第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握空间中点、直线和平面的向量表示； 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念，会用待定系数法求平面的法向量； 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行与垂直关系. 知识点 1 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4、空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点 2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 知识点 3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点 4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 考点一：直线方向向量的概念与求解 例1．（23-24高二上·广东惠州·月考）若，在直线上，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，直线的一个方向向量为， 其他三个均不合要求.故选：C． 【变式1-1】（23-24高二上·青海海东·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以，故选：A. 【变式1-2】（23-24高二上·河北张家口·月考）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量： ．（坐标表示） 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意， 在直线中，，， ∴直线的一个方向向量． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 . 【答案】-1 【解析】由题意设，即， 即，解得. 考点二：平面法向量的概念与求解 例2. （22-23高二下·江苏·月考）已知平面上的两个向量，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得， 故平面的一个法向量为.故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·山西大同·期中）平面的一个法向量，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点在平面上， 因为，所以， 由， 得，依次验证选项，只有满足.故选：D 【变式2-2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A. 【变式2-3】（23-24高二上·新疆·月考）在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 【答案】（答案不唯一） 【解析】如图，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系， 则，得， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为. 【变式2-4】（23-24高二上·河南漯河·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【答案】（不唯一） 【解析】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 考点三：利用向量判断线面位置关系 例3. （23-24高二下·江苏连云港·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行．故选：B 【变式3-1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【答案】B 【解析】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 【变式3-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）（多选）以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【解析】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确. 故选：BD 考点四：利用空间向量解决平行问题 例4. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【解析】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 【变式4-1】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 【变式4-2】（23-24高二上·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1． 依题意知：，，，， ∴，， ∴，∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又，∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵，∴， 又，∴，∴， 又平面，平面，∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面，∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴，∴平面平面. 考点五：利用空间向量解决垂直问题 例5. （23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）   因为直三棱柱中，平面, 平面,所以,且, 所以原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 所以, 则，所以. （2）因为,所以,则. 【变式5-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：由题意，该棱台是正四棱台. 连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面 于，连接，建立空间直角坐标系如图. 根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上. 由题意得，为上底面正方形对角线长的一半， 显然，故，又， 则，故. 于是，， 则，所以. 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， ， 即， 又平面， 故平面. 【变式5-3】（23-24高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 考点六：空间位置关系的探索性问题 例6. （23-24高二上·广东珠海·期末）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【解析】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 【变式6-1】（23-24高二上·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 【答案】存在， 【解析】因为点在下底面的投影为的中点，故平面， 连接，由题意为正三角形，故， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 可得，，， 设， 可得， 假设在棱（含端点）上存在一点使， 则，解得， 所以存在，此时. 【变式6-2】（23-24高二上·四川南充·月考）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)Q是的中点, 即. 【解析】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    设，则， ，设是平面的一个法向量， 则，令，得， 显然，即，而平面， 所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 由平面，得，即存在实数，满足： ，即，解得，因此，即Q是的中点， 所以线段上存在点，使平面，. 【变式6-3】（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以．故选：C. 2．（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则，所以.故选：C. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，， 即不成立，不符合题意； 对于D，，，， 即不成立，不符合题，故选：A． 4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意或.故选：B. 5．（22-23高二上·山东济宁·月考）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内.故选：C. 二、多选题 6．（22-23高二上·贵州铜仁·月考）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 7．（23-24高二下·广西·月考）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确.故选：. 8．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】对于A：，故，即，A正确； 对于B：，故，即，B正确； 对于C：明显不存在实数，使，即不共线，则不成立，C错误； 对于D：，即不垂直，则不成立，D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．（23-24高二上·山西吕梁·月考）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，与的位置关系为 . 【答案】或 【解析】因为直线的方向向量是，平面的法向量是， 而， 所以，则或. 故答案为：或. 10．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【解析】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得．故答案为：9. 11．（23-24高二上·江西宜春·月考）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3， ，设， 所以设平面的法向量为， 所以，取，则， ， 由于∥平面，所以，即， 故，所以 所以， 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高二上·河北衡水·开学考试）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 13．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【解析】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接. 设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握空间中点、直线和平面的向量表示； 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念，会用待定系数法求平面的法向量； 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行与垂直关系. 知识点 1 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4、空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点 2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 知识点 3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点 4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 考点一：直线方向向量的概念与求解 例1．（23-24高二上·广东惠州·月考）若，在直线上，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·青海海东·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-2】（23-24高二上·河北张家口·月考）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量： ．（坐标表示） 【变式1-3】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 . 考点二：平面法向量的概念与求解 例2. （22-23高二下·江苏·月考）已知平面上的两个向量，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·山西大同·期中）平面的一个法向量，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·新疆·月考）在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 【变式2-4】（23-24高二上·河南漯河·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 考点三：利用向量判断线面位置关系 例3. （23-24高二下·江苏连云港·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式3-1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【变式3-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）（多选）以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 考点四：利用空间向量解决平行问题 例4. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：． 【变式4-1】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【变式4-2】（23-24高二上·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点. 求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 考点五：利用空间向量解决垂直问题 例5. （23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求线段的长. 【变式5-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 【变式5-3】（23-24高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 考点六：空间位置关系的探索性问题 例6. （23-24高二上·广东珠海·期末）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式6-1】（23-24高二上·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 【变式6-2】（23-24高二上·四川南充·月考）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【变式6-3】（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·山东济宁·月考）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（22-23高二上·贵州铜仁·月考）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 7．（23-24高二下·广西·月考）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 三、填空题 9．（23-24高二上·山西吕梁·月考）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，与的位置关系为 . 10．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 11．（23-24高二上·江西宜春·月考）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 四、解答题 12．（23-24高二上·河北衡水·开学考试）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 13．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 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