第07讲 不等式的基本性质（六大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第07讲 不等式的基本性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2、初步学会作差法比较两个实数的大小. 3、掌握不等式的基本性质. 4、运用不等式的性质解决有关问题. 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 考点一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【典例1-2】（2024·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（   ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 【变式1-2】（2024·高一课时练习）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元 （    ）. A． B． C． D． 考点二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【典例2-2】（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【变式2-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 考点三：利用不等式的性质判断命题真假 【典例3-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则； ③若，则 ；④若，则；⑤若，，则． 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 考点四：利用不等式的性质证明不等式 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【变式4-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，求证：. 【变式4-3】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 考点五：利用不等式的性质比较大小 【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【典例5-2】（2024·高一·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【变式5-1】（2024·高一·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 【变式5-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）． 【变式5-3】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则按从小到大的顺序排列是 . 考点六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 1．（2024·高一·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·甘肃天水·开学考试）下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 5．（多选题）（2024·高一·广东深圳·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知，，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．5 7．（2024·高三·江苏南通·开学考试）写出满足且的一组数对 . 8．（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 9．（2024·高一·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 10．（2024·高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 11．（2024·高一·全国·期末）已知，，则的取值范围是 . 12．（2024·高一·辽宁葫芦岛·期中）已知，则的取值范围是 . 13．（2024·高一·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明． 14．（2024·高一·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 15．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 不等式的基本性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2、初步学会作差法比较两个实数的大小. 3、掌握不等式的基本性质. 4、运用不等式的性质解决有关问题. 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 考点一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 【典例1-2】（2024·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（   ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 【答案】A 【解析】长、宽、高之和不超过Mcm， . 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一课时练习）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元 （    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意：生活费a不低于300元，即. 故选：B 考点二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【解析】由， 因为，，可得， 所以. 【典例2-2】（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【解析】（1）， . （2）， ， ， 则， . 【变式2-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【解析】（1）， 故； （2）， 因为，，故，， 当时，，即； 当时，，即； 考点三：利用不等式的性质判断命题真假 【典例3-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 【变式3-1】（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误， 故选：C. 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则； ③若，则 ；④若，则；⑤若，，则． 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题①，若，当时，，当时，，故①错误； 命题②，若，当时，，当时，，，故②错误； 命题③，若，则，，故，故③正确； 命题④，若，当，或时，，当时，，故④错误； 命题⑤，若，当时，，当时，和大小不确定，当时，，故⑤错误； 故选：A 考点四：利用不等式的性质证明不等式 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【解析】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【解析】以（2）（3）作为条件，可得（1）成立， 因为，对，两边同除得； 以（1）（2）作为条件，可得（3）成立， ，则，因为，则，则； 以（1）（3）作为条件，可得（2）成立， 因为，，两边同乘则得到 . 【变式4-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【解析】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，求证：. 【解析】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 【变式4-3】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【解析】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 考点五：利用不等式的性质比较大小 【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【解析】由，则， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高一·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 【答案】，，(答案不唯一) 【解析】当时，，， 此时满足，但是. 故答案为：(答案不唯一). 【变式5-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）． 【答案】 【解析】要比较与的大小关系，即比较与的大小关系， ， 即， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则按从小到大的顺序排列是 . 【答案】 【解析】由， 得，且， 所以. 故答案为： 考点六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：,故A错误. 对于B：,故B正确. 对于C：,故C错误. 对于D;,故D正确. 故选：BD. 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 1．（2024·高一·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，令，满足，但是，故B错误； 对于C，令，满足，但是，故C错误； 对于D，可能是负数，此时无意义，故D错误； 故选：A. 2．（2024·高一·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，故A错误； 若，故B错误； 若，故C错误； 显然，故D正确. 故选：D 3．（2024·高一·甘肃天水·开学考试）下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对A：若，当时，，故A错误； 对B：若，，设，，，， 则，故B错误； 对C：若，当时，，故C错误； 对D：若，则得，故D正确. 故选：D. 4．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】CD 【解析】对选项A：取，满足，，错误； 对选项B：取，满足且，，错误； 对选项C：，故，故，正确； 对选项D：，故，， ，故，正确； 故选：CD 5．（多选题）（2024·高一·广东深圳·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【解析】对于A，由可得，即或，故A不正确； 对于B，因为，，所以，，故B正确； 对于C，因为，所以，因为，所以，故C正确； 对于D，，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 6．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知，，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】BC 【解析】依题意，由，得， 由，，得，， 所以，即的值可能是，不可能是，BC正确，AD错误. 故选：BC 7．（2024·高三·江苏南通·开学考试）写出满足且的一组数对 . 【答案】（答案不唯一，，即可） 【解析】根据且可得，. 故答案为：（答案不唯一，，即可）. 8．（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【答案】 【解析】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是. 故答案为： 9．（2024·高一·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 10．（2024·高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 11．（2024·高一·全国·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 则， 所以，解得， 于是. 又，， 所以，即. 故答案为：. 12．（2024·高一·辽宁葫芦岛·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以. 因为，所以，则. 故答案为： 13．（2024·高一·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明． 【解析】当时；当时，证明如下： ， 当时，，，故； 当时，，，故； 14．（2024·高一·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【解析】（1）由， 所以. （2）由， 所以． 15．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【解析】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故， 所以， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$