2024年湖南省普通高等学校对口招生考试数学试卷

湖南省2024年普通高等学校对口招生考试 数 学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则 A． B．{4,6} C．{1,4,6} D．{1,3,4,5,6} 2．已知数列的通项公式为，若，则 A．15 B．17 C．20 D．34 3．函数的图像 A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 4．从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有 A．14种 B．21种 C．42种 D．49种 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是 A．平行于同一个平面的两条直线必平行 B．平行于同一个平面的两个平面必平行 C．过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D．过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 7．“”是“”的 A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数取最大值时，的值可以为 A． B． C． D． 9．光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是 A．(3,5) B．(4,2) C．(4,4) D．(5,3) 10．已知函数在上单调递增，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某学校为了解一年级120名男生和80名女生的身高情况，计划用分层抽样的方法抽取20名学生进行测量，则抽取的男生人数为_________． 12．已知向量，，且，则实数_________． 13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 14．已知函数，若，且，则_________ 15．已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．(本小题满分10分) 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 (1)根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； (2)从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 18．(本小题满分10分) 如图，在正四棱柱-中，． (1)证明：； (2)若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． (第18题图) 19．(本小题满分10分) 已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图，已知中，，，． (1)求； (2)若为线段上的一点，且，求的长． (第21题图) A B C D 22．(本小题满分10分) 某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 参考答案 一、选择题 1．，选A； 2．，则，选B； 3．函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称，选A； 4．选后再排，，选C； 5．，，，所以选D； 6．平行于同一个平面的两条直线位置关系有平行、相交、异面；过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行；过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行．所以选B； 7．，后推前必要，选B； 8．，函数取最大值时，有，所以选C； 9．入射线斜率，则反射线斜率为，因为，所以选D； 10．应用单调性及偶函数图像的对称性画草图，由图可知，即，所以选A． 二、填空题 11．．答案：12 12．，，由得：，所以．答案： 13．，则．答案： 14．由得，，又，所以，即，则．答案： 15．圆心到直线的距离为，点到直线的距离的最大值为．答案： 三、解答题 16．解(1)由，得为等差数列，且， 所以，即； (2)，，得等比，且， 所以． 17．解(1)， ， ， ，所以甲生产的零件质量更好； (2)的取值有0，1，2 ，，， 所以的概率分布为 0 1 2 . . . 18．证(1)连接BD， 因为平面，平面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，； (2)由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 19．解(1)时，不等式化为：| 或 解得或 所以不等式解为； (2)当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 20．解(1)由，得，，的方程为； (2)由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 21．解(1)，所以； (2)在中，，所以． 22．分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ，且 讨论可得最优解为，所以(元) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 一、选择题 1．，选A； 2．，则，选B； 3．函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称，选A； 4．选后再排，，选C； 5．，，，所以选D； 6．平行于同一个平面的两条直线位置关系有平行、相交、异面；过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行；过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行．所以选B； 7．，后推前必要，选B； 8．，函数取最大值时，有，所以选C； 9．入射线斜率，则反射线斜率为，因为，所以选D； 10．应用单调性及偶函数图像的对称性画草图，由图可知，即，所以选A． 二、填空题 11．．答案：12 12．，，由得：，所以．答案： 13．，则．答案： 14．由得，，又，所以，即，则．答案： 15．圆心到直线的距离为，点到直线的距离的最大值为．答案： 三、解答题 16．解(1)由，得为等差数列，且， 所以，即； (2)，，得等比，且， 所以． 17．解(1)， ， ， ，所以甲生产的零件质量更好； (2)的取值有0，1，2 ，，， 所以的概率分布为 0 1 2 . . . 18．证(1)连接BD， 因为平面，平面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，； (2)由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 19．解(1)时，不等式化为：| 或 解得或 所以不等式解为； (2)当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 20．解(1)由，得，，的方程为； (2)由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 21．解(1)，所以； (2)在中，，所以． 22．分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ，且 讨论可得最优解为，所以(元) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$