2.6直角三角形 一课一练 2023-2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册一课一练 第2章　特殊三角形 2.6 直角三角形 　第1课时　直角三角形的性质 1.已知:如图2-6-1所示,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则Rt△BCD的两条直角边是　　　　　 　,以AC为斜边的直角三角形是　　　　　.  2.已知直角三角形一个锐角的度数为40°,则另一个锐角的度数为 (　　) A.140° B.60° C.50° D.40° 图2-6-1 3.(教材课内练习T1变式)如图2-6-2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,则图中与∠A互余的角有 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 图2-6-2 4.如图2-6-3,AB∥DF,AC⊥CB于点C,CB的延长线与DF交于点E.若∠A=20°,则∠CEF的度数为 (　　) A.110° B.100° C.80° D.70° 图2-6-3 5.如图2-6-4,在△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AB上的点,△ADC≌△ADE≌△BDE,则∠B的度数为 (　　) A.15° B.20° C.25° D.30° 图2-6-4 6.在直角三角形中,两个锐角的度数之比为2∶3,那么较小锐角的度数是　　　　.  7.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC=10 cm,D为斜边AC的中点,则斜边上的中线BD=　　　　cm.  8.如图2-6-5所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,D是AB边的中点,△BCD的周长是18,则AB的长是　　　　.  图2-6-5 9.如图2-6-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB.求证:∠B=30°. 请完成下列证明过程. 证明:如图2-6-6,作Rt△ABC斜边AB上的中线CD, 则CD=AB=AD(　).  ∵AC=AB, ∴AC=CD=AD,则△ACD是等边三角形, ∴∠A=　　　　°,  ∴∠B=90°-∠A=30°. 图2-6-6 10.如图2-6-7,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别是A,B,D是OP的中点.求证:DA=DB. 图2-6-7 11.如图2-6-8,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=2 km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB等于 (　　) A.2 km B.3 km C.5 km D.4 km 图2-6-8 12.如图2-6-9,在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A,D为圆心,大于AD长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE,交AB于点F,则∠ACF的度数是(　　) A.54° B.36° C.27° D.18° 图2-6-9 13.如图2-6-10,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,AE平分∠BAC交BC于点E,D为AB的中点,连结DE,则△BDE的周长是 (　　) A.14 B.10 C.12 D.11 图2-6-10 14.如图2-6-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,角平分线AD,BE相交于点F,则∠AFB=　　　　.  图2-6-11 15.如图2-6-12,△ABC和△ABD都是直角三角形,C,D是直角顶点,∠BAC=60°,∠BAD=45°.取AB的中点O,连结OC,OD,则∠COD的度数是　　　　.  图2-6-12 16.已知:如图2-6-13,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,且CD=AE. 求证:(1)CG=EG; (2)∠B=2∠ECB. 图2-6-13 17.[模型观念] 如图2-6-14,一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑动. (1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否改变,并说明理由; (2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?说明理由,并求出面积的最大值. 图2-6-14 2.6 直角三角形 　第2课时　直角三角形的判定 1.在△ABC中,如果∠A=20°,∠B=70°,那么△ABC是 (　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是 (　　) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C 3.如图2-6-15,E是△ABC的边AC上一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么? 图2-6-15 4.如图2-6-16,△ABC是等边三角形,D为边BC延长线上一点,且AC=CD.求证:△ABD是直角三角形. 图2-6-16 5.如图2-6-17,已知在锐角三角形ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连结EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,求△EBC的面积. 图2-6-17 6.如图2-6-18,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AD上一点,且CD=ED,AD=BD. 求证:△BCF是直角三角形. 图2-6-18 7.如图2-6-19,已知AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B,D,C为BD上一点,AB=CD,BC=DE,试判断△ACE的形状,并说明理由. 图2-6-19 8.已知:如图2-6-20,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,AE平分∠CAB交CD于点F,交CB于点E,且CF=CE.请找出图中所有的直角三角形(△ABC除外),并说明理由. 图2-6-20 9.定义:如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°,那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”. (1)如图2-6-21①,在△ABC中,∠C=80°,BD平分∠ABC,求证:△ABD为“奇妙三角形”; (2)若△ABC为“奇妙三角形”,且∠C=80°,求证:△ABC是直角三角形; (3)如图②,在△ABC中,BD平分∠ABC,若△ABD为“奇妙三角形”,且∠A=40°,直接写出∠C的度数. 图2-6-21 【答案解析】 2.6　第1课时　直角三角形的性质 1.CD和BD　Rt△ADC　2.C 3.C　[解析] ∵∠ACB=90°,CD是AB边上的高线, ∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°, ∴与∠A互余的角有2个. 4.A　[解析] 如图.∵AC⊥CB于点C, ∴∠C=90°, ∴∠ABC=90°-∠A=90°-20°=70°, ∴∠1=∠ABC=70°. ∵AB∥DF,∴∠1+∠CEF=180°, ∴∠CEF=180°-∠1=180°-70°=110°. 故选A. 5.D　[解析] ∵△ADC≌△ADE≌△BDE, ∴∠CAD=∠EAD=∠B. ∵∠C=90°,∴∠CAD+∠EAD+∠B=90°, ∴∠B=30°. 故选D. 6.36°　[解析] 设两个锐角的度数分别为2k,3k. 由题意,得2k+3k=90°, 解得k=18°, 所以较小锐角的度数为18°×2=36°. 7.5　[解析] BD=AC=×10=5(cm). 故答案为5. 8.13　[解析] 在Rt△ABC中,∵D是AB边的中点,∴CD=BD=AB. ∵△BCD的周长=CD+BD+BC=AB+AB+5=18, ∴AB=13. 9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　60 10.证明:在Rt△OAP中, ∵D为斜边OP的中点, ∴DA=OP. 在Rt△OBP中, ∵D为斜边OP的中点, ∴DB=OP, ∴DA=DB. 11.D　[解析] ∵∠A=60°,∠C=90°, ∴∠B=30°,∴AB=2AC=4 km. 12.D　[解析] 如图,连结CD,EA,ED. 由作图可得,CA=CD,EA=ED, ∴CF⊥AB, ∴∠BFC=90°. ∵∠B=54°, ∴∠BCF=90°-∠B=36°. ∵AB=AC, ∴∠ACB=∠B=54°, ∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=54°-36°=18°.故选D. 13.D　[解析] ∵在△ABC中,AB=AC,AE平分∠BAC, ∴BE=CE=BC=3,AE⊥BC. 又∵D是AB的中点, ∴BD=DE=AB=4, ∴△BDE的周长=BD+DE+BE=4+4+3=11. 故选D. 14.135° 15.30°　[解析] ∵∠ACB=∠ADB=90°,O是AB的中点, ∴CO=AO=AB,DO=AO=AB. ∵∠BAC=60°,∠BAD=45°, ∴∠ACO=60°,∠ADO=45°, ∴∠AOC=180°-2×60°=60°,∠DOA=180°-2×45°=90°, ∴∠COD=∠DOA-∠AOC=90°-60°=30°. 16.证明:(1)如图,连结DE. ∵AD⊥BC,E是AB的中点, ∴DE=AB=AE=BE. 又∵CD=AE,∴DE=CD. 又∵DG⊥CE,∴CG=EG. (2)∵DE=CD,∴∠DEC=∠ECB, ∴∠EDB=∠DEC+∠ECB=2∠ECB. ∵DE=BE, ∴∠B=∠EDB=2∠ECB. 17.解:(1)不改变. 理由:连结OP.因为斜边AB的长度不变,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知斜边AB上的中线OP的长度也不变. (2)当△AOB斜边AB上的高线等于中线OP时,△AOB的面积最大. 理由:设斜边AB上的高线为h. 若h与OP不相等,则总有h<OP,故根据三角形面积公式,得当h与OP相等时,△AOB的面积最大, 此时S△AOB=AB·h=·2a·a=a2, ∴△AOB的面积的最大值为a2. 第2课时　直角三角形的判定 1.A　 2.D　[解析] A项,∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°, ∴∠C=90°,故△ABC为直角三角形,不符合题意; B项,∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠A=180°,∴∠A=90°,故△ABC为直角三角形,不符合题意; C项,∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠A+∠B=∠C,同A选项,得△ABC是直角三角形,不符合题意; D项,∵∠A=∠B=3∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴7∠C=180°,∴∠C=,∴∠A=∠B=.三个角中没有90°角,故不是直角三角形,符合题意. 3.解:△ABC是直角三角形. 理由:∵ED⊥AB, ∴∠ADE=90°, ∴∠1+∠A=90°. 又∵∠1=∠2, ∴∠2+∠A=90°, ∴△ABC是直角三角形. 4.证明:∵AC=CD,∴∠CAD=∠D. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠BCA=60°. ∵∠CAD+∠D=∠BCA, ∴2∠D=∠BCA=60°, ∴∠D=30°, ∴∠B+∠D=60°+30°=90°, ∴△ABD是直角三角形. 5.解:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线, ∴AD⊥BD,BD=CD, ∴EB=EC, ∴∠ECB=∠EBC=45°, ∴△BEC为等腰直角三角形. ∵BC=6, ∴DE=BC=3, 则△EBC的面积是BC·DE=×6×3=9. 6.证明:∵AD⊥BC,∴∠BDE=∠ADC=90°. 在△BDE与△ADC中, ∵ ∴△BDE≌△ADC(SAS), ∴∠EBD=∠CAD. ∵∠CAD+∠C=90°, ∴∠EBD+∠C=90°, ∴△BCF是直角三角形. 7.解:△ACE是等腰直角三角形. 理由:∵AB⊥BD,ED⊥BD, ∴∠B=∠D=90°. 又∵AB=CD,BC=DE, ∴△ABC≌△CDE(SAS), ∴∠BAC=∠DCE,AC=CE. ∵∠B=90°, ∴∠BAC+∠BCA=90°, ∴∠BCA+∠DCE=90°, ∴∠ACE=180°-(∠BCA+∠DCE)=90°, ∴△ACE是等腰直角三角形. 8.解:△ACE,△ACD,△ADF,△BCD是直角三角形. 理由:∵∠ACB=90°, ∴△ACE是直角三角形. ∵∠ACB=90°, ∴∠CAE+∠CEF=90°. ∵CF=CE, ∴∠CFE=∠CEF. ∵AE平分∠CAB, ∴∠DAF=∠CAE, ∴∠CFE+∠DAF=90°. 又∵∠CFE=∠DFA, ∴∠DFA+∠DAF=90°,∴CD⊥AB, ∴△ACD,△ADF和△BCD是直角三角形. 9.解:(1)证明:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠ABD. 在△ABC中,∵∠C=80°, ∴∠A+∠ABC=180°-∠C=180°-80°=100°, 即∠A+2∠ABD=100°, ∴△ABD为“奇妙三角形”. (2)证明:在△ABC中,∵∠C=80°, ∴∠A+∠B=100°. ∵△ABC为“奇妙三角形”, ∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°, ∴∠B=10°或∠A=10°. 当∠B=10°时,∠A=180°-80°-10°=90°, ∴△ABC是直角三角形. 当∠A=10°时,∠B=180°-80°-10°=90°, ∴△ABC是直角三角形. 由此证得,△ABC是直角三角形. (3)∵BD平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠ABD. ∵△ABD为“奇妙三角形”, ∴∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=100°. ①当∠A+2∠ABD=100°时,∠ABD=(100°-40°)÷2=30°, ∴∠ABC=2∠ABD=60°, ∴∠C=80°; ②当2∠A+∠ABD=100°时,∠ABD=100°-2∠A=20°, ∴∠ABC=2∠ABD=40°, ∴∠C=100°. 综上所述,∠C的度数为80°或100°. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$