2024年河南省普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题

南 2024 高等学 对口招收中等职业学 毕业生考试 数 学 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题 (每小题 3分，共 30分。每小题中只有一个选项 正确的，请 将正确选项 在答题卡上) 1．已知 A= a,b, c,d  ，下 说法错误的 ( C ) A． a∈A B． b∈A C． c∈A D． c,d ∈A 2．设 a= 2+ 7，b= 3+ 6，c= 2+ 5下 结论正 的 ( A ) A.a< b< c B．a< c< b C． b< a< c D.c< b< a 解析：a2= 9+ 2 14 ,b2= 9+ 2 18 ,c2= 9+ 2 20 ,因为 c2> b2> a2 所以 c> b> a 3．下 函数中， 0, +∞ 上单 减的为 ( D ) A． y= 2x- 5 B． y=-x2+ x+ 6 C． y= 2 x 2x+ 1 D． y= 1x+ 1 4． log3 1 3 + log31+ log3 1 3 的值为 ( B ) A．- 23 B．- 3 2 C．- 4 3 D．- 3 4 5．设第二 角 α满足 tanα=- 33 ， sin α+ π = ( B ) A． 12 B．- 1 2 C． 3 2 D．- 3 2 解析：α= 5π6 ,sin(α+ π) =-sin 5π 6 =- 1 2 6． 复数 中，方 x2+ 6x+ 10= 0的 为 ( D ) A.x1,2= 3± i B .x1,2=±3+ i C.x1,2=±3- i D.x1,2=-3± i 解析：因为 (-3+ i) + (-3- i) =-6=- ba ,(-3+ i) (-3- i) = 10= c a ,故 D 7．等比数 an a1≠ 0 的公比 q= 2， a24 a2 ⋅ a3 = ( C ) A．2 B． 4 C． 8 D． 16 8． 间中，“两直线互相 直”“两直线相交”的 ( D) A.充 条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充 又非必要条件 9． x+ 1 x  8 的 开式中包 的项有 ( C ) A． 数项 B． x的项 C． x2的项 D． x3的项 解析： 项公式为Tr+1=Cr8x8-r( 1x )r=Cr8x 8- 32 r 当 8- 32 r= 0时，r= 16 3 ,不成 ，当 8- 3 2 r= 1时，r= 14 3 ,不成 当 8- 32 r= 2时，r= 4,成 ,故 C 10．现 有 5张相 奖 ，其中 2张有奖，3张无奖， 连 2张都中奖的概率为 ( A ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 解析：连 两张都中奖包 1 ，共有C25= 10 ，概率为 110 二、填空题 (每小题 3分，共 24分) 11．设全 U 所有 写英文字母组成的 ，A= a,b,c,d,e ，B= b,c,d ， A∩CUB= {a,e} 。 12.当 a> 0，且 a≠ 0时，无论 a取 值，函数 f x = ax+ e的图像必过一 点 (0,e+ 1) 。 13．函数 f x = 13 sin x+ π 6 + 1的值域为 [ 2 3 , 4 3 ] 。 14． ΔABC中,∠A= π3 ,b= 2，c= 3, a= 7 。 解析：a2= b2+ c2- 2bccosA= 4+ 9- 2× 2× 3× 12 = 7,a= 7 数学试题卷 第 2页 (共 2页) 15． 面直角 系中， C : x- a 2+ y- b 2= 9与一条直线 l相 ，M 为 上任意一点，已知M l的最短距 为 4， M与 l的最长距 为 10 。 解析：设 心 直线的距 为 d, M 直线的最 距 为 d- r= 4,d= 7,最 大距 为 d+ r= 10 16．已知椭 x 2 25 + y2 b2 = 1 b> 0 的 心率 e= 45 ， b= 3或 25 4 解析:当 c5 = 4 5 时，c= 4，b 2= 25- 16= 9,b= 3, 当 c b = 4 5 时， c2 b2 = 1625 , b2- 25 b2 = 925 ,9b 2= 25b2- 252,b2= 25 2 16 ,b= 25 4 17．一个 柱的 面积为 48π，高为 8， 该 柱 的 积为 72π 。 解析：2πrl= 48π,rl= 24.l= 8.r= 3.V= πr2l= 72π 18． 一枚骰子点数为 1的面磨 ，此面朝上时点数记为 0，现投 该骰子 2 次， 点数之 为 2的概率为 118 。 解析：点数之 为 2包 （0,2）（2.0），共有 36 ，概率为 236 = 1 18 三、计算题 (每小题 8分，共 24分) 19． 函数 f x = 1 6- x- x2 的定义域。 解析：要 函数有意义 需满足 6- x- x2> 0 即 x2- x- 6< 0 解得-2< x< 3 所以函数的定义域为（-2，3） 20．直线方 3x- y+ 4= 0先 下 移 2个单 ，再 右 移 1个单 与 y轴交于点P，最 以P点为中心顺时针旋转 30°， 变化 最终的直 线方 。 解析： 移之 直线为 y- 2= 3 (x- 1) + 4,即 y= 3x - 3+ 2 与 y轴相交于点（0,2- 3 ), k= 3 ,倾角 α= 60°，所 直线的倾角为 30°，且经过点（0,2- 3 ) 所 直线方 为 y= 33 x+ 2- 3即 3 3 x- y+ 2- 3= 0 21．已知 p = 1,3 ，q = -m- 1,2 ，r = 1,5- 4m ，且 p ⊥ 2q - r ， m的值。 解析：2q - r= (-2m- 3, -1+ 4m) 因为 p ⊥ 2q - r  所以 (-2m- 3) + 3(-1+ 4m) = 0 解得m= 35 四、证明题 (每小题 6分，共 12分) 22．已知数 an 的 项 为 Sn，且满足 a1≠ 0，an+ SnSn-1= 0 n≥ 2 ， 证： 1 Sn   等差数 。 证 ：因为 an=Sn-Sn-1(n≥ 2) 所以Sn-Sn-1+SnSn-1= 0 即Sn-1-Sn=SnSn-1 1 Sn - 1Sn-1 = 1 所以 1 Sn   以 1 S1 为首项，1为公差的等差数 23．如图所 的长方 ABCD-A1B1C1D1中， 面ABCD为正方形，M、N 为C1D1，B1C1的中点，连 AC，A1C， 证：MN⊥A1C 证 :因为A1C1,B1D1 正方形A1B1C1D1的对角线 所以A1C1⏊B1D1 又M ,N C1D1,B1C1的中点 所以MN//B1D1 所以MN⏊A1C1 又CC1⏊面A1B1C1D1 所以CC1⏊MN M N 所以MN⏊面A1C1C 所以MN⏊A1C 五、综合题 (10分) 24．函数 f x 对任意 x∈R满足 f x + f -x = 0，f x + f -x- 2 = 0成 ，且 当 x∈ 0,1 时，f x = sinπx+ 2。 (1) f 0 与 f 1 的值； (2)当 x∈ 7,8 时， f x 的解析式。 解析：（1） f(x) + f(-x) = 0中，令 x= 0得 f(0) + f(0) = 2f(0) = 0 所以 f(0) = 0 f(x) =-f(-x).f(x) + f(-x- 2) = 0 所以 f(-x) = f(-x- 2.即 f(x) = f(x- 2) 所以函数y= f(x)的 期T= 2 令 x= 1得 f(1) = f(-1)且 f(1) + f(-1) = 0 所以 2f(1) = 0,即 f(1) = 0 (2)由（1）知函数的 期为 2， x∈ (7,8)时，x- 8∈ (-1,0),8- x∈ (0,1) f(x) = f(x- 8) =-f(8- x) =- [sinπ(8- x) + 2]= sin(πx- 8π) - 2= sinπx- 2 数学试题卷 第 2页 (共 2页) 南 2024 高等学 对口招收中等职业学 毕业生考试 数 学 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题 (每小题 3分，共 30分。每小题中只有一个选项 正确的，请 将正确选项 在答题卡上) 1．已知 A= a,b, c,d  ，下 说法错误的 ( ) A． a∈A B． b∈A C． c∈A D． c,d ∈A 2．设 a= 2+ 7，b= 3+ 6，c= 2+ 5下 结论正 的 ( ) A.a< b< c B．a< c< b C． b< a< c D.c< b< a 3．下 函数中， 0, +∞ 上单 减的为 ( ) A． y= 2x- 5 B． y=-x2+ x+ 6 C． y= 2 x 2x+ 1 D． y= 1x+ 1 4． log3 1 3 + log31+ log3 1 3 的值为 ( ) A．- 23 B．- 3 2 C．- 4 3 D．- 3 4 5．设第二 角 α满足 tanα=- 33 ， sin α+ π = ( ) A． 12 B．- 1 2 C． 3 2 D．- 3 2 6． 复数 中，方 x2+ 6x+ 10= 0的 为 ( ) A.x1,2= 3± i B .x1,2=±3+ i C.x1,2=±3- i D.x1,2=-3± i 7．等比数 an a1≠ 0 的公比 q= 2， a24 a2 ⋅ a3 = ( ) A．2 B． 4 C． 8 D． 16 8． 间中，“两直线互相 直”“两直线相交”的 ( ) A.充 条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充 又非必要条件 9． x+ 1 x  8 的 开式中包 的项有 ( ) A． 数项 B． x的项 C． x2的项 D． x3的项 10．现 有 5张相 奖 ，其中 2张有奖，3张无奖， 连 2张都中奖的概率为 ( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 二、填空题 (每小题 3分，共 24分) 11．设全 U 所有 写英文字母组成的 ，A= a,b,c,d,e ，B= b,c,d ， A∩CUB= 。 12.当 a> 0，且 a≠ 0时，无论 a取 值，函数 f x = ax+ e的图像必过一 点 。 13．函数 f x = 13 sin x+ π 6 + 1的值域为 。 14． ΔABC中,∠A= π3 ,b= 2，c= 3, a= 。 15． 面直角 系中， C : x- a 2+ y- b 2= 9与一条直线 l相 ，M 为 上任意一点，已知M l的最短距 为 4， M与 l的最长距 为 。 16．已知椭 x 2 25 + y2 b2 = 1 b> 0 的 心率 e= 45 ， b= 。 17．一个 柱的 面积为 48π，高为 8， 该 柱 的 积为 。 18． 一枚骰子点数为 1的面磨 ，此面朝上时点数记为 0，现投 该骰子 2 次， 点数之 为 2的概率为 。 三、计算题 (每小题 8分，共 24分) 19． 函数 f x = 1 6- x- x2 的定义域。 20．直线方 3x- y+ 4= 0先 下 移 2个单 ，再 右 移 1个单 与 y轴 交于点P，最 以P点为中心顺时针旋转 30°， 变化 最终的直 数学试题卷 第 2页 (共 2页) 线方 。 21．已知 p = 1,3 ，q = -m- 1,2 ，r = 1,5- 4m ，且 p ⊥ 2q - r ， m 的值。 四、证明题 (每小题 6分，共 12分) 22．已知数 an 的 项 为 Sn，且满足 a1≠ 0，an+ SnSn-1= 0 n≥ 2 ， 证： 1 Sn   等差数 。 23．如图所 的长方 ABCD-A1B1C1D1中， 面ABCD为正方形，M、N 为C1D1，B1C1的中点，连 AC，A1C， 证：MN⊥A1C 五、综合题 (10分) 24．函数 f x 对任意 x∈R满足 f x + f -x = 0，f x + f -x- 2 = 0成 ，且 当 x∈ 0,1 时，f x = sinπx+ 2。 (1) f 0 与 f 1 的值； (2)当 x∈ 7,8 时， f x 的解析式。