串讲09 统计初步（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲09 统计初步 知识结构 要点梳理 知识点一 抽样调查 从调查的对象中，按照一定的方法抽取其中一部分对象进行调查、研究、分析和观测，获取数据，对调查对象的某项指标做出推测，这就是抽样调查． 对总体、个体、样本、样本容量的认识 总体：统计中所考察对象的__全体__叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体． 样本：从总体中抽取的__一部分__个体叫做样本． 样本容量：样本的__个体的数目__叫做样本容量． 知识点二 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中__逐个不放回__地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都__相等__，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 知识点三 抽签法 定义:一般地，抽签法就是把总体中的N个个体__编号__，把号码写在__号签__上，将号签放在一个容器中，搅拌__均匀__后，每次从中抽取__一个__号签，连续抽取n次，就得到一个容量为__n__的样本． 步骤: ①编号：将总体中的个体编号为1～N． ②做签：将所有编号1～N写在形状、大小相同的号签上． ③抽签：将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次． ④取样：从部体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出. 知识点四 系统抽样 1、系统抽样的概念 将总体分成__均衡__的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样． 2、系统抽样的步骤 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： (1)先将总体的N个个体__编号__，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； (2)__确定分段间隔k__，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝__　； (3)在第1段用__简单随机抽样__确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l__加上间隔k__得到第2个个体编号__t＋k__，再__加k__得到第3个个体编号__l＋2k__，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．当总体中元素个数较少时，常采用__简单随机抽样__；当总体中元素个数较多时，常采用__系统抽样__． 知识点五 分层抽样 1、分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成__互不交叉__的层，然后按照一定的__比例__，从各层__独立__地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体__合在一起__作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样． 2、分层抽样步骤 (1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)． (2)计算抽样比：抽样比k＝__　． (3)定数：按抽样比确定每层抽取的个体数． (4)抽样：各层分别按__简单随机抽样__或__系统抽样__的方法抽取样本． (5)成样：综合各层抽样，组成样本． 知识点六 作频率分布直方图的步骤 (1)求极差：即一组数据中__最大值__和__最小值__的差． (2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组． (3)将数据分组：按组距将数据__分组__，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (4)__列频率分布表__．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1． (5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示__频率/组距__．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积． 即每个小长方形的面积＝组距×＝频率． 知识点六 作频率分布直方图的步骤 (1)求极差：即一组数据中__最大值__和__最小值__的差． (2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组． (3)将数据分组：按组距将数据__分组__，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (4)__列频率分布表__．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1． (5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示__频率/组距__．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积． 即每个小长方形的面积＝组距×＝频率． 知识点七 样本均值（平均数） 定义：一组数据的和与这组数的个数的商．数据x1，x2，…，xn的样本均值为n＝____. 知识点八 样本方差和标准差 1、样本方差：s2＝__[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] __ 2、样本标准差：s＝ 样本方差和标准差的特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小. 题型探究： 考点一 简单随机抽样 例1．关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 例2．判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； (2)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； (3)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； (4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况； (5)从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）． 【变式】1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 2. 在用抽签法抽样时，有下列五个步骤： （1）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次； （2）将总体中的所有个体编号； （3）制作号签； （4）将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本； （5）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀． 以上步骤的次序是 ． 考点二 系统抽样 例3. 下列抽样中不是系统抽样的是 (　 　) A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0＋5，i0＋10的球也抽出 B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验 C．搞某项市场调查，规定在商店门中随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止 D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈 例4．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（    ） A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，40，52 C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30 【变式】1．从编号为的300个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个是003，018，则样本中最大的编号应该是（    ） A．287 B．288 C．289 D．300 2. 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程. 考点三 分层抽样 例5．为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 例6．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【变式】1．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 2．某单位有职工人，其中业务人员人，管理人员人，后勤服务人员人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为 考点四 作频率分布直方图的步骤 例7．下面是一次考试几个班同学的数学成绩（单位:分，满分为150分）: 121，111，128，98，118，124，137，125，121，140， 129，122，101，103，134，126，129，132，99，132， 141，125，122，120，139，106，142，119，134，119， 122，126，114，141，132，125，111，145，110，123， 118，127，129，141，103，117，116，131，134，143， 113，142，125，136，119，110，107，124，137，100， 115，144，96，138，120，121，140，115，123，142， 119，133，120，146，119，144，119，122，119，136， 137，132，112，133，134，117，127，133，126，127， 141，119，131，131，123，128，133，126，129，134， 127，133，121，135，107，132，121，137，118，117， 107，133，131，131，125，126，140，127，114，136， 118，138，127，143，81，140，135，137，142，136， 139，124，138，119，122，136，141，119，118，114. (1)你觉得怎样直观地表示出上述数据的大致分布情况（比如哪个分数段的人数比较多，哪个分数段的人数比较少）? (2)画出频率分布直方图，看这次考试的整体分布，能说明哪些问题? 例8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 【变式】1. 生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表： 分组 频数 频率 4 25 30 29 10 2 合计 100 （1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）估计纤度落在内的可能性及纤度小于的可能性各是多少？ 2．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（    ） A．0.0046，72 B．0.0046，70 C．0.0042，72 D．0.0042，70 考点五　平均数的应用 例9. ．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值是（    ） A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56 【变式】．惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 考点六 标准差、方差的应用 例10. ．以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．则 （用“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳． 【变式】甲､乙､丙､丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2 方差 3.5 3.5 2.1 5.6 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 . 素养作业 1 ．在以下调查中，适合用普查的是（    ） A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B．调查一批袋装牛奶的质量 C．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 D．调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间 2．某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 3．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层随机抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层随机抽样 D．分层随机抽样，分层随机抽样 4．对总数为200的一批零件，抽一个容量为的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则为（ ） A．50 B．100 C．25 D．120 5．某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表： 天/第 1 2 3 4 5 6 7 件数 285 367 463 290 335 719 698 已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（    ） A．8808 B．9696 C．10824 D．11856 6．某工厂要对生产流水线上的600个零件（编号为001，002，…，599，600）进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则编号在内的零件将被抽检的个数为 ． 7．某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则 . 【 8．某社区有600个家庭，其中高收入家庭230户，中等收入家庭290户，低收入家庭80户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取容量为60户的样本，完成这项调查应采用的抽样方法是 9．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2m到12m之间，把获得的所有数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，如果有4名学生的成绩在10m到12m之间，则参加“掷实心球”项目测试的人数为 ．    10．从某校随机抽取100名学生进行参加社区服务的次数调查，发现他们的次数都在10~30次之间，进行适当的分组后，绘制如图所示的频率分布直方图，则直方图中a的值为 . 11．已知一组数据1，2，4，5，m的平均数为4，则这组数据的方差为 . 12．高三年级有500名学生，为了了解数学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： 分组 频数 频率 ① ② 0.050 0.200 12 0.300 0.275 0.050 合计 ④ （1）根据上面图表，①②④处的数值分别为______，______，______； （2）在所给的坐标系中画出的频率分布直方图； （3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在中的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲09 统计初步 知识结构 要点梳理 知识点一 抽样调查 从调查的对象中，按照一定的方法抽取其中一部分对象进行调查、研究、分析和观测，获取数据，对调查对象的某项指标做出推测，这就是抽样调查． 对总体、个体、样本、样本容量的认识 总体：统计中所考察对象的__全体__叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体． 样本：从总体中抽取的__一部分__个体叫做样本． 样本容量：样本的__个体的数目__叫做样本容量． 知识点二 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中__逐个不放回__地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都__相等__，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 知识点三 抽签法 定义:一般地，抽签法就是把总体中的N个个体__编号__，把号码写在__号签__上，将号签放在一个容器中，搅拌__均匀__后，每次从中抽取__一个__号签，连续抽取n次，就得到一个容量为__n__的样本． 步骤: ①编号：将总体中的个体编号为1～N． ②做签：将所有编号1～N写在形状、大小相同的号签上． ③抽签：将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次． ④取样：从部体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出. 知识点四 系统抽样 1、系统抽样的概念 将总体分成__均衡__的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样． 2、系统抽样的步骤 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： (1)先将总体的N个个体__编号__，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； (2)__确定分段间隔k__，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝__　； (3)在第1段用__简单随机抽样__确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l__加上间隔k__得到第2个个体编号__t＋k__，再__加k__得到第3个个体编号__l＋2k__，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．当总体中元素个数较少时，常采用__简单随机抽样__；当总体中元素个数较多时，常采用__系统抽样__． 知识点五 分层抽样 1、分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成__互不交叉__的层，然后按照一定的__比例__，从各层__独立__地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体__合在一起__作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样． 2、分层抽样步骤 (1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)． (2)计算抽样比：抽样比k＝__　． (3)定数：按抽样比确定每层抽取的个体数． (4)抽样：各层分别按__简单随机抽样__或__系统抽样__的方法抽取样本． (5)成样：综合各层抽样，组成样本． 知识点六 作频率分布直方图的步骤 (1)求极差：即一组数据中__最大值__和__最小值__的差． (2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组． (3)将数据分组：按组距将数据__分组__，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (4)__列频率分布表__．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1． (5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示__频率/组距__．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积． 即每个小长方形的面积＝组距×＝频率． 知识点六 作频率分布直方图的步骤 (1)求极差：即一组数据中__最大值__和__最小值__的差． (2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组． (3)将数据分组：按组距将数据__分组__，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (4)__列频率分布表__．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1． (5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示__频率/组距__．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积． 即每个小长方形的面积＝组距×＝频率． 知识点七 样本均值（平均数） 定义：一组数据的和与这组数的个数的商．数据x1，x2，…，xn的样本均值为n＝____. 知识点八 样本方差和标准差 1、样本方差：s2＝__[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] __ 2、样本标准差：s＝ 样本方差和标准差的特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小. 题型探究： 考点一 简单随机抽样 例1．关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案. 【详解】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 例2．判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； (2)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； (3)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； (4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况； (5)从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据简单随机抽样的特征逐个分析即可. 【详解】（1）不是，该抽样是放回抽样； （2）不是，因为题中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取； （3）不是，因为题中“指定个子最高的5名同学”不存在随机性，不是等可能抽样； （4）不是，因为题中“在上游”不具有代表性也没有随机性和等可能性； （5）是简单随机抽样，符合简单随机抽样特征. 【归纳提升】　(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径； (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程． 【变式】1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 【答案】B 【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可. 【详解】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意； 选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小， 且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意； 选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大， 不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意； 选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意. 故选：B 2. 在用抽签法抽样时，有下列五个步骤： （1）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次； （2）将总体中的所有个体编号； （3）制作号签； （4）将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本； （5）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀． 以上步骤的次序是 ． 【答案】（2）（3）（5）（1）（4） 【分析】按照抽签法的步骤判断，即编号，做号签，放入容器，进行抽取，构成样本. 【详解】利用抽签法第一步要进行编号，然后做号签，放入容器，接下来按照逐个不放回地抽取号签，最后将与编号一致的个体取出构成样本，故这些步骤的先后顺序为（2）（3）（5）（1）（4）. 故答案为：（2）（3）（5）（1）（4）. 考点二 系统抽样 例3. 下列抽样中不是系统抽样的是 (　C　) A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0＋5，i0＋10的球也抽出 B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验 C．搞某项市场调查，规定在商店门中随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止 D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈 【解析】　本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体数量，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样． 例4．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（    ） A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，40，52 C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30 【答案】A 【分析】求得组距，由此确定正确选项. 【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合. 故选：A 【变式】1．从编号为的300个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个是003，018，则样本中最大的编号应该是（    ） A．287 B．288 C．289 D．300 【答案】B 【分析】根据系统抽样的性质求出分段间隔，进而求出样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可. 【详解】样本间隔为18-3=15, 即抽取样本数为， 则最大的样本编号为. 故选：B. 2. 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程. 【分析】　由于总体容量恰被样本容量整除，所以分段间隔k＝＝100，按系统抽样方法的四个步骤抽取样本． 【解析】　(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000． (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体． (3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56． (4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个容量为150的样本． 考点三 分层抽样 例5．为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案. 【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为. 故选：A. 例6．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】C 【分析】设种型号的产品有件，利用分层抽样性质列方程可求. 【详解】设种型号的产品有件， 因为三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 所以种型号的产品有件，种型号的产品有件， 由已知可得， 所以， 故选：C. 【变式】1．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 【答案】1800 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 2．某单位有职工人，其中业务人员人，管理人员人，后勤服务人员人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为 【答案】 【分析】根据分层抽样原则直接求解即可. 【详解】抽到管理人员的人数为. 故答案为：. 考点四 作频率分布直方图的步骤 例7．下面是一次考试几个班同学的数学成绩（单位:分，满分为150分）: 121，111，128，98，118，124，137，125，121，140， 129，122，101，103，134，126，129，132，99，132， 141，125，122，120，139，106，142，119，134，119， 122，126，114，141，132，125，111，145，110，123， 118，127，129，141，103，117，116，131，134，143， 113，142，125，136，119，110，107，124，137，100， 115，144，96，138，120，121，140，115，123，142， 119，133，120，146，119，144，119，122，119，136， 137，132，112，133，134，117，127，133，126，127， 141，119，131，131，123，128，133，126，129，134， 127，133，121，135，107，132，121，137，118，117， 107，133，131，131，125，126，140，127，114，136， 118，138，127，143，81，140，135，137，142，136， 139，124，138，119，122，136，141，119，118，114. (1)你觉得怎样直观地表示出上述数据的大致分布情况（比如哪个分数段的人数比较多，哪个分数段的人数比较少）? (2)画出频率分布直方图，看这次考试的整体分布，能说明哪些问题? 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）数据比较多的时候，常借助频率分布表或频率分布直方图进行表示. （2）利用频率分布表和频率分布直方图的特征即可得出结论. 【详解】（1）数据比较多的时候，要想获得数据的大致分布情况， 最好借助我们学过的图表，比如频率分布表、频率分布直方图. （2）列频率分布表如下： 成绩分组（分） 频数 频率 合计 画频率分布直方图，如图所示：    通过频率分布直方图我们可以看到， 大部分同学的成绩集中在分数段内， 说明本次考试成绩难度不大，而个别同学成绩较低， 可能学习上遇到了困难，应该引起关注. 例8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【分析】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数，进而即得. 【详解】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数为， 所以课外阅读时间在内的学生的频率为. 故选：C. 【变式】1. 生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表： 分组 频数 频率 4 25 30 29 10 2 合计 100 （1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）估计纤度落在内的可能性及纤度小于的可能性各是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2），. 【分析】（1）根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分步直方图； （2）由频率分布表可得纤度落在中的可能性，并可计算纤度小于的可能性． 【详解】频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 25 30 29 10 合计 频率分布直方图如图所示. (2)利用样本估计总体，则纤度落在的可能性即为纤度落在的频率，即为. 纤度小于的可能性即为纤度小于的频率，即为. 2．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（    ） A．0.0046，72 B．0.0046，70 C．0.0042，72 D．0.0042，70 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图的面积和为1，计算得x；再根据用电量落在区间内的频率计算用电量落在区间内的户数. 【详解】根据频率分布直方图的面积和为1，得，解得， 月用电量落在区间内的频率为，所以在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数为户. 故选：A. 考点五　平均数的应用 例9. ．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值是（    ） A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56 【答案】A 【分析】根据平均数计算公式即可得到答案. 【详解】根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是： 故选：A. 【变式】．惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平均数，中位数，众数计算出来即可得. 【详解】平均数， 中位数， 众数， 故. 故选：D. 考点六 标准差、方差的应用 例10. ．以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．则 （用“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳． 【答案】乙 【分析】计算出方差即可判断. 【详解】， ， ， 因为，所以乙的成绩更加稳定． 故答案为：乙. 【变式】甲､乙､丙､丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2 方差 3.5 3.5 2.1 5.6 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 . 【答案】丙 【分析】根据平均数与方差的意义，得出丙的射击水平最高且成绩最稳定，是最佳人选． 【详解】由题意可知，在甲、乙、丙、丁四人的平均环数中，乙和丙均为8.9环，是四人中最大， 又甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小， 所以丙的射击水平最高且成绩最稳定， 所以从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙． 故答案为：丙． 素养作业 1 ．在以下调查中，适合用普查的是（    ） A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B．调查一批袋装牛奶的质量 C．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 D．调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间 【答案】D 【分析】根据普查的适用前提，结合各项描述确定适用普查的对象. 【详解】普查适用总体数量较少以及破坏性不大的情况，显然A、B、C的调查对象不适用， 对于D，一个班级的学生人数相对较少，适用普查方式. 故选：D. 2．某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 【答案】B 【分析】根据统计中总体、样本、样本容量、个体的定义逐项判断即可. 【详解】对A，总体指的是5000名参加今年大联考的学生的成绩，所以A错误； 对B，样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以B正确； 对C，样本量是250，所以C错误； 对D，个体指的是5000名学生中的每一名学生的成绩，所以D错误． 故选：B. 3．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层随机抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层随机抽样 D．分层随机抽样，分层随机抽样 【答案】A 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点进行解答. 【详解】①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A 4．对总数为200的一批零件，抽一个容量为的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则为（ ） A．50 B．100 C．25 D．120 【答案】A 【分析】利用简单随机抽样的性质直接计算即可. 【详解】因为每个零件被抽到的可能性相等， 所以由解得， 故选：A 5．某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表： 天/第 1 2 3 4 5 6 7 件数 285 367 463 290 335 719 698 已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（    ） A．8808 B．9696 C．10824 D．11856 【答案】C 【分析】求出样本平均数，由此估计30天代收快递件数，并估算出服务费即可. 【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为： （件）， ∴每月（按30天计算）代收快递约为件， ∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为元. 故选：C. 6．．某工厂要对生产流水线上的600个零件（编号为001，002，…，599，600）进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则编号在内的零件将被抽检的个数为 ． 【答案】4 【分析】利用系统抽样的抽样方法得到不等式组，再求出编号在内的零件将被抽检的个数. 【详解】因为，所以被抽检的零件的最小编号为003． 由，得， 则，22，23，24， 故编号在内的零件将被抽检的个数为4． 故答案为：4 7．某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则 . 【答案】60 【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可. 【详解】由分层随机抽样的定义可得， 解得. 故答案为：60 8．某社区有600个家庭，其中高收入家庭230户，中等收入家庭290户，低收入家庭80户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取容量为60户的样本，完成这项调查应采用的抽样方法是 【答案】分层抽样 【分析】根据样本个体差异明显结合分层抽样的定义即可求解. 【详解】因为社区有600个家庭，其中高收入家庭230户，中等收入家庭290户，低收入家庭80户， 高收入家庭、中等收入家庭、低收入家庭社会购买力的某项指标差异明显， 所以应选择分层抽样， 故答案为：分层抽样. 9．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2m到12m之间，把获得的所有数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，如果有4名学生的成绩在10m到12m之间，则参加“掷实心球”项目测试的人数为 ．    【答案】 / 【分析】根据频率分布直方图的性质可求出，根据样本容量频数频率可求出结果. 【详解】由，得. 学生的成绩在10m到12m之间的频率为，频数为， 所以参加“掷实心球”项目测试的人数为（人）. 故答案为：；. 10．从某校随机抽取100名学生进行参加社区服务的次数调查，发现他们的次数都在10~30次之间，进行适当的分组后，绘制如图所示的频率分布直方图，则直方图中a的值为 . 【答案】/ 【分析】根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，列式计算作答. 【详解】由频率分布直方图知，，解得， 所以直方图中a的值为. 故答案为： 11．已知一组数据1，2，4，5，m的平均数为4，则这组数据的方差为 . 【答案】6 【分析】根据平均数与方差的概念，进行计算即可． 【详解】数据的平均数是4， ∴，解得； ∴这组数据的方差为． 故答案为：． 12．高三年级有500名学生，为了了解数学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： 分组 频数 频率 ① ② 0.050 0.200 12 0.300 0.275 0.050 合计 ④ （1）根据上面图表，①②④处的数值分别为______，______，______； （2）在所给的坐标系中画出的频率分布直方图； （3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在中的概率. 【答案】（1）①1    ②0.025    ④1.000；（2）见解析；（3），. 【分析】（1）先分析频率分布表中的数据，再填表即可； （2）由频率分布表作频率分布直方图即可； （3）结合频率分布直方图求平均数及概率即可. 【详解】解：（1）由频率分布表可得所有组概率之和为1，则④填1.000； 由频率分布直方图得②填， 由的频率为0.300，频数为12，的频率为0.025，则频数为1， 即①填1， 即①②④处的数值分别为1，0.025，1； （2）由频率分布表可得频率分布直方图如图. （3）利用组中值算得平均数为： ； 故总体落在上的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$