可得，直线的解析式为：， 当时，，即：， ∴，则， ∴，， ∴的面积与的面积的比为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$