第03讲 二次根式的乘除（九大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第03讲 二次根式的乘除（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 2、 能运用除法法则，进行二次根式的除法运算； 3、 能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简。 活动一： 计算：（1）×＝ ， ＝ ； （2）×＝ ， ＝ ； （3）×＝ ， ＝ ． 你有什么发现？请与同学交流． 一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【方法规律】(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　　; ≥0，≥0，…..≥0）; (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根 （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【方法规律】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2) 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 活动二： （1） ，＝ ； （2） ，＝ ； （3） ，＝ ； （4） ，＝ ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.. 【方法规律】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质 　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【方法规律】运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 题型1：二次根式的乘法-数字型 1．计算的值是（       ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．计算：＝_________． 题型2：二次根式的乘法-字母型及复合型 3．计算：__________． 4．下列计算正确的是(          ) A． B． C． D． A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不对 5．计算（2）（）的结果是（       ） 题型3：二次根式的乘法法则成立的条件 6．要使等式成立的x的值为（          ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型4：二次根式的除法-数字型 7．计算：＝___． 8．计算：＝_____． 9．计算：÷＝_____． 题型5：二次根式除法法则成立的条件 10．能使成立的x的取值范围是（   ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 11．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___． 12．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）． 题型6：二次根式的除法-字母型及复合型 13．计算：＝____． 14．计算：＝___． 15．计算：_________． 16．计算：=______          =______ 17．当时，化简 _________________． 题型7：二次根式的乘除法-数字型 18．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 19．计算：＝___． 题型8：二次根式的乘除法-字母型及复合型 20．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（          ） ①；  ②；   ③；   ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．计算：（　　　） A． B． C． D． 22．计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 23．计算: （1）; （2）; （3） 题型9：二次根式乘除的实际应用 24．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为_______． 25．站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列各数中，与的乘积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．计算=(    ) A． B． C． D． 4．计算的结果是（     ）． A．60 B．15 C．6 D．35 5．下列各运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 7．若成立．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．式子的值是（    ） A．9b B． C． D． 9．给出三个算式：①；②；③.其中正确的算式有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 10．在算式中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算；（1） ；     （2） ； （3） ；         （4） ； （5） ；          （6） ． 12．计算的结果是 ． 13．若成立，则x的取值范围是 ． 14．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有 ． 15．设，，则= (结果用m，n表示). 16．已知：，则 ． 17．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 18．当时，化简 ． 三、解答题 19．计算：． 20．计算：； 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算： (1)； (2)． 23．化简： 24．小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 25．填空（可用计算器计算）： ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________． 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示发现的规律吗？ 26．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 27．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的乘除（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 2、 能运用除法法则，进行二次根式的除法运算； 3、 能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简。 活动一： 计算：（1）×＝ ， ＝ ； （2）×＝ ， ＝ ； （3）×＝ ， ＝ ． 你有什么发现？请与同学交流． 一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【方法规律】(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　　; ≥0，≥0，…..≥0）; (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根 （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【方法规律】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2) 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 活动二： （1） ，＝ ； （2） ，＝ ； （3） ，＝ ； （4） ，＝ ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.. 【方法规律】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质 　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【方法规律】运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 题型1：二次根式的乘法-数字型 1．计算的值是（       ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式乘法法则计算即可． 原式． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根． 2．计算：＝_________． 【答案】20 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 题型2：二次根式的乘法-字母型及复合型 3．计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法进行求解即可． 解：； 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．下列计算正确的是(          ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A选项：，计算错误，故与题意不符； B选项：，计算步骤有误，故与题意不符; C选项：，计算错误，故与题意不符； D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符. 故选D. 5．计算（2）（）的结果是（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平方差公式进行计算即可． 解：（2）（） 故选B． 【点睛】 本题考查的是利用平方差公式进行二次根式的乘法运算，掌握公式特点是解题的关键． 题型3：二次根式的乘法法则成立的条件 6．要使等式成立的x的值为（          ） A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案. ∵， ∴或， ∴x=-2或x=3， 又∵， ∴x=3， 故选B. 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键. 题型4：二次根式的除法-数字型 7．计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 用二次根式除法法则计算即可． 解：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法，解题关键是熟练掌握二次根式除法法则，准确进行计算． 8．计算：＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的除法运算计算得出即可． 解：． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 9．计算：÷＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法法则计算即可求解． 解：， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法法则是解题关键． 题型5：二次根式除法法则成立的条件 10．能使成立的x的取值范围是（   ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可． 由题意可得：，解得：x＞2． 故选D． 【点睛】 二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据． 11．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】 由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案. 解： 等式成立， 由①得： 由②得： 所以则的取值范围为 故答案为： 【点睛】 本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键. 12．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可． ①时原式成立，否则不成立，如：，故不一定； ②一定成立，因为成立时，一定满足； ③当时，，故一定成立； ④当成立时，，则，故一定成立； 故答案为：②③④． 【点睛】 本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键． 题型6：二次根式的除法-字母型及复合型 13．计算：＝____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法法则解决此题． 解： ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则． 14．计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法运算法则计算即可； 原式； 故答案是：； 【点睛】 本题主要考查了二次根式的除法法则，准确计算是解题的关键． 15．计算：_________． 【答案】x 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法法则计算即可． 解： = = =x． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 16．计算：=______          =______ 【答案】     24     【解析】 【分析】 运用积的乘方的逆运算：(ab)n=anbn，把写成，再先算乘方再算乘法；按从左到右的顺序运算． 解： = =3×23 =3×8 =24 解： = = 故答案为：24， 【点睛】 此题考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序． 17．当时，化简 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得． 由二次根式的定义得：， ， ， 又除法运算的除数不能为0， ， ， 则 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 题型7：二次根式的乘除法-数字型 18．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案． 解：、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，故原式错误，符合题意， 故选：． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大． 19．计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 先把除法转化为乘法，再计算即可完成． 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错． 题型8：二次根式的乘除法-字母型及复合型 20．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（          ） ①；  ②；   ③；   ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论． ①当a、b均为负时，、无意义， ∴①不成立； ②∵在中，a＞0，b≥0， ∴≥0， ∴＝，②成立； ③∵＝|a|， ∴③不成立； ④∵＝|a2|＝a2， ∴④成立． 综上可知：成立的结论有②④． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键． 21．计算：（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可． 原式． 故选：A 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 22．计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可． （1）原式； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式； （5）原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 23．计算: （1）; （2）; （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可． （1）原式 ； （2）原式； （3）原式． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 题型9：二次根式乘除的应用 24．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】 直接根据长方体体积公式求解可得． ∵长方体的长为，宽为，高为 ∴长方体的体积= 故答案为：12 【点睛】 本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长． 25．站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 【答案】160 【解析】 【分析】 把h=2000代入公式进行即可. 解：把h=2000代入公式得 所以答案是：160. 【点睛】 本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键. 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简即可． 【解析】解：A.，此选项错误，不符合题意； B. ，此选项正确，符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟知运算法则以及二次根式的性质是解本题的关键． 2．下列各数中，与的乘积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式乘法法则判断即可． 【解析】A．，不是有理数，不合题意； B．，不是有理数，不合题意； C．是有理数，符合题意； D．，不是有理数，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解答本题的关键． 3．计算=(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题. 【解析】解： , 故选C. 【点睛】本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键. 4．计算的结果是（     ）． A．60 B．15 C．6 D．35 【答案】A 【解析】解：原式= =60．故选A． 5．下列各运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件进行计算即可． 【解析】解：A、，故本选项错误； B、，本选项正确； C、根据二次根式有意义的条件可得和没有意义，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，二次根式有意义的条件，掌握这些知识点是解题关键． 6．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得算式，再计算即可． 【解析】解：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握：． 7．若成立．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的意义得到x-2≥0，3-x≥0，从而求出x的范围． 【解析】解：∵， ∴x-2≥0，3-x≥0， ∴x≥2，x≤3， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x-2≥0和3-x≥0是解此题的关键． 8．式子的值是（    ） A．9b B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解. 【解析】=. 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟练运用二次根式的除法法则是解决问题的关键. 9．给出三个算式：①；②；③.其中正确的算式有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项. 【解析】解：（1） ，故本项错误； （2） ，故本项错误； （3） ，故本项正确；. 正确的只有（3）.故选C. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握运算法则以及二次根式的化简. 10．在算式中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的变化规律解题． 【解析】∵中，最小， ∴中，减小1导致乘积减小最大， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，注意根据题意找出规律是本题的关键． 二、填空题 11．计算；（1） ；     （2） ； （3） ；         （4） ； （5） ；          （6） ． 【答案】 （1）， （2）24， （3）； （4）； （5）9； （6）． 【分析】根据二次根式乘除法则逐一计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 故答案为：；24；；；9；． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行运算即可． 【解析】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键． 13．若成立，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案． 【解析】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键． 14．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有 ． 【答案】②③/③② 【分析】根据已知条件，二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可求解． 【解析】解：∵，则， ∴①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确， ④，故④错误， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 15．设，，则= (结果用m，n表示). 【答案】 【解析】分析：本题考查二次根式的化简. 解析：∵ 故答案为. 点睛：二次根式的计算公式的应用可以化简， . 16．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 【解析】解：∵， ， 故答案为：． 17．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后求出，再根据二次根式比较大小的方法，即可． 【解析】∵三角形的三边长为、、，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为，，时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵介于整数和之间， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是理解题意，求出，；掌握二次根式比较大小的方法． 18．当时，化简 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得． 【解析】由二次根式的定义得：， ， ， 又除法运算的除数不能为0， ， ， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【解析】解： ． 20．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【解析】解： ． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【解析】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【解析】（1）解： （2） 23．化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【解析】解： ． 24．小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 【答案】错误；理由见解析. 【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可． 【解析】解：错误，原因是被开方数应该为非负数． ====2. 故答案为错误. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法. 25．填空（可用计算器计算）： ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________． 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示发现的规律吗？ 【答案】6；6；4.47；4.47；；；1.22；1.22；左两边等式的计算结果相等；； 【分析】根据二次根式的性质或用计算器进行计算，得出根式乘法和除法运算法则即可． 【解析】解：，； ，； ，； ，； 比较左右两边的等式，可以发现左两边等式的计算结果相等； 用字母表示发现的规律为：； ． 故答案为：6；6；4.47；4.47；；；1.22；1.22；左两边等式的计算结果相等；；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，解题的关键是准确计算找出运算规律． 26．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解析】解：设圆的半径应是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：圆的半径应是． 27．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【解析】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$