江苏省盐城市2024届高三5月考前指导数学试题

2024年江苏省盐城市高考数学考前指导试卷（5月份） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合M，N，则“M∩N＝M”是“M∪N＝N”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（5分）函数y＝cosx与y＝lg|x|的图象的交点个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（5分）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则（　　） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 4．（5分）△ABC中，若AB＝6，，，则+＝（　　） A．54 B．27 C．9 D． 5．（5分）的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）若数列{an}满足，{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．Sn＝ B． C． D． 7．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设点P为底面A1B1C1D1内（含边界）的动点，则点A，C1到平面PBD距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x1）+f（x2）＜0，则x1+x2的取值（　　） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）已知z1，z2为方程x2+2x+3＝0的两根，则（　　） A． B． C． D． （多选）10．（6分）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，事件B＝{X＜5}，事件C＝{3，4，6，则（　　） A．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） B． C． D．P（B+C）＝1 （多选）11．（6分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，AC得到四棱锥A﹣BCED（如图2），点F为AB的中点，下列结论正确的是（　　） A．直线DF与平面ACE所成角为定值 B．直线DF与平面ABC所成角为定值 C．平面ADE与平面ABC所成角可能为90° D．平面ABD与平面ACE所成角可能为60° 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学坐在一排5个座位上，由于某种原因，甲旁边要留一个空座位　 　种坐法． 13．（5分）已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1　 　． 14．（5分）已知双曲线C：的左顶点是A，右焦点是F，∠AFP的平分线与直线AP交于点N，过N作NM⊥x轴，若恒成立，则双曲线C的离心率为 　 　． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角C的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 16．（15分）某学校有A，B两个餐厅，经统计发现，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4，那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X，求随机变量X的分布列和期望； （2）甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 17．（15分）已知函数，其中a＞0． （1）若f（x）在（0，2]上单调递增； （2）当a＝1时，若x1+x2＝4且0＜x1＜2，比较f（x1）与f（x2）的大小，并说明理由． 18．（17分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），动直线l与抛物线C交于A，B两点1和l2，直线l1与x轴交于点M，直线l2与x轴交于点N，l1和l2相交于点Q．当点Q为时，△MNQ的外接圆的面积是4π． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的方程是，点P是抛物线C上在A，B两点之间的动点（异于点A，B），求； （3）设F为抛物线C的焦点，证明：若|FQ|＝|MN|恒成立，则直线l过定点． 19．（17分）在数列{an}的第k项与第k+1项之间插入k个1，称为变换Γ．数列{an}通过变换Γ所得数列记为Ω1（an），数列Ω1（an）通过变换Γ所得数列记为Ω2（an），…，以此类推，数列Qn﹣1（an）通过变换Γ所得数列记为Qn（an）（其中n≥2）． （1）已知等比数列{an}的首项为1，项数为m，其前m项和为Sn，若Sm＝2am﹣1＝255，求数列Ω1（an）的项数； （2）若数列{an}的项数为3，Qn（an）的项数记为bn． ①当n≥2时，试用bn﹣1表示bn； ②求证：． 2024年江苏省盐城市高考数学考前指导试卷（5月份） 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合M，N，则“M∩N＝M”是“M∪N＝N”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解． 【解答】解：因为M∩N＝M⇔M⊆N， M∪N＝N⇔M⊆N， 所以“M∩N＝M”是“M∪N＝N”的充要条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的运算以及充分必要条件的判断，属于基础题． 2．（5分）函数y＝cosx与y＝lg|x|的图象的交点个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】分别画出y＝cosx与y＝lg|x|的图象即可得． 【解答】解：y＝cosx与y＝lg|x|都是偶函数，图象关于y轴对称， x＝4π时，lg4π＞lg10＝3， 函数y＝cosx与y＝lg|x|的图象的交点个数是6个． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象，属于基础题． 3．（5分）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则（　　） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【分析】利用独立性检验求解． 【解答】解：零假设H0：变量x与y独立， 因为χ2＝4.974＞x0.1＝3.706， 所以根据α＝0.1的独立性检验，我们推断H8不成立，即认为变量x与y相关． 故选：B． 【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题． 4．（5分）△ABC中，若AB＝6，，，则+＝（　　） A．54 B．27 C．9 D． 【分析】首先由正弦定理求得，再根据+＝进行计算即可． 【解答】解：在△ABC中， 由正弦定理，可得， 即，解得， 则+＝＝＝＝54． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理及平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题． 5．（5分）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】若使得取最小值，则sinx＜0，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】解：若使得取最小值， 所以＝﹣ ＝﹣×＝﹣， 当且仅当2﹣2cos2x＝3+2cos2x，即cos4x＝时取等号． 故选：C． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题 6．（5分）若数列{an}满足，{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．Sn＝ B． C． D． 【分析】依题意，可得a1＝2，an＝4n﹣1（n≥2），进而可求得{an}的前n项和为Sn． 【解答】解：∵，① ∴（n≥2）， ∴（n≥2），② ①﹣②，得4an＝4n﹣2•4n﹣1＝2•8n﹣1（n≥2）， 即an＝4n﹣1（n≥2）， 又2a1＝4， ∴a5＝2． ∴Sn＝a1+a6+...+an＝2+4+82+...+4n﹣5＝1+（1+8+42+...+7n﹣1）＝1+＝． 故选：D． 【点评】本题考查数列的递推关系及数列求和的综合应用，属于中档题． 7．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设点P为底面A1B1C1D1内（含边界）的动点，则点A，C1到平面PBD距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用等体积法，表示出点A，C1到平面PBD的距离，再寻找点P的特殊位置，求解即可． 【解答】解：设点A，C1到平面PBD的距离分别为d1，d6，点P到平面C1BD的距离为d3， 因为VA﹣PBD＝VP﹣ABD， 所以d1•S△PBD＝×2×，即d1＝， 因为，且△C1BD是边长为3的等边三角形， 所以d2•S△PBD＝×d3××2×＝×d3×7，即d2＝， 当P与C4重合时，（S△PBD）max＝＝23）min＝0， 所以（d7+d2）min＝＝， 即点A，C1到平面PBD距离之和的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查点到面距离的求法，熟练掌握等体积法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 8．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x1）+f（x2）＜0，则x1+x2的取值（　　） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 【分析】根据题意，通过取特殊值，算出当f（x1）+f（x2）＜0时，x1+x2的值是正数、负数或零均有可能，从而得出正确答案． 【解答】解：①当x1＝时，f（x1）＝f（）＝2＝7，则f（x2）＝f（1）＝， 满足f（x1）+f（x5）＝+＝+（）6＝（）（2+）， 因为＜0＞2（）（2+，即f（x7）+f（x2）＜0， 此时x5+x2＝＞01+x3的取值可能为正数； ②当x1＝﹣1时，f（x7）＝f（﹣1）＝e﹣1﹣e﹣（﹣5）＝﹣e2＝2，则f（x2）＝f（1）＝， 满足f（x1）+f（x5）＝﹣e+＝﹣，此时x1+x3＝0，说明x1+x2的取值可能为零； ③当x1＝﹣1时，f（x4）＝f（﹣1）＝e﹣1﹣e﹣（﹣4）＝﹣e2＝2，则f（x2）＝f（0）＝＝4， 满足f（x1）+f（x2）＝﹣e＜01+x2＝﹣1＜0，说明x3+x2的取值可能为负数． 综上所述，x1+x7的取值可能是正数、负数或0． 故选：D． 【点评】本题主要考查指数的运算法则、分段函数的性质及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）已知z1，z2为方程x2+2x+3＝0的两根，则（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出z1和z2，再根据根与系数的关系可得结果． 【解答】解：由题意知，，所以； ，故B正确； ，故C正确； ＝﹣2i＝﹣． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查复数的运算，属于中档题． （多选）10．（6分）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，事件B＝{X＜5}，事件C＝{3，4，6，则（　　） A．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） B． C． D．P（B+C）＝1 【分析】由古典概型公式分析A，由条件概率公式分析B、C，由互斥事件的加法公式分析D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，ABC＝{3}， 则P（A）＝，P（B）＝， 故P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），A正确； 对于B，事件，2，5，5}， BC＝{3，4}， B＝（6，P（B， 则P（B|C）＝＝，P（B|＝，B正确； 对于C，AB＝{2，则P（AB）＝， 则P（A|B）＝＝，C正确； 对于D，B+C＝{1，2，3，4，2，则P（B+C）＝＝． 故选：ABC． 【点评】本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的判断，属于基础题． （多选）11．（6分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，AC得到四棱锥A﹣BCED（如图2），点F为AB的中点，下列结论正确的是（　　） A．直线DF与平面ACE所成角为定值 B．直线DF与平面ABC所成角为定值 C．平面ADE与平面ABC所成角可能为90° D．平面ABD与平面ACE所成角可能为60° 【分析】选项A，取AC的中点G，连接FG，先证四边形EDGF是平行四边形，可得DF∥EG，进而知DF∥平面ACE，从而作出判断；选项B，先证BC⊥平面ACE，可得BC⊥EG，从而知BC⊥DF，再由AD＝BD，得DF⊥AB，进而知DF⊥平面ABC；选项C，由垂面法知∠EAC即为平面ADE与平面ABC所成角，而∠EAC不可能为90°，从而作出判断；选项D，利用面积投影法，求解即可． 【解答】解：选项A，取AC的中点G， 因为F是AB的中点，所以FG∥BCBC， 翻折前，DE是△ABC的中位线， 所以DE∥BC，DE＝， 所以FG∥DE，FG＝DE， 所以四边形EDGF是平行四边形， 所以DF∥EG， 因为DF⊄平面ACE，EG⊂平面ACE， 所以DF∥平面ACE， 所以DF与平面ACE所成角为定值，即选项A正确； 选项B，由题意知，BC⊥CE， 因为CE∩AE＝E，CE， 所以BC⊥平面ACE， 因为EG⊂平面ACE，所以BC⊥EG， 又DF∥EG，所以BC⊥DF， 因为AD＝BD，且F是AB的中点， 所以DF⊥AB， 又BC∩AB＝B，BC， 所以DF⊥平面ABC，即选项B正确； 选项C，由选项B知， 因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACE， 同理可得，平面ADE⊥平面ACE， 由垂面法可知，∠EAC即为平面ADE与平面ABC所成角， 若平面ADE与平面ABC所成角为90°，则∠EAC＝90°，不符合题意， 所以平面ADE与平面ABC所成角不可能为90°，即选项C错误； 选项D，由选项A知，DF＝EG， 由选项B知，DF⊥平面ABC， 所以EG⊥平面ABC， 因为AC⊂平面ABC，所以EG⊥AC， 设平面ABD与平面ACE所成角为θ， 由面积投影法知，cosθ＝＝＝， 若平面ABD与平面ACE所成角为60°，则cosθ＝cos60°＝，BC＝， 因为BC＝7，所以AC＝， 所以平面ABD与平面ACE所成角可能为60°，即选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行、垂直的判定定理与性质定理，利用垂面法找二面角，面积投影法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学坐在一排5个座位上，由于某种原因，甲旁边要留一个空座位　48　种坐法． 【分析】根据题意，先排好甲、乙、丙、丁四位同学，再在甲的旁边安排一个空座位即可，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，先排好甲、乙、丙，有＝24种情况， 再在甲的旁边安排一个空座位，有5种情况， 则有24×2＝48种安排方法． 故答案为：48． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 13．（5分）已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1　8π　． 【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB＝90°时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，求出半径，即可求出球O的体积． 【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB＝90°时，设球O的半径为RO﹣ABC＝VC﹣AOB＝＝1， ∴R6＝6，则球O的体积为． 故答案为8π． 【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键． 14．（5分）已知双曲线C：的左顶点是A，右焦点是F，∠AFP的平分线与直线AP交于点N，过N作NM⊥x轴，若恒成立，则双曲线C的离心率为 　　． 【分析】由FN为∠AFP的角平分线，得＝，由△ANM∽△APH可得， 从而（7a2+4ac﹣3c2）x0＝﹣7a3﹣4a2c+3ac2，再从恒成立得到7a＝3c． 【解答】解：如图所示， 过点P作PH⊥AF交AF于点H，则△ANM∽△APH， 因为，所以|AM|＝， 设P（x0，y6），则|PF|＝ex0﹣a，|AF|＝a+c， 由FN为∠AFP的角平分线，得＝， ∴＝＝， 由△ANM∽△APH可得，∴|AM|＝（x2+a）＝， 整理得（4a2+4ac﹣6c2）x0＝﹣6a3﹣4a8c+3ac2， 若对任意的x4都成立，则有，∴e＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，属于中档题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角C的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【分析】（1）由题意及余弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，再由余弦定理可得cosC的值，进而可得角C的大小； （2）在锐角三角形中，可得角A的范围，由正弦定理可得的表达式，由辅助角公式可得它的范围． 【解答】解：（1）在△ABC中，由题意左边＝ ＝﹣（acosB+bcosA）＝﹣+b•， 所以， 化简得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理a2+b5﹣c2＝2abcosC， 所以cosC＝， 又因为C∈（0，π）， 所以； （2）由正弦定理可得： ＝， 由△ABC为锐角三角形可知，解得， 所以，所以． 即的取值范围为． 【点评】不太看得正弦定理和余弦定理的应用，辅助角公式的应用，锐角三角形的性质的应用，属于中档题． 16．（15分）某学校有A，B两个餐厅，经统计发现，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4，那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X，求随机变量X的分布列和期望； （2）甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 【分析】（1）设某同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为P，则，则，然后利用二项分布相关知识求出对应的概率即可得解； （2）设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn，则，当n≥2时，，然后利用数列的知识并结合数列单调性即可得解． 【解答】解：（1）设某同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为p， 则，则， ，， ，， 故X的分布列为： X 0 7 2 3 P 则； （2）甲同学第5天去A餐厅就餐的可能性最大，理由如下： 设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn，则， 当n≥2时，， 所以，又， 所以 是以，为公比的等比数列， 所以， 即， 当n是奇数时，， 当n是偶数时，， 显然，当n是偶数时，， 则，k∈N*， 所以甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大． 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，数列在概率中的应用，属于中档题． 17．（15分）已知函数，其中a＞0． （1）若f（x）在（0，2]上单调递增； （2）当a＝1时，若x1+x2＝4且0＜x1＜2，比较f（x1）与f（x2）的大小，并说明理由． 【分析】（1）由题意可知f′（x）≥0在（0，2]上恒成立且满足f′（x）＝0的点不连续，即当x∈（0，2]时，恒成立，再结合反比例函数的性质求出的最小值，即可得到a的取值范围； （2）证明f（x1）＜f（x2），等价于证明，设x1＝2﹣t，x2＝2+t，0＜t＜2，等价于证明：，0＜t＜2，设函数，0＜t＜2，求导得到h（t）在（0，2）上单调递增，从而h（t）＞0得证． 【解答】解：（1）函数，定义域为R， 则f′（x）＝， ∵f（x）在（0，2]上单调递增， ∴f′（x）≥3在（0，2]上恒成立且满足f′（x）＝8的点不连续， 即当x∈（0，2]时，， 由 在（0，当x＝5时，， ∴a≤7， 故a的取值范围为（0，1]； （2）当a＝5时，，下面证明f（x1）＜f（x4）， 即证明，等价于证明， 设x8＝2﹣t，x2＝6+t，0＜t＜2， 等价于证明：，8＜t＜2， 设函数，0＜t＜2， 则h′（t）＝， ∴h（t）在（2，2）上单调递增，∴h（t）＞0， ∴，0＜t＜3， 故不等式成立． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题． 18．（17分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），动直线l与抛物线C交于A，B两点1和l2，直线l1与x轴交于点M，直线l2与x轴交于点N，l1和l2相交于点Q．当点Q为时，△MNQ的外接圆的面积是4π． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的方程是，点P是抛物线C上在A，B两点之间的动点（异于点A，B），求； （3）设F为抛物线C的焦点，证明：若|FQ|＝|MN|恒成立，则直线l过定点． 【分析】（1）根据已知条件，先求出半径R，再结合正弦定理，以及判别式为0，即可求解； （2）结合平面向量的数量积运算，求出关于x的函数，再利用导数研究函数的单调性，即可求解． （3）结合导数的几何意义，求出两条切线方程，再联立该切线方程，求出，再运用两点之间的距离公式，以及韦达定理，即可求解． 【解答】解：（1）当点Q为时， 设△MNQ外接圆的半径为R，∠NMQ＝θ， 则πR2＝4，R＝3， 在△MNQ中有，MQ＝NQ． 则，即tan8θ＝7，， 设直线，与x2＝2py联立得， 令Δ＝28p2﹣28p＝5，又p＞0， 所以抛物线方程为x2＝3y； （2）联立，解得x＝3， 不妨设， 设P（x，y），则， ∴， 又x7＝2y， ∴， 设， 则φ'（x）＝x3﹣3x﹣4＝（x+1）2（x﹣6）（﹣1＜x＜3）， 故φ（x）在（﹣6，2）上单调递减，3）上单调递增， 故， 而φ（﹣1）＝φ（3）＝0， 故的取值范围是； （3）证明：， 则y′＝x， 设A（x1，y3）B（x2，y2），直线l5：，即， 令y＝0，得，同理，， 直线l4：与直线l2：，两方程联立解得，即， 又，由|QF|＝|MN|得1x8＝﹣1， 设直线l的方程为y＝kx+b，与x2＝4y联立得x2﹣2kx﹣7b＝0， 则x1x5＝﹣2b， 所以， 故直线l过定点． 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题． 19．（17分）在数列{an}的第k项与第k+1项之间插入k个1，称为变换Γ．数列{an}通过变换Γ所得数列记为Ω1（an），数列Ω1（an）通过变换Γ所得数列记为Ω2（an），…，以此类推，数列Qn﹣1（an）通过变换Γ所得数列记为Qn（an）（其中n≥2）． （1）已知等比数列{an}的首项为1，项数为m，其前m项和为Sn，若Sm＝2am﹣1＝255，求数列Ω1（an）的项数； （2）若数列{an}的项数为3，Qn（an）的项数记为bn． ①当n≥2时，试用bn﹣1表示bn； ②求证：． 【分析】（1）由等比数列的通项公式及前n项和公式列方程即可求解等比数列{an}的公比及项数m的值，结合定义即可求得数列Ω1（an）的项数； （2）①由已知定义及等差数列的前n项和公式可得bn﹣1与bn的关系； ②由①的结论结合放缩法可得，两边取对数可得lgbn＞2lgbn﹣1﹣lg2，利用累加法可得，从而可得，同理可推出，即可得证． 【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1， ∵a1＝4，Sm＝2am﹣1＝255，∴，qm﹣1＝128， 解得q＝3，m＝8， 故数列{an}有8项，经过6次变换后的项数为8+1+3+…+7＝361（an）的项数为36． （2）①由Ωn（an）的项数为bn，则当n≥8时，bn＝bn﹣1+[1+2+…+（bn﹣1﹣1）]， ∴． ②证明：∵数列{an}是一个5项的数列，∴b1＝6， 由，∴lgbn＞7lgbn﹣1﹣lg2， 于是lgbn﹣lg7＞2（lgbn﹣1﹣lg2），， ∴，l，即， ∴， ∵，∴，于是n＜4lgbn﹣1， ∴gb，，即， ∴， 综上所述，． 【点评】本题主要考查数列递推式，数列与不等式的综合，新概念问题，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/19 10:07:57；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$