12.2 全等三角形的判定-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课后作业（人教版）

第12章全等三角形 B组提升能力 C组思维拓展 10.如图，已知AB=CD,AD=BC,OA=OC, 14.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边 BO=DO,直线EF过点O,则图中全等三 BD上，边AC交边BE于点F,若AC 角形最多有 () BD,AB=ED,BC=BE,求证：∠ACB A.2对B.3对 C.5对 D.6对 -2∠APB. 10题图 11题图 11.如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫 做格点，三个顶点都在格点上的三角形称 为格点三角形.图中△ABC是格点三角形， 请你找出方格中所有与△ABC全等，且以 A为顶点的格点三角形.这样的三角形共 有个（△ABC除外）. 12.如图，已知AB=AC,AD=AE,BD=CE. 求证：∠3=∠1+∠2. 15.有一块三角形的厚铁板如图，根据实际生 产需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在 他手中只有一把尺子和一根细绳，你能帮 他想个办法吗？请说明你的设计方案。 13.如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC, AE=CD=AB,顺次连接点D,E,F,得到 △DEF为等边三角形.求证：△AEF ≌△CDE. ·20· 尺」优课堂转动A+·八年级数学（上） 第3课时 12.2全等三角形的判定(2) A组夯实其础 一、利用SAS判定三角形全等 1.如图，已知O是线段AC和BD的中点，要说 明△ABO2△CDO,以下选项最合理的是 4题图 5题图 A.添加条件∠A=∠C 5.如图，在△ABC中，D为AC边上一点， B.添加条件AB=CD DE⊥BC于点E,且BE=CE.若AB+ C.不需要添加条件 AC=24,则△ABD的周长为 D.△ABO和△CDO不可能全等 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD, BD=CE,∠FDE=65°，则∠A= 1题图 2题图 2.如图，AC,BD相交于点O,若OA=OD,用 “SAS”说明△AOB2△DOC,还需添加条件 6题图 7题图 () 7.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别为 A.∠AOB=∠DOCB.OB=OC CD,AD的中点，那么线段BE与CF的关系 C.∠C=∠D D.AB=CD 为 3.如图，AB=DE,AB∥DE,BE=CF.求证： 8.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB △ABC≌△DEF. DE,AB∥DE,BE=CF. (1)求证：AC=DF: (2)若∠D=65°，求∠EGC的大小. 二、简单应用 4.如图，为了测量池塘两端点A,B间的距离， 小亮先在平地上取一个可以直接到达点A 和点B的点C,连接AC并延长到点D,使 CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE CB,连接DE.现测得DE=30米，则A,B两 点间的距离为米 ·21· 已」优课堂作勒A+·八年级数学（上） 第4课时 12.2全等三角形的判定(3) A组/夯实其础 二、利用AAS判定三角形全等 一、利用ASA判定三角形全等 4.在△ABC和△DEF中，已知∠C=∠D, 1.如图，AB∥CD,点C是BE的中点，直接应 ∠B=∠E,要判定这两个三角形全等，还需 用“ASA”定理证明△ABC2△DCE还需要 要条件 () 的条件是 A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F 5.如图，已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD 相交于点O,则能直接运用“AAS”判定全等 A.AB=CD B.∠ACB=∠E 的三角形是 () C.∠A=∠D D.AC=DE A.△AOD≌△AOB B.△AOD≌△COD 2.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC C.△ADC≌△DAB D.△AOB≌△DOC ≌△ABD. 3 5题图 6题图 6.如图，点D,E,F,B在同一直线上，AB∥CD, AE∥CF且AE=CF.若BD=10,BF=2, 则EF的长为 7.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别为D,E 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为对 (1)求证：△ACD≌△CBE: 角线BD上一点，∠A=∠BEC,且AD=BE. (1)求证：AD+DE=BC: (2)已知AD=5,DE=3,求BE的长. (2)若∠BDC=70°，求∠ADB的度数. 41 ·23· 第12章全等三角形 B组提升能力 C组思维拓展 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D 13.如图，△ABC是等腰直角三角形，E是AC 在边BC上，CD=2BD.点E,F在线段AD 边上的中点，连接BE并延长至点D,连接 上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为 AD,CD,且AD⊥CD.过点C作CF⊥BD, 15,则△ACF与△BDE的面积之和为 垂足为G,交AD于点F.试说明：CF+ DE=BE. 8题图 9题图 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥ AB于点E,AD,CE交于点H.已知EH EB=3,AE=4,则C日长为 10.如图，AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD, BF⊥AD,垂足分别为E,F,若CE=4, BF=3,EF=2,则AD的长为 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= F D BC,直线l经过顶点A,BD⊥l于点D, 10题图 11题图 11.如图，在△ABC中，过点A作∠BAC的角 CE⊥I于点E,试探究线段DA,DB与DE 平分线，交BC于点P,过点C作CM⊥AP 之间的数量关系 于点V,交AB于点M,连接PM,若 ∠CAB=30°，∠B=55°，则∠BPM= 12.如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC 边上，DE交AC于点F,若∠1=∠2 ∠3，AD=AB.求证：AC=AE. ·24· 尺」优课堂转动A+·八年级数学（上） 第5课时 12.2全等三角形的判定(4) A组/夯实其础 二、直角三角形全等的其他判定 一、利用HL判定直角三角形全等 5.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F 1.如图，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为C,D, 90°，添加下列条件仍不能判定Rt△ABC≌ 若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD,则你 Rt△DEF的是 () 添加的条件是 .(写一种即可) A.AC=DF,∠B=∠E B.∠A=∠D,∠B=∠E C.AB=DE,AC=DF D.AB=DE,∠A=∠D 6.如图，已知∠BAC=∠BDC=90°，AC与BD 1题图 2题图 交于点G,且AG=DG.求证：AB=DC 2.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B D =∠E=90°，AC=DF,AB=DE,∠A=50°， 、G 则∠DFE= 3.如图，已知∠A-∠D=90°，点E,F在线段 BC上，DE与AF交于点O,且AB=CD, BE=CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 7.如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中， AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,连 接CD,BE,CD分别交AE,BE于点M,F. 求证： (1)△DAC≌△EAB: (2)CD⊥BE. 4.在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,CF AE,BC=DA.求证：Rt△ABE≌Rt△CDF. ·25·AD＝１２,AE＝５, ∴AC＝AD＝１２, AE＝AF＝５, ∴DF＝１２－５＝７． ７．解:(１)∵△EFG≌△NMH, ∴FG的对应边是MH, ∠EGF的对应角是 ∠NHM; (２)∵△EFG≌△NMH, ∴MN＝EF＝２．１cm,HM＝FG＝３．３cm, ∵FH＝１．１cm, ∴HG＝３．３－１．１＝２．２(cm)． ８．解:(１)∵△ABC≌△DEB, ∴BE＝BC＝３, ∴AE＝AB－BE＝６－３＝３; (２)∵△ABC≌△DEB, ∴ ∠A＝ ∠D＝２５°,∠DBE＝ ∠C＝５５°, ∴ ∠AED＝ ∠DBE＋ ∠D＝５５°＋２５°＝８０°． ９．５或４　１０．２６　１１．６０° １２．解:(１)∵ ∠ABE＝１６２°,∠DBC＝３０°, ∴ ∠ABD＋ ∠CBE＝１３２°, ∵△ABC≌△DBE,∴ ∠ABC＝ ∠DBE, ∴ ∠ABD＝ ∠CBE＝１３２°÷２＝６６°, 即 ∠CBE的度数为６６°; (２)∵△ABC≌△DBE, ∴DE＝AC＝AD＋DC＝５,BE＝BC＝４, ∴△CDP 与△BEP 的周长之和 ＝DC＋DP＋PC＋ BP＋PE＋BE＝DC＋DE＋BC＋BE＝２．５＋５＋４＋４ ＝１５．５． １３．解:∵ ∠１＋ ∠２＋ ∠３＝１８０°, ∠１∶ ∠２∶ ∠３＝２８∶５∶３, ∴ ∠１＝１４０°,∠２＝２５°,∠３＝１５°, 由题意,得△ABE≌△ABC≌△ADC, ∴ ∠BAE＝ ∠１＝１４０°,∠E＝ ∠３＝ ∠ACD＝１５°, ∴ ∠EAC＝３６０°－１４０°－１４０°＝８０°, 而 ∠α ＋ ∠E ＝１８０°－ ∠DPE ＝１８０°－ ∠APC ＝ ∠PAC＋ ∠ACP, ∴ ∠α＝ ∠EAC＝８０°． １４．解:(１)∵△ABD≌△EBC, ∴BD＝BC＝３cm,BE＝AB＝２cm, ∴DE＝BD－BE＝１cm; (２)DB与AC 垂直,理由: ∵△ABD≌△EBC,∴ ∠ABD＝ ∠EBC, 又A,B,C在一条直线上, ∴ ∠EBC＝９０°,∴DB与AC 垂直; (３)直线AD 与直线CE 垂直,理由: 如解答图,延长CE,交AD 于点F, 解答图 ∵△ABD≌△EBC,∴ ∠D＝ ∠C, ∵Rt△ABD 中,∠A＋ ∠D＝９０°, ∴ ∠A＋ ∠C＝９０°,∴ ∠AFC＝９０°, 即CE⊥AD． 第２课时　１２􀆰２全等三角形的判定(１) １．C　２．C　３．B　４．C ５．解:成立．理由如下: 在△ABC和△DCB中, AB＝DC, AC＝DB, BC＝CB, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△DCB(SSS)． ６．D　７．C ８．证明:在△BAC和△EAD 中, AB＝AE, AC＝AD, BC＝ED, ì î í ïï ï ∴△BAC≌EAD(SSS), ∴ ∠BAC＝ ∠EAD, ∴ ∠BAC－ ∠DAC＝ ∠EAD－ ∠DAC, ∴ ∠BAD＝ ∠EAC． ９．解:连接OE,如解答图, 解答图 ∵OA＝OC,EA＝EC,OE为公共边, ∴△AOE≌△COE(SSS), ∴ ∠A＝ ∠C,∠AEO＝ ∠CEO, ∴点O在 ∠AEC的平分线上． １０．D　１１．５ １２．证明:在△ABD 和△ACE中, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２ AB＝AC, AD＝AE, BD＝CE, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△ACE, ∴ ∠BAD＝ ∠１,∠ABD＝ ∠２, ∵ ∠３＝ ∠BAD＋ ∠ABD, ∴ ∠３＝ ∠１＋ ∠２． １３．证明:∵BF＝AC,AB＝AE(已知), ∴FA＝EC(等量加等量和相等)． ∵△DEF是等边三角形(已知), ∴EF＝DE(等边三角形的性质), 又∵AE＝CD(已知), ∴△AEF≌△CDE(SSS)． １４．证明:在△ABC与△DEB中, AC＝BD, AB＝ED, BC＝BE, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△DEB(SSS), ∴ ∠ACB＝ ∠EBD, ∵ ∠AFB是△BFC的外角, ∴ ∠AFB＝ ∠ACB＋ ∠EBD, ∴ ∠AFB＝２∠ACB,即 ∠ACB＝１２ ∠AFB． １５．解:方法:用绳子的一定长度以A 为圆心画弧,分别交 AM,AN 于B,C 两点,再以 B,C 两点为圆心,大于 １ ２BC 的长为半径画弧,两弧交于点D,作射线AD,则 AD 平分 ∠MAN． 理由如下:如解答图,连接BD,CD, 解答图 ∵AB＝AC,BD＝CD,AD＝AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS), ∴ ∠BAD＝ ∠CAD, 即AD 为 ∠MAN 的平分线． 第３课时　１２􀆰２全等三角形的判定(２) １．C　２．B ３．证明:∵AB∥DE, ∴ ∠CBA＝ ∠FED, ∵BE＝CF, ∴BE＋EC＝CF＋EC, 即BC＝EF, 在△ABC和△DEF中, AB＝DE, ∠CBA＝ ∠FED, BC＝EF, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△DEF(SAS)． ４．３０　５．２４　６．５０° ７．BE＝CF且BE⊥CF ８．(１)证明:∵BC＝BE＋EC,EF＝CF＋EC,BE＝CF, ∴BC＝EF, 又∵AB∥DE, ∴ ∠B＝ ∠DEF, 在△ABC和△DEF中, AB＝DE, ∠B＝ ∠DEF, BC＝EF, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC＝DF; (２)解:∵△ABC≌△DEF,∴ ∠F＝ ∠ACB, ∴DF∥AC,∴ ∠D＝ ∠EGC, 又∵ ∠D＝６５°,∴ ∠EGC＝６５°． ９．１４８° １０．证明:(１)∵ ∠BAD＝ ∠CAE, ∴ ∠BAD＋ ∠BAE＝ ∠CAE＋ ∠BAE, 即 ∠DAE＝ ∠BAC, 在△ABC和△ADE中, AB＝AD, ∠BAC＝ ∠DAE, AC＝AE, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△ADE(SAS); (２)∵△ABC≌△ADE,∴ ∠B＝ ∠D, ∵ ∠BFE＝ ∠DFA,∴ ∠BEF＝ ∠BAD, ∴ ∠BEF＝ ∠CAE． １１．证明:如解答图,延长 AE 至点F,使 EF ＝AE,连 接DF, 解答图 ∵AE是△ABD 的中线,∴BE＝DE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２ 在△ABE和△FDE中, ∵AE＝ FE,∠AEB＝ ∠FED,BE＝DE, ∴△ABE≌△FDE(SAS), ∴AB＝FD,∠B＝ ∠EDF, 又∵ ∠ADF＝ ∠ADB＋ ∠EDF,∠ADC＝ ∠BAD ＋ ∠B,∠ADB＝ ∠BAD, ∴ ∠ADF＝ ∠ADC, ∵AB＝DF,AB＝CD,∴DF＝DC, 在△ADF和△ADC中, ∵AD＝AD,∠ADF＝ ∠ADC,DF＝DC, ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AF＝AC, 又∵AF＝２AE,AC＝２AE． １２．解:(１)BE＝AD,BE⊥AD,理由如下: ∵△ABC,△ECD 都是等腰直角三角形, ∴AC＝BC,EC＝DC,∠ACB＝ ∠ACD＝９０°, ∴△ACD≌△BCE, ∴BE＝AD,∠CBE＝ ∠CAD, ∵ ∠BEC＝ ∠AEP,∴ ∠APE＝ ∠ACB＝９０°, ∴BE⊥AD; (２)(１)中的结论仍然成立,BE＝AD,BE⊥AD, ∵ ∠ACB＝ ∠ECD, ∴ ∠ACB＋ ∠ACE＝ ∠ECD＋ ∠ACE, 即 ∠BCE＝ ∠ACD, ∵AC＝BC,EC＝CD,∴△ACD≌△BCE, ∴BE＝AD,∠CBE＝ ∠CAD, ∵ ∠AME＝ ∠BMC,∴ ∠APM＝ ∠ACB＝９０°, ∴BE⊥AD． 第４课时　１２􀆰２全等三角形的判定(３) １．B ２．证明:∵ ∠３＝ ∠４,∠１＝ ∠２, ∴ ∠３－ ∠１＝ ∠４－ ∠２, 即 ∠CAB＝ ∠DAB, 在△ABC和△ABD 中, ∠１＝ ∠２, AB＝AB, ∠CAB＝ ∠DAB, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△ABD(ASA)． ３．(１)证明:∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB＝ ∠CBE, 在△ADB和△EBC中, ∠A＝ ∠BEC, AD＝BE, ∠ADB＝ ∠EBC, ì î í ïï ï ∴△ADB≌△EBC (ASA), ∴BC＝BD, ∵BE＋DE＝DB,∴AD＋DE＝BC; (２)解:∵BC＝BD, ∴ ∠BDC＝ ∠BCD＝７０°, ∴ ∠DBC＝４０°,∴ ∠ADB＝４０°． ４．C　５．D　６．６ ７．(１)证明:∵ ∠ACB＝９０°,BE⊥CE, ∴ ∠ECB＋ ∠ACD＝９０°,∠ECB＋ ∠CBE＝９０°, ∴ ∠ACD＝ ∠CBE, ∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴ ∠ADC＝ ∠CEB＝９０°, 在△ACD 和△CBE中, ∠ADC＝ ∠CEB, ∠ACD＝ ∠CBE, AC＝BC, ì î í ïï ï ∴△ACD≌△CBE(AAS); (２)解:∵△ACD≌△CBE, ∴AD＝CE＝５,CD＝BE, ∴BE＝CD＝CE－DE＝５－３＝２． ８．５　９．１　１０．５　１１．４０° １２．解:∵ ∠BAC＝ ∠１＋ ∠DAC, ∠DAE＝ ∠２＋ ∠DAC, ∴ ∠BAC＝ ∠DAE, 又∵ ∠２＋ ∠AFE＋ ∠E＝１８０°, ∠３＋DFC＋ ∠C＝１８０°, ∠２＝ ∠３,∠AFE＝ ∠DFC, ∴ ∠E＝ ∠C, 在△ABC和△ADE中, ∠C＝ ∠E, ∠BAC＝ ∠DAE, AB＝AD, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△ADE(AAS),∴AC＝AE． １３．证明:过点A 作AH ⊥AD,交BD 于点H,如解答图, 则 ∠HAD＝９０°, 解答图 ∵AD⊥CD,∴AH∥CD,∴ ∠HAC＝ ∠ACD, ∵E是线段AC 的中点,∴AE＝CE, 又 ∠AEH＝ ∠CED, ∴△AEH≌△CED(ASA),∴EH＝ED, ∵CF⊥BD,∴ ∠EGC＝ ∠BAC＝９０°, ∴ ∠ECG＝ ∠ABE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４２ ∵ ∠BAC＝ ∠HAD＝９０°,∴ ∠BAH＝ ∠CAD, 又∵AB＝AC,∴△BAH≌△CAF(ASA), ∴BH＝CF,∴CF＋DE＝BH＋EH＝BE． １４．解:如图,在直线l上截取AF＝BD,连接CD,CF, ∵ ∠ACB＝９０°．BD⊥l, ∴ ∠CBD＋ ∠CAD＝１８０°, 又∵ ∠CAF＋ ∠CAD＝１８０°, ∴ ∠CBD＝ ∠CAF, 在△CBD 和△CAF中, CB＝CA, ∠CBD＝ ∠CAF, BD＝AF, ì î í ïï ï ∴△CBD≌△CAF(SAS), ∴CD＝CF,∠BDC＝ ∠AFC, ∵BD⊥l,CE⊥l,∴BD∥CE, ∴ ∠BDC＝ ∠DCE,∴ ∠DCE＝ ∠CFA, 在△DEC和△CEF中, ∠DEC＝CEF, ∠DCE＝ ∠CFE, CD＝FC, ì î í ïï ï ∴△DEC≌△CEF(AAS), ∴DE＝CE,CE＝FE,∴DE＝FE, ∴DA＋DB＝DA ＋AF＝DF＝DE＋FE＝２DE,即 DA＋DB＝２DE． 第５课时　１２􀆰２全等三角形的判定(４) １．AC＝BD　２．４０° ３．证明:∵BE＝CF, ∴BE＋EF＝CF＋EF,即BF＝CE, ∵ ∠A＝ ∠D＝９０°, 在 Rt△ABF和 Rt△DCE中, BF＝CE, AB＝CD,{ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． ４．解:在 Rt△ADC与 Rt△CBA 中, DA＝BC, AC＝CA,{ ∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL), ∴DC＝BA, 又∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, ∴ ∠AEB＝ ∠CFD＝９０°, 在 Rt△ABE与 Rt△CDF中, AE＝CF, AB＝CD,{ ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)． ５．B ６．证明:∵ ∠BAC＝ ∠BDC＝９０°,AG＝DG, ∠AGB＝ ∠DGC, ∴△ABG≌△DCG(ASA), ∴AB＝DC． ７．证明:(１)∵AB⊥AC,AD⊥AE, ∴ ∠BAC＝ ∠DAE＝９０°, ∴ ∠DAE＋ ∠CAE＝ ∠BAC＋ ∠CAE, ∴ ∠DAC＝ ∠EAB, 在△DAC和△EAB中, AD＝AE, ∠DAC＝ ∠EAB, AC＝AB, ì î í ïï ï ∴△DAC≌△EAB(SAS); (２)设AC,BE相交于点G, ∵△DAC≌△EAB,∴ ∠ACD＝ ∠ABE, ∵ ∠CGF＝ ∠AGB, ∴由三角形内角和定理,得 ∠CFB＝ ∠BAC＝９０°, ∴CD⊥BE． ８．５或１０　９．①②③ １０．证明:(１)∵ ∠BAC＝９０°,AB＝AC, ∴ ∠B＝ ∠C＝４５°, ∵AD 是BC 边上的中线, ∴AD＝１２BC＝BD , ∠DAF＝１２ ∠BAC＝４５°＝ ∠B , 在△BDE和△ADF中, BE＝AF, ∠B＝ ∠DAF, BD＝AD, ì î í ïï ï ∴△BDE≌△ADF(SAS),∴DE＝DF; (２)∵AB＝AC,AD 是BC 边上的中线, ∴AD⊥BC,即 ∠ADB＝９０°, 由(１)得△BDE≌△ADF, ∴ ∠BDE＝ ∠ADF, ∴ ∠EDF ＝ ∠ADE ＋ ∠ADF ＝ ∠ADE ＋ ∠BDE ＝ ∠ADB＝９０°,∴DE⊥DF． １１．解:(１)AE＝EF＋BF,理由如下: ∵ ∠ACE＋ ∠CAE＝９０°,∠ACE＋ ∠BCF＝９０°, ∴ ∠CAE＝ ∠BCF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５２ ∵AE⊥CD,BF⊥CD, ∴ ∠AEC＝ ∠BFC＝９０°, 在△ACE与△CBF中, ∠AEC＝ ∠BFC, ∠CAE＝ ∠BCF, AC＝BC, ì î í ïï ï ∴△ACE≌△CBF(AAS), ∴AE＝CF,CE＝BF, ∴AE＝EF＋BF; (２)作图如解答图,EF＝AE＋BF,理由如下: 解答图 ∵AE⊥CD,∴ ∠AEC＝９０°, ∴ ∠ACE＋ ∠CAE＝９０°, ∵ ∠ACE＋ ∠BCF＝９０°, ∴ ∠CAE＝ ∠BCF, ∵AE⊥CD,BF⊥CD, ∴ ∠AEC＝ ∠BFC＝９０°, 在△ACE与△CBF中, ∠AEC＝ ∠BFC, ∠CAE＝ ∠BCF, AC＝BC, ì î í ïï ï ∴△ACE≌△CBF(AAS), ∴AE＝CF,CE＝BF, ∴EF＝CF＋CE＝AE＋BF． 第６课时　专题一　三角形全等的判定与性质 １．C　２．C　３．C　４．９０°　５．２　６．１０ ７．解:猜想:AE＝CG,理由如下: ∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形, ∴CD＝AD,∠ADC＝ ∠GDE ＝９０°,GD＝ED, ∴ ∠CDG＝ ∠ADE, 在△CDG与△ADE中, CD＝AD, ∠CDG＝ ∠ADE, DG＝DE, ì î í ïï ï ∴△CDG≌△ADE(SAS), ∴AE＝CG． ８．(１)证明:在△ABC和△DFE中, AB＝DF, ∠A＝ ∠D, AC＝DE, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△DFE(SAS), ∴ ∠ACE＝ ∠DEF,∴AC∥DE; (２)解:∵△ABC≌△DFE,∴BC＝EF, ∴CB－EC＝EF－EC,∴EB＝CF, ∵BF＝１３,EC＝５, ∴EB＝１３－５２ ＝４ , ∴CB＝４＋５＝９． ９．９２°　１０．①③④ １１．证明:延长AE,BC,交于点F,如解答图． 解答图 ∵AD∥BC,∴ ∠ADC＝ ∠ECF, ∵E是CD 的中点,∴DE＝EC, 在△ADE与△FCE中, ∠ADC＝ ∠ECF, DE＝EC, ∠AED＝ ∠CEF, ì î í ïï ï ∴△ADE≌△FCE(ASA), ∴AE＝EF,AD＝CF, ∵BE⊥AF,∴ ∠AEB＝ ∠FEB＝９０°, 在△AEB与△FEB中, AE＝FE, ∠AEB＝FEB, BE＝BE, ì î í ïï ï ∴△AEB≌△FEB(SAS), ∴AB＝BF＝BC＋CF, ∵AD＝CF,∴AB＝BC＋AD． １２．解:(１)∵△ABC的角平分线AD,BE相交于点G, ∴ ∠GAB＋ ∠GBA＝１２ (∠CAB＋ ∠CBA)＝４５°, ∴ ∠DGB＝ ∠GAB＋ ∠ABG＝４５°; (２)∵ ∠ACB＝９０°,∴ ∠FCH＝９０°, 由(１)知 ∠DGB＝４５°,∴ ∠AGB＝１３５°, 又∵GF⊥AD,∴ ∠FGB＝９０°＋４５°＝１３５°, ∴ ∠AGB＝ ∠FGB, 在△ABG和△FBG中, ∠ABG＝ ∠FBG, BG＝BG, ∠AGB＝ ∠FGB, ì î í ïï ï ∴△ABG≌△FBG(ASA), ∴GA＝GF,∠BFG＝ ∠BAG＝ ∠CAD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２