八年级下学期期末培优测试卷（A卷）-2023-2024学年八年级数学下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

八年级下学期期末培优测试卷（A卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 满分：120分 测试时间：120分钟 一、单选题（共33分） 1．（本题3分）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（本题3分）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（    ） 月用水量(吨) 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 A．中位数是 B．平均数是7 C．众数是2 D．方差是1 5．（本题3分）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．28 B．14 C．10 D．7 6．（本题3分）如图，在中，，，，若两阴影部分都是正方形，、、在一条直线上，且它们的面积之比为，则较大的正方形的面积是（    ） A．36 B．27 C．18 D．9 7．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点O，，，将沿点A到点C的方向平移，得到，当点与点C重合时，点A与点之间的距离为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形．动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点、移动，当移动时间为秒时，的值为（    ）    A． B． C． D． 9．（本题3分）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一直线型路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟．乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位：米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，小明同学得到如下结论： 乙的速度为米/分钟，甲的原速为米分钟； ； 当乙出发分钟时，甲、乙两人相距米； 乙比甲晚分钟到达地． 其中，正确的结论有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题3分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝2，则EF的值为（    ） A．6 B． C． D．5 二、填空题（共21分） 11．（本题3分）如图，在中，，点D是AB的中点，，，则 ． 12．（本题3分）10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数 （填或），身高的方差 （填或）． 13．（本题3分）如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则 ． 14．（本题3分）如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为 ． 15．（本题3分）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 16．（本题3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），经过边BC上一点P（4，m）的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为 ． 17．（本题3分）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    18．（本题3分）如图，点C的坐标是(2，2)，A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 20．（本题8分）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 21．（本题8分）已知，如图，在中，，是中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，求菱形的面积． 22．（本题8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，交边于点，过点作于点．求的长． 23．（本题8分）为了进一步增强广大学生预防溺水安全教育的意识，让学生真正知危险、会避险，某校举行了防溺水安全知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如下图所示（数据分为6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，77，78，78，79．甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表： 平均数 中位数 优秀人数 甲班成绩 76 m 3 乙班成绩 76 72 5 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计图中组对应扇形的圆心角是______度； (2)请补全条形统计图； (3)表中m的值是______；甲班的成绩在这一组的众数是______； (4)如果该校九年级学生有1200名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？ 24．（本题8分）“河阴石榴砀山梨，荥阳柿子甜如蜜”，荥阳柿子不仅种植历史悠久，而且栽植广、品种多、产量高、品质佳．某柿农与快递公司合作寄送柿子到Z市． 素材1： 快递公司规定：从当地寄送柿子到Z市按重量收费，重量不超过时，需要寄送费56元；重量超过时，超过部分另收寄送费m元． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：柿子 计量重量： 件数：1 总费用：56元 托寄物：柿子 计量重量： 件数：1 总费用：72元 托寄物：柿子 计量重量： 托寄物：柿子 计量重量： 件数：2 总费用：152元 请根据上述素材，回答下列问题． (1)请求出m的值，并求出当柿子重量超过时单件寄送费y（元）与柿子重量之间的函数表达式． (2)现将一批柿子寄往Z市，已知这批柿子的重量超过且小于，若这批柿子分两个件寄送（两个件均不超过）的费用比单件寄送的费用低，则这批柿子的重量应在什么范围内． (3)柿农准备将一批重量为的柿子全部寄送到Z市，请直接写出最低寄送费用，并给出费用最低的一种寄送方案． 25．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期期末培优测试卷（A卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 满分：120分 测试时间：120分钟 一、单选题（共33分） 1．（本题3分）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得到且，求出结果即可． 【详解】解：函数， 且， 且， 故选：C． 2．（本题3分）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，，，故此选项错误； B、，，且，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、中不是正整数，三个数不是勾股数，故此选项错误． 故答案为：B． 3．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除计算法则，熟知二次根式计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除计算法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：不是同类二次根式，无法相加，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D． 4．（本题3分）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（    ） 月用水量(吨) 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 A．中位数是 B．平均数是7 C．众数是2 D．方差是1 【答案】A 【分析】本题主要考查了求众数，平均数，中位数，方差，解题的关键是熟练掌握求众数，平均数，中位数，方差的方法． 【详解】解：A、根据题意可得，一共有20户，中位数为第10户和第11户用水吨数的平均数，则中位数，故A说法正确，符合题意； B、由题意得，平均数为，故B说法错误，不符合题意； C、由表可知，月用水量为5吨的户数最多，则众数为5，故C说法错误，不符合题意； D、，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 5．（本题3分）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．28 B．14 C．10 D．7 【答案】B 【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：D，E，F分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，且，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键． 6．（本题3分）如图，在中，，，，若两阴影部分都是正方形，、、在一条直线上，且它们的面积之比为，则较大的正方形的面积是（    ） A．36 B．27 C．18 D．9 【答案】B 【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a，先根据勾股定理求出BC，再选用勾股定理得，由正方形的面积公式可得，即可求得结果． 【详解】解：设两个正方形的面积分别为a和3a， ∵，，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 则较大的正方形的面积是27． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键 7．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点O，，，将沿点A到点C的方向平移，得到，当点与点C重合时，点A与点之间的距离为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝AC＝2，OB＝BD＝8，再由平移的性质得出＝OA＝2，＝OB＝8，＝90°，则＝AC＋＝6，然后由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠AOB＝90°， ∵将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到，点与点C重合， ∴＝OA＝2，＝OB＝8，＝∠AOB＝90°， ∴＝AC＋＝6， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形．动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点、移动，当移动时间为秒时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质及坐标，利用点的坐标和勾股定理计算出、，即可求解． 【详解】解：连接、，   ，， ，， 四边形是矩形， ， 又， ，， ，， ， 故选：D． 9．（本题3分）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一直线型路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟．乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位：米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，小明同学得到如下结论： 乙的速度为米/分钟，甲的原速为米分钟； ； 当乙出发分钟时，甲、乙两人相距米； 乙比甲晚分钟到达地． 其中，正确的结论有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据乙出发分钟行驶米可得乙的速度；根据甲出发分钟后两人相距米可得甲的速度，从而可判断①错误； 首先求出甲后来的速度，再根据甲比乙晚出发分钟可得答案，可得②错误； 甲乙两人距离为甲、乙的速度差相遇后行驶的时间即可得出结论，可得③错误； 首先求出总里程，再求出甲到达地时，乙离地的距离即可解决问题，可得④正确； 【详解】解：由题意得，乙的速度为米分 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分，乙出发时速度是米分，故错误； 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） 即甲出发了分钟，故正确； 当乙出发分钟时，甲、乙两人相距：米， 故错误； 由题意得，总里程（米） 分钟乙的路程为（米） （分钟） 即乙比甲晚分钟到达地，故正确． 综上，正确的结论只有个， 故选：B 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 10．（本题3分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝2，则EF的值为（    ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据“ASA”判定△ADE≌△CDF，可证DE=DF，在Rt△ADE中，运用勾股定理求出DE的长度，再在Rt△DEF中，运用勾股定理即可求出EF的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=∠B=90°， ∵DF⊥DE， ∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°， 即∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE=DF， ∵E为AB的中点，AE=2， ∴AD=AB=4， 在Rt△ADE中，DE， 在Rt△DEF中，EF． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理的应用，求线段的长度常常是把线段转化到直角三角形中，运用勾股定理进行计算求值． 二、填空题（共21分） 11．（本题3分）如图，在中，，点D是AB的中点，，，则 ． 【答案】6 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AB的长，再直接利用勾股定理得出BC的长． 【详解】解：∵点D是斜边AB的中点，， ∴AB=2CD=10． ∵，AC=8， ∴BC===6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键． 12．（本题3分）10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数 （填或），身高的方差 （填或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∴； ， ， ∴， 故答案为：，． 13．（本题3分）如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则 ． 【答案】8 【分析】根据勾股定理求得，然后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，则，又，， ∴， ∵，对角线， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 14．（本题3分）如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．先求解 再利用利用相似三角形的判定及性质即可得答案． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， 则， ∵， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 【答案】a 【分析】利用数轴表示数的方法得到a＜b＜0＜c， |b|＞c，再根据二次根式的性质得到原式=|b|-|b+c|-|c-a|，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：由数轴得a＜b＜0＜c，|b|＞c， ∴b+c＜0，c-a＞0， 原式=|b|-|b+c|-|c-a| =-b+（b+c）-（c-a） =-b+b+c-c+a =a． 故答案为：a． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 16．（本题3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），经过边BC上一点P（4，m）的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为 ． 【答案】y＝2x﹣4 【分析】根据矩形的性质以及B的坐标，求得P为（4，4），由平分矩形的直线经过矩形的中心点，求得中心点的坐标，则所求的直线就是经过对角线交点和点P的直线，再根据待定系数法求得即可． 【详解】解：∵矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4）， ∴矩形对角线的交点为（3，2）， ∵点P（4，m）是BC边上一点， ∴P（4，4）， ∵经过矩形对角线交点的直线平分矩形， ∴设过P（4，m）且平分矩形的直线为y＝kx＋b， 把点（4，4），（3，2）代入得 ， 解得 ， ∴这条直线的解析式为y＝2x﹣4． 故答案为y＝2x﹣4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平分矩形的直线经过矩形的对角线交点是解题的关键． 17．（本题3分）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    【答案】 【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点A作于点Q， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 18．（本题3分）如图，点C的坐标是(2，2)，A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 ． 【答案】3或1 【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值． 【详解】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE， ∵AF平分∠DFE， ∴DF=AG=2    在RT△ADF和RT△AGF中， ∴RT△ADF≌RT△AGF    ∴DF=FG    ∵点E是BC边的中点， ∴BE=CE=1    ∴AE=     ∴     ∴   在RT△FCE中，EF2=FC2+CE2，即(DF+1)2=(2-DF)2+1， 解得， ∴点， 把点F的坐标代入y=kx得：2=，解得k=3； ②当点F与点C重合时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AF平分∠DFE， ∴F(2,2)， 把点F的坐标代入y=kx得：2=2k，解得k=1． 故答案为：1或3． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据二次根式的乘法和除法运算，然后再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（本题8分）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.6米； (2)应该往回收线8米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可； （2）如图勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由勾股定理得， （米）， （米）； （2）如图，由勾股定理得， （米）， （米）， 他应该往回收线8米． 21．（本题8分）已知，如图，在中，，是中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形的面积为24． 【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得； （2）根据直角三角形斜边中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解； （3）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：F是的中点， ， ，， ； （2）证明：，是中线， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，是中线， ， ，， 四边形是菱形， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角三角形斜边中线的性质，勾股定理等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． 22．（本题8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，交边于点，过点作于点．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，，再证明，得，则，进而得，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，，再证明是等腰直角三角形，得，，然后证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即的长为． 23．（本题8分）为了进一步增强广大学生预防溺水安全教育的意识，让学生真正知危险、会避险，某校举行了防溺水安全知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如下图所示（数据分为6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，77，78，78，79．甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表： 平均数 中位数 优秀人数 甲班成绩 76 m 3 乙班成绩 76 72 5 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计图中组对应扇形的圆心角是______度； (2)请补全条形统计图； (3)表中m的值是______；甲班的成绩在这一组的众数是______； (4)如果该校九年级学生有1200名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？ 【答案】(1)57.6 (2)见解析 (3)77；77 (4)96人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据E组的条形统计图和扇形统计图的数据求出抽取的甲班学生人数，即可求解； （2）计算出C、F组的人数即可求解； （3）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数），众数是一组数据中出现最多数，据此解答即可； （4）计算出样本中优秀人数所占比例即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抽取的甲班学生人数为：（人） ∴统计图中组对应扇形的圆心角是： 故答案为：57.6； （2）解：C组的人数为：（人）， F组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：∵，， ∴中位数在组， 又甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，77，78，78，79． ∴， ∴众数为77. 故答案为：77；77； （4）解：（人） 即：估计九年级学生成绩优秀的有96人． 24．（本题8分）“河阴石榴砀山梨，荥阳柿子甜如蜜”，荥阳柿子不仅种植历史悠久，而且栽植广、品种多、产量高、品质佳．某柿农与快递公司合作寄送柿子到Z市． 素材1： 快递公司规定：从当地寄送柿子到Z市按重量收费，重量不超过时，需要寄送费56元；重量超过时，超过部分另收寄送费m元． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：柿子 计量重量： 件数：1 总费用：56元 托寄物：柿子 计量重量： 件数：1 总费用：72元 托寄物：柿子 计量重量： 托寄物：柿子 计量重量： 件数：2 总费用：152元 请根据上述素材，回答下列问题． (1)请求出m的值，并求出当柿子重量超过时单件寄送费y（元）与柿子重量之间的函数表达式． (2)现将一批柿子寄往Z市，已知这批柿子的重量超过且小于，若这批柿子分两个件寄送（两个件均不超过）的费用比单件寄送的费用低，则这批柿子的重量应在什么范围内． (3)柿农准备将一批重量为的柿子全部寄送到Z市，请直接写出最低寄送费用，并给出费用最低的一种寄送方案． 【答案】(1)， (2)这批柿子的重量应大于且小于 (3)最低寄送费用为160元，方案见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程、一次函数和一元一次不等式的应用： （1）利用电子存单2的总费用和计量重量列出方程求出m，从而得解； （2）设计方案求出总费用，比较大小即可； （3）要尽可能的多寄送，则分两个件寄送，且每个件均不小于，从而得解． 【详解】（1）解：由电子存单2的信息，可得， 解得． 由题意，可得． （2）解：设这批柿子的重量为． 单件寄送的费用为元， 分两个件寄送的费用为（元）． 由题意，得， 解得． 这批柿子的重量应大于且小于． （3）解：最低寄送费用为160元． 寄送方案：分两个件寄送，且每个件均不小于．（如一个件，另一个件；或一个件，另一个件等，合理即可） 当柿子重量为时，寄送费用的单价最低，为5.6元，因此按此单价寄送的数量越多，总费用越低． 故若寄送，应分两个件寄送，且每个件均不小于， 最低费用为（元）． 25．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 26．（本题10分）在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析；（3）4或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】解：（1）． 由折叠的性质，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）存在，． 证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． （3）4或． 根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴． ②当点在的延长线上时，如图2所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为4或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$