1.5 有理数的乘除 讲义 2023--2024学年沪科版七年级数学上册

1.5 有理数的乘除 本节课知识框架： 知识点1：有理数的乘法法则 知识点2：倒数 知识点3：有理数的除法法则 知识点4：有理数的加减乘除混合运算 知识点5：乘法运算律 本节课重难点： 重点：有理数的乘法法则、倒数、乘法运算律 难点：有理数的乘法法则、有理数的除法法则、有理数的加减乘除混合运算 本节课学习目标： 1、 理解有理数乘法法则,会用法则进行乘法运算 2、 理解有理数除法法则、倒数的意义,掌握有理数的除法运算 3、 理解有理数乘法的运算律,能运用运算律简化运算 4、 掌握有理数乘除混合运算的计算方法 知识点1：有理数乘法法则 知识点讲解 1.有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； (2) 任何数与0相乘仍得 0. 2.有理数的乘法符号法则 (1)如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即： ab>0⇔ a>0， b>0 或 a<0， b<0； (2)如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： ab<0⇔ a>0， b<0 或 a<0， b>0； (3)如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： ab=0 ⇔a=0 或 b=0. 例题1：计算： (1) ( － 3 ) ×( － ) ； (2) ×( － 0.25 ) ； (3) ( －2) ×3 ×( － 4 ) ； (4) ( － 1000 ) ×( － ) ×0. 1.两个数相乘，先确定积的符号，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0 相乘都得 0. 2.当因数中有带分数时，应先把带分数化为假分数； 3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－ 1相乘都等于它的相反数 . 方法总结 例题2：根据下列条件，判断 a， b 的正负性 . (1) a+b<0， ab>0； (2) a － b<0， ab<0. 有理数的加法法则以及乘法法则都分两部分，一部分确定结果的符号，另一部分确定结果的数值 . 若逆用法则时，要注意结果的多样性，从和或积的符号分析加数或因数的符号情况不止一种，但两者结合起来分析结果更准确 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：填空. (1)(－5)×＝______(______×______)＝______. 两数相乘, 同号得______, 并把它们的________相乘. (2)(－3)×＝______(______×______)＝－. 两数相乘, 异号得______, 并把它们的__________相乘. 第二题：计算: 3×(－1)＋|－3|＝________. 第三题：下列说法中, 错误的是(　　) A. 一个数同1相乘, 仍得这个数 B. 一个数同－1相乘, 得原数的相反数 C. 互为相反数的两数的积为1 D. 一个数同0相乘, 得0 知识点2： 倒数 知识点讲解 1. 定义 如果两个有理数的乘积为 1，我们称这两个有理数互为倒数 . 2. 倒数与相反数间的关系 3. 求一个数的倒数的方法 (1)一个不为 0 的整数的倒数就是用这个整数作分母，1 作分子的分数； (2)一个分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置； (3)求一个小数的倒数要先把小数化成分数，再求其倒数； (4)一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置 . 例题3：求下列各数的倒数 (1) － 4； (2) － ； (3) 0.125； (4) 1 ； (5) － 1. 1.求出一个数的倒数后可进行检验，其结果要符合两个特征： (1)原数与其倒数符号相同； (2)两者乘积为1. 2. 0 没有倒数；倒数等于本身的数有±1. 方法总结 知识点讲解 ：多个有理数相乘 1. 几个不为 0 的数相乘的法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 . 当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负 . 确定符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 . 2. 有因数 0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，有一个因数为 0，积为 0. 同样，若积为 0，则至少有一个因数为 0. 例题3：计算： (1) (－5)×(－4)×(－2)×(－2)； (2) (－) × (－1 )× (－1 )×5； (3) (－2 )× (－1 )×0.732×0. 1. 多个有理数相乘，先看各因数中有无0，若有，则乘积的结果为 0；若无，则非 0 有理数相乘，应该先确定符号，再计算绝对值的乘积 . 2. 在进行乘法运算时，当遇到带分数时，要化为假分数，以便于约分；分数与小数相乘时，要根据两个数的特点，统一成分数或小数 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：若a, b, c在数轴上对应点的位置如图所示, 则必有(　　) A. abc＞0 B. a(b－c)＞0 C. (a＋b)c＞0 D. (a－c)b＞0 第二题：计算: (－12. 5)××(－4). 第三题：计算××的结果为(　　) A. B. C. D. 知识点3：有理数的除法法则 知识点讲解 1.有理数除法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0. 0 不能做除数 . 2.有理数除法法则二 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数 . 用字母表示： a÷ b=a· (b ≠ 0). 例题5：计算： (1) (－ 42) ÷ (－ 6) ； (2) (－ 12) ÷ ( + ) ； (3) ( － 1 ) ÷ ( － 3 ) ； (4) 0÷ (－ 3.72 ) ； (5) 1.5÷ (－ 1.5 ) ； (6) (－ 4.7 ) ÷ (－ 4.7 ). 在进行有理数的除法运算时，要根据题目的特点，恰当地选择有理数除法法则. 当能整除时，往往采用法则一直接除. 当不能整除时，特别是当除数是分数时，往往采用法则二，把除法转化为乘法再计算 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：计算: 2÷(－2)＝________. 第二题：(多选题)如图, 有理数a, b在数轴上的对应点在原点两侧, 下列各式成立的是(　　) A. ＞1 B. －a＜b C. a－b＞0 D. －ab＞0 第三题： 计算1÷ 时, 将除法变为乘法正确的是(　　) A. 1× B. 1× C. 1× D. 1× 知识点4：有理数的加减乘除混合运算 知识点讲解 1.有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 例题6：计算： (1) －27× ( － ) ÷(－ ) × ( － ) ； (2) －3 － [－5 ＋ (1－0.2 × ) ÷ (－ 2) ] ； 在进行有理数的加减乘除混合运算时，要牢记运算顺序： 先乘除，再加减，有括号时要先算括号里的 . 乘除运算要统一成乘法运算，再运用乘法运算律简化计算，运算时还需注意符号 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：计算12＋(－18)÷(－6)－(－3)×2的结果是(　　) A. 7 B. 8 C. 21 D. 36 第二题：要使算式(－1)□3的运算结果最大, 则“□”内应填入的运算符号为(　　) A. ＋ B. － C. × D. ÷ 第三题： 若a, b互为相反数, c的倒数是4, 则3a＋3b－4c的值为(　　) A. －8 B. －5 C. －1 D. 16 知识点5：乘法运算律 知识点讲解 例题7：计算： (－ 3 ) × ( － ) × ( － ) × ( － ) . 例题8：计算： 25×0.125×(－4)× (－ )×(－8)×1 . 例题9：计算： ( －36)× (－ + － ) . 例题10：计算： (－47.65)×2 +37.15×2 +10.5× ( － 7 ). 利用乘法的交换律和结合律都是为了简化运算，其中互为倒数的两个数乘积为 1，这是结合的一个原则 . 简化有理数乘法的方法： 对于几个有理数相乘，先确定积的符号，再把能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：计算71×(－8)最简单的方法是(　　) A. ×(－8) 　　B. －×8 C. ×(－8) 　　D. 71×(－10＋2) 第二题：用分配律计算(－3) × 的过程正确的是(　　) A. (－3)×4＋(－3)×＋(－3)×1 B. (－3)×4＋(－3)× C. (－3)×(－4)－(－3)×＋(－3)×1 D. (－3)×4＋3×＋(－3)×1 课后作业 第一题：若|a|＝3, |b|＝4, 且a＋b＜0, 则ab＝________. 第二题：已知a与－3互为相反数, b与－互为倒数. (1) 求a, b的值; (2) 若|m－a|＋|n＋b|＝0, 求mn的值. 第三题：计算: (1)×(－1. 2)×; (2)××; (3)(＋9)×(－10)××0×(－5. 75). 第四题：计算: ÷. 第五题：规定a※b＝÷, 例如: 2※3＝÷＝－, 求[2※(－5)]※4的值. 第六题：某商店营业员每月的基本工资为4 000元, 奖金制度是每月完成规定指标10 000元营业额, 发奖金300元; 若营业额超过规定指标, 另奖超额部分营业额的5%, 该商店的一名营业员九月份完成营业额13 200元, 则他九月份的收入为________元. 第七题：已知a, b互为倒数, c, d互为相反数, |m|＝3.根据已知条件解答下列问题: (1)ab＝________, c＋d＝________, m＝________, ＝________. (2)求＋ab＋－的值. 第八题：如图, 请你参考老师的讲解, 用运算律简便计算: (1)999×(－15); (2)999×118＋999×－999×18. 第九题：阅读材料, 回答下列问题: ×＝×＝1; ×××＝×××＝×＝1×1＝1. 根据以上信息, 请求出下列式子的结果: ×××…×××××…×. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$