1.3.2探索三角形全等的条件：“SSS”、“HL”（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章全等三角形 1.3.2探索三角形全等的条件：“SSS”、“HL” 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解并掌握全等三角形的判定定理“SSS” 02 掌握角平分线、垂线的画法（尺规作图） 03 理解并掌握全等三角形的判定定理“HL” 全等的判定 ——“SSS” 01 课堂引入 操作——按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。 作法 图形 1.作线段BC=a； 2.分别以点B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A； 3.连接AB、AC； △ABC就是所求作的三角形。 B A C 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗? 能完全重合 “SSS” 02 知识精讲 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 实践告诉我们判定两个三角形全等的第三个基本事实： 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。 02 知识精讲 如图，用3根木条钉成的三角形框架，它的形状和大小唯一确定。这个事实也说明了“三边分别相等的两个三角形全等”。 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 02 知识精讲 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用。 工地塔吊 空调架 四边形是否具有稳定性？ 02 知识精讲 四边形不具有稳定性，也就是说，当一个四边形四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定。 用4根木条钉成的四边形框架的形状是可以改变的。 03 典例精析 例、如图，在△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C。 【分析】 要证∠B=∠C，只要设法使∠B、∠C分别在两个三角形中，然后证明这两个三角形全等。 03 典例精析 例、如图，在△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C。 D 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 证明：作△ABC的中线AD， ∴BD=CD，（中线的定义） 03 典例精析 思考——还有不同的方法证明∠B=∠C吗？ D 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 证明：∠BAC的角平分线AD， ∴∠BAD=∠CAD，（角平分线的定义） 角平分线、垂线的画法（尺规作图） 思考——工人师傅常常利用角尺平个角。如图，在∠AOB的两 边OA、OB上分别任取OC=OC，移动角尺，使角尺两边相刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线。请你说明这样画角平分线的道理。 02 知识精讲 【分析】 由OC=OD，MC=MD，OM=OM可知：△OCM≌△ODM（SSS）， 于是∠COM=∠DOM，即OM平分∠AOB。 从木工师傅的画法中，你能找到用直尺和圆规作角平分线的方法吗? 02 知识精讲 按下列作法，用直尺和圆规作∠AOB的平分线。 作法 图形 1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D； 2.分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M； 3.作射线OM； OM就是∠AOB的平分线。 角平分线（尺规作图） 讨论——如图，PC=PD，QC=QD，PQ、CD相交于点E。 (1)根据以上条件，你能发现哪些结论? (2)你能证明PQ⊥CD吗? 02 知识精讲 (1)解：∠PCE=∠PDE，∠QCE=∠QDE， CE=DE，PQ⊥CD； 讨论——如图，PC=PD，QC=QD，PQ、CD相交于点E。 (1)根据以上条件，你能发现哪些结论? (2)你能证明PQ⊥CD吗? 02 知识精讲 (2)证明： 由此，你能找到用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗? 02 知识精讲 P C D 按下列作法，用直尺和圆规经过直线AB外一点P作AB的垂线。 02 知识精讲 作法 图形 1.以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D； 2.分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q； 3.作直线PQ； 直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线。 C D Q 垂线（尺规作图） 思考——如果点P在直线AB上，如何用直尺和圆规经过点P作AB的垂线? 02 知识精讲 C D A B P Q R 如图，直线RQ即为所求作。 垂线（尺规作图） 总结“用直尺和圆规经过直线AB上一点P作AB的垂线”的画法。 02 知识精讲 作法 图形 垂线（尺规作图） C D A B P Q R 1.以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D； 2.分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在直线两侧分别交于点R、Q； 3.作直线RQ； 直线RQ就是经过直线AB上一点P的AB的垂线。 03 典例精析 例1、如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为________。 【解析】∵在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°， ∴∠ACD=∠A+∠B=80°+50°=130°， 由作图可知：CE平分∠ACD， ∴∠DCE=∠ACD=65°。 65° 03 典例精析 例2、如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边BC于点D，分别以点B、D为圆心，大于BD的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E、F，连接EF，EF与AB、BC分别交于点G、H，则∠AGH=________。 【解析】由作图可知：EF⊥BD，即∠GHB=90°， 又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°， ∴∠AGH=∠B+∠GHB=90°+45°=135°。 135° 全等的判定 ——“HL” 01 课堂引入 讨论——两个直角三角形，有一对内角（直角）相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件?可以是哪些条件? SAS ASA AAS AAS 01 课堂引入 直角三角形是特殊的三角形，可以用符号“Rt△”表示。判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法? 这两个直角三角形全等吗？ 01 课堂引入 操作——按下列作法，用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。 作法 图形 1.作∠PCQ=90°； 2.在射线CP上截取CB=a； 3.以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A； 4.连接AB； Rt△ABC就是所求作的三角形。 B A C 你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形能完全重合吗? 能完全重合 01 课堂引入 如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’，怎样证明△ABC≌△A’B’C’? A B C A’ B’ C’ B C(C’) B’ A(A’) 把两个直角三角形拼在一起，像SSS处的例题那样，可以证得∠B=∠B’； “HL” 02 知识精讲 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 于是，我们得到如下定理： 03 典例精析 例、如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。 证明：如图，连接BD， 在Rt△ADB和Rt△CDB中，∠BAD=∠BCD=90°（已知）， ， ∴Rt△ADB≌Rt△CDB（HL）， ∴AD=CD（全等三角形的对应边相等）； 03 典例精析 例、如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。 ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F（已知）， ∴∠E=∠F=90°（垂直的定义）， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 课后总结 已知条件 选择的判定定理 三边 SSS 斜边和一条直角边 HL 课后总结 1.3.2探索三角形全等的条件：“SSS”、“HL” 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$