第08讲 相似三角形的性质（九大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第08讲 相似三角形的性质（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握相似三角形的性质； 2、学会解决相似三角形性质的实际应用； 3、利用相似三角形的性质与其他几何知识解决问题。 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 【方法规律】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 如图24—43,已知△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC与△△A1B1C1的相似比为k,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线.那么 的值是否也等于k? 为什么? 由已知条件可知△ABD、A1B1D1, 有两个角对应相等，于是可推出结论是肯定的. 推导过程如下： ∵△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴ ∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1 (相似三角形的对应角相等). ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线， 即 ∴∠BAD=∠B1A1D1. 在△ABD 与A1B1D1中， ∴ △ABD∽△A1B1D1 (两角对应相等，两个三角形相似). 得 (相似三角形的对应边成比例), 即 用类似的方法可以得到，相似三角形的对应高的比、对应中线的比也等于相似比. 3.相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 【方法规律】相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【方法规律】测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【方法规律】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型1：直接利用相似三角形的性质求解 1．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解． 【解析】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长之比等于． 故答案为：． 2．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于，得到相似比为，即可得到它们的面积比等于． 【解析】解：∵两个相似三角形的周长的比等于， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积比等于． 故答案为： 3．如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 【解析】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为：． 4．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 5．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 6．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ． 【答案】 /0.5 /0.25 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：，若，， 与的相似比为：，它们的面积比为： 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 7．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可． 【解析】解：由题意，得两三角形的周长比为， 设两三角形的周长分别为，， 由题意，得，解得， ，， 即这两个三角形的周长分别为， 故答案为：． 8．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 【答案】12 【分析】先计算出的周长，进而得出相似比为，进而得出答案． 【解析】解：∵的三边长分别为2、3、4， ∴的周长为：9 ∵与相似，且周长为54， ∴与的周长比为， ∴与的相似比为， 设的最短边的长是x ，则： ， 解得∶． 故答案为∶12． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 题型2：已知两三角形相似，结合其他几何知识求解 9．已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可． 【解析】解：在中，， ∴， ∵与相似， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵相似比为， ∴， 故答案为： 11．如图，方格中的，则相似比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格与勾股定理，求相似三角形的相似比． 先由勾股定理求出、的长，再根据相似三角形相似比等于对应边的比求解即可． 【解析】解：由勾股定理得：，， ∵ ∴相似比为：， 故选：B． 12．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为 ． 【答案】 【分析】设，根据相似三角形的对应边成比例分别表示出，继而求解即可． 【解析】设， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够用同一个字母表示的长度是解题的关键． 13．如图，已知． (1)若平分，，求的度数； (2)若，求AC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识点，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）根据相似三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由即可解答； （2）根据相似三角形的性质可得，然后代入求值即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 14．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】首先画出图形，然后根据相似三角形的性质得到，得到，然后结合列方程求解即可． 【解析】如图所示， 设 ∵相似系数等于2 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 题型3：相似三角形的判定与性质—求含平行线的相似三角形问题 15．如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 16．如图，相交于点O，是的中位线．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【解析】解：∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：4． 17．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【解析】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 18．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【解析】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 题型4：相似三角形的判定与性质—面积（比）问题综合 19．如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据已知得是三角形的中位线，从而可得到，进一步得出，从而可出． 【解析】解：∵D，E分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 20．如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．3 【答案】A 【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质， 由平行四边形性质证明利用三角形相似判定与性质得出MN：AN=MD：AB=1：2，进一步得出进行求解即可. 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵M为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 21．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据得到，，再结合相似比是，因而面积的比是，问题得解． 【解析】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 22．如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． 过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到． 【解析】解：过作于，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23．如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【答案】 6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【解析】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 24．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【解析】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 25．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到，然后根据平行得到，进而得到计算是解题的关键． 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， 又∵为的重心，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5：相似三角形的实际应用 26．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 【答案】6.4m 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：， 故答案为：6.4m． 27．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 28．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【解析】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 题型6：网格问题 29．如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．    (1)在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到； (2)在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-相似变换，旋转变换等知识: （1）根据要求作出图形； （2）根据对应边的比为，构造相似三角形即可． 【解析】（1）解：如图，即为所作：    （2）解：如图，即为所作：    30．如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【解析】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 31．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【解析】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 题型7：根据相似求点的坐标 32．在直角坐标系中有两点，点C为的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，使得． 【答案】/ 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，根据题意，画出图形，利用相似三角形对应边对应成比例，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 当时：， 即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 33．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【解析】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 题型8：动点问题（分类讨论；求参数范围） 34．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【解析】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 35．如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长． 【解析】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： 若，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 若，则， 即， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 或， 故答案为：或． 36．如图，矩形中，，，点在边上，，过点作交于点，若线段上存在个不同的点，使得与相似，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式即可求解，利用分类讨论思想是解题的关键． 【解析】当时， 则 ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴存在一点时，， 当时，则， ∴， ∴， ∵要有两个点使， ∴， ∴， 当时，线段上存在个不同的点，使与相似， 当时，线段上存在个不同的点，使与相似， 当时，线段上存在个点，使与相似， ∴当且时，线段上存在个不同的点，使得与相似， 故答案为：且． 题型9：根据三角形相似求对应线段成比例 37．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【解析】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 38．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于． 求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根据相似三角形对应变成比例即可． 【解析】证明：∵AB∥DC， ∴△AOB∽△COE ∴ ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应边的比例相等是解决本题的关键． 39．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【解析】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 一、单选题 1．已知相似三角形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（　　） A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16 【答案】A 【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”进行求解． 【解析】解：∵这两个相似三角形的相似比为9：4， ∴这两个相似三角形的周长比为9：4． 故选：A． 【点晴】本题考查了相似三角形的性质．解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比． 2．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）那么下列等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形对应角相等，对应边成比例解答即可． 【解析】解：， 、正确，故本选项错误； B、正确，故本选项错误； C、不一定成立，故本选项正确； D、正确，故本选项错误． 故选：C． 3．如图，已知与相交于点A，，如果，那么等于（ ） A． B．1.5 C．14 D．6 【答案】D 【分析】证明 ，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 4．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中利用方格点求出的三边长，可确定为直角三角形，排除B，C选项，再由相似三角形的对应边成比例判断A、D选项即可得． 【解析】解：的三边长分别为：， ，， ∵， ∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除； A选项中三边长度分别为：2，4，， ∴， A选项符合题意， D选项中三边长度分别为：，，， ∴， 故选：A． 【点睛】题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键． 5．如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出，利用判断选项A、C，证明得出判断选项B，分别用表示出和，判断选项D，即可得出结论． 【解析】，， ， ， 且， ， ， ，故选项A、C正确； ，， ， ， ， ，故选项D错误； 平分， ， ， ， ，故选项B正确； 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比． 【解析】解：∵，如果与的相似比为2，与相似比为4， ，， 设，则，， ， ∴与的相似比为8． 故选：D． 7．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．根据题意得出，再逐个判断即可． 【解析】解：A、∵， ∴， ∴， ∴，故A不正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，则， 当时，，故C不正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 8．如图，在中，点D、E分别在边上，，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，，然后利用性质对各选项进行判断作答即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴，，， ∴，， A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求； 故选：B． 9．如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出． 【解析】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ． 故选：B． 10．如图，已知在矩形中，是的中点，，交于点，由上述条件得到以下两个结论：①；②．对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，则，证明得到，，进而推出，进一步推出，由，可得，故②正确；证明，可得，故①错误． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 故选B． 二、填空题 11．两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为，．则另一个三角形的最大内角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】根据相似三角形的性质得出，，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出即可． 【解析】解：    ，， ，， ，， ， 即的最大的内角度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等． 12．已知直角三角形，为斜边边上的高，，则和的相似比的值为 ． 【答案】 【分析】根据等高三角形的面积之比等于底边之比，得到，再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求出相似比． 【解析】解：直角三角形，为斜边边上的高，， ， ， 和的相似比的值为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了三角形面积，相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方． 13．如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴，即，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ． 【答案】 【分析】根据，可得，再由，即可求出． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛． 15．如图，在中，，，垂足为D，如果，，那么的值为 ．      【答案】/ 【分析】证明即可作答． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出，是解答本题的关键． 16．如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ．    【答案】2 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【解析】解：是重心， ， ， ， 故答案为：2．      【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 17．如图，在中，D是上一点，，边上的中线交于点F，如果，，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】过B作，延长，与之交于点G，得到，则有，进一步推出，再证明，可得，等量代换即可得到线段之比． 【解析】解：如图，过B作，延长，与之交于点G， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线，平行线的性质，解题的关键是通过相似得到线段的比，通过全等得到相等线段． 18．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据是的比例中项可求得，再过点D作的平行线构造平行四边形，可求得的长度，然后再利用即可求得的值． 【解析】如图，过点D作的平行线，交于点M、N． ∵ ∴四边形、四边形、四边形均为平行四边形． ∴， ∵是梯形的比例中项， ∴． ∴ 由得， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例中项、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是作的平行线构造平行四边形与相似三角形． 三、解答题 19．如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点． （1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可． （2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 20．如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的长． 【答案】(1)见解答； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明； （2）结合（1）证明，得，根据与的周长之比是，可得，进而可以求出的长． 【解析】（1）证明：平分， ， ， ∴； （2）解：由（1）知： ， ， ， ， 与的周长之比是， ， ， ， ． 21．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角， （1）利用平行线的性质求得，即可证明； （2）利用相似三角形的性质求得，进而由平角的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案. 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可解题． 【解析】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题知：，，， ， ， ，即， 解得：． 答：大雁塔的高度约为． 23．如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质，（1）根据平行线分线段成比例定理即可求出答案；（2）连接，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解析】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，    ∵， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ． 24．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，分两种情况：点在轴上方，点在轴下方，分别求解即可； （3）过点作轴于点，根据在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论：当∽时，当∽时，分别列式计算求出的值，即可求点的坐标． 【解析】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， ， ， 令，，则， ， ， 点的坐标是， ， ， 的面积； （2）设直线的解析式为， ，点的坐标是， ，解得， 直线的解析式为， ，分两种情况： 当点在轴上方时，如图，设与轴交于点， ，， 又， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，如图，设与轴交于点， 同理得，，直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）如图，过点作轴于点， ， ， ， 在直线上， 设， ， ， 当∽时， ， ， ， ， ， ； 当∽时， ， ， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形性质，待定系数法，求两直线的交点坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 25．已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）过D作交于H，证出四边形为等腰梯形，再证出，利用三角形的外角性质和等量代换即可得出答案； （2）先证出为正三角形，然后设，得出，证出，用相似比得出，利用得出，求出a值，即可得解； （3）先利用三角形边角关系得出，然后分类讨论①②两种情况，即可得解． 【解析】（1）过D作交于H， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ， ， 四边形为平四边形， ， ， 四边形为梯形， ， 四边形为等腰梯形， ，又E，F分别为中点， ，，   又， ， ， ， ∴， （2），， ∴， ∵， ∴为正三角形， ∴ 延长．交于M ，设， ∴， ∵E为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ， ，，， ， ∴， 又，， ， ∴， ， ， ∴（负值已舍）， ， ∴； （3）， ，   ， ， 仅两种分类， ①，延长交于，过D作于， 设  ， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵，， 即， ②，则， ∴四边形为正方形， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的性质（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握相似三角形的性质； 2、学会解决相似三角形性质的实际应用； 3、利用相似三角形的性质与其他几何知识解决问题。 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 【方法规律】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 如图24—43,已知△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC与△△A1B1C1的相似比为k,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线.那么 的值是否也等于k? 为什么? 由已知条件可知△ABD、A1B1D1, 有两个角对应相等，于是可推出结论是肯定的. 推导过程如下： ∵△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴ ∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1 (相似三角形的对应角相等). ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线， 即 ∴∠BAD=∠B1A1D1. 在△ABD 与A1B1D1中， ∴ △ABD∽△A1B1D1 (两角对应相等，两个三角形相似). 得 (相似三角形的对应边成比例), 即 用类似的方法可以得到，相似三角形的对应高的比、对应中线的比也等于相似比. 3.相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 【方法规律】相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【方法规律】测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【方法规律】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型1：直接利用相似三角形的性质求解 1．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 2．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 3．如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 4．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 5．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 6．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ． 7．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 8．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 题型2：已知两三角形相似，结合其他几何知识求解 9．已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 10．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 11．如图，方格中的，则相似比为（    ）． A． B． C． D． 12．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为 ． 13．如图，已知． (1)若平分，，求的度数； (2)若，求AC的长． 14．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 ． 题型3：相似三角形的判定与性质—求含平行线的相似三角形问题 15．如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 16．如图，相交于点O，是的中位线．若，则的长为 ． 17．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 18．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 题型4：相似三角形的判定与性质—面积（比）问题综合 19．如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 20．如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．3 21．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 22．如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 23．如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 24．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 25．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ． 题型5：相似三角形的实际应用 26．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 27．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米． 28．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    题型6：网格问题 29．如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．    (1)在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到； (2)在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为． 30．如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型7：根据相似求点的坐标 32．在直角坐标系中有两点，点C为的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，使得． 33．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 题型8：动点问题（分类讨论；求参数范围） 34．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 35．如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 36．如图，矩形中，，，点在边上，，过点作交于点，若线段上存在个不同的点，使得与相似，则的取值范围为 ． 题型9：根据三角形相似求对应线段成比例 37．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 38．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于． 求证：． 39．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 一、单选题 1．已知相似三角形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（　　） A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16 2．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）那么下列等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知与相交于点A，，如果，那么等于（ ） A． B．1.5 C．14 D．6 4．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D、E分别在边上，，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 10．如图，已知在矩形中，是的中点，，交于点，由上述条件得到以下两个结论：①；②．对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 二、填空题 11．两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为，．则另一个三角形的最大内角的度数是 ． 12．已知直角三角形，为斜边边上的高，，则和的相似比的值为 ． 13．如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长 ．    14．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ． 15．如图，在中，，，垂足为D，如果，，那么的值为 ．      16．如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ．    17．如图，在中，D是上一点，，边上的中线交于点F，如果，，那么的值为 ． 18．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ． 三、解答题 19．如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 20．如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的长． 21．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 22．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 23．如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 24．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 25．已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$