1.2一定是直角三角形吗 课件－2023－2024学年北师大版数学八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗 1.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b 和c满足_,则这个三角形是直角三角形. 几何语言:∵_, ∴_. a2+b2=c2 2.满足_的三个_数,称为勾股数. 常见的一些勾股数:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17. a2+b2=c2 ABC是直角三角形,且∠C=90 a2+b2=c2 正整 知识点1 利用勾股定理的逆定理证明直角三角形 【例1】在 ABC中,AB=13,AC=5,BC=12,求证: ABC是直角三角形. 证明:∵AC2+BC2=AB2, ∴ ABC是直角三角形. 【变式1】(北师教材母题)判断由线段a,b,c组成的三角形是否是直角三角形?如果是直角三角形,请指出哪一个角是直角. (1)a=15,b=8,c=17; 解:(1)∵a2+b2=c2, ∴该三角形是直角三角形,其中边c所对的角是直角. (2)a=4,b=5,c=6. 解:(2)∵a2+b2≠c2, ∴该三角形不是直角三角形. 知识点2 勾股定理及其逆定理综合 【例2】(北师教材母题改编)如图,已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,AB⊥BC,求四边形ABCD的面积. 解:如图,连接AC. ∵AB⊥BC,AB=3,BC=4, ∴AC =AB +BC =25,得AC=5, ∴ ∴直角三角形,∠ ∴. ∴+ =36. 【变式2】如图,在四边形ABCD中,∠B=90 ,AB=9,AC=15,AD=8,CD=17. (1)求BC的长; 解:(1)在Rt ABC中,BC2=AC2-AB2=144,得BC=12. 【变式2】如图,在四边形ABCD中,∠B=90 ,AB=9,AC=15,AD=8,CD=17. (2)求四边形ABCD的面积. 解:(2)∵AC2+AD2=CD2, ∴∠DAC=90 . 知识点3 勾股数问题 【例3】下列各组数中,是勾股数的为( ) A.1,2,3 B.4,5,6 C.3,4,5 D.0.3,0.4,0.5 【变式3】能与8,15组成一组勾股数的是( ) A.6 B.8 C.17 D.20 C C 1.在 ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2-b2=c2,则下列说法正确的是( ) A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是锐角 2.若 ABC 的三边长a,b,c满足|a-5|+|12-b|+(c-13)2=0,则 ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 C A 3.(北师教材母题改编)已知一个三角形的三边长分别是9 cm,15 cm,12 cm,则这个三角形的面积为_cm2. 4.(2023 佛山市月考)如图,正方形网格的每个小方格边长均为1, ABC的顶点在格点上. (1)判断 ABC的形状,并说明理由; 54 解:(1) ABC是直角三角形.理由如下: 由图,得AB2=22+42=20,BC2=22+12=5,AC2=32+42=25. ∴AB2+BC2=AC2. ∴ ABC是直角三角形. 4.(2023 佛山市月考)如图,正方形网格的每个小方格边长均为1, ABC的顶点在格点上. (2)S ABC=_; (3)直接写出边AC上的高的长度:_. 5 2 5.(北师教材母题改编)如图,在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1,判断 BEF是否是直角三角形,并说明理由. 解: BEF是直角三角形.理由如下: 在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠C=∠D=90 . ∴DE=2,CF=3. ∴BE2=AB2+AE2=20,EF2=DE2+DF2=5,BF2=CB2+CF2=25. ∴BF2=BE2+EF2. ∴ BEF是直角三角形. 6.(中考新考法 阅读探究)阅读以下解题过程: 已知a,b,c为 ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,判断 ABC的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,① ∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).② ∴c2=a2+b2.③ ∴ ABC为直角三角形.④ (1)上述解题过程从哪一步开始出现错误?写出错误的步骤序号:_; ③ 6.(中考新考法 阅读探究)阅读以下解题过程: 已知a,b,c为 ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,判断 ABC的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,① ∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).② ∴c2=a2+b2.③ ∴ ABC为直角三角形.④ (2)错误的原因是_; (3)本题正确的结论是_. 忽略了a2-b2=0的情况 ABC是等腰三角形或直角三角形 强化练习 1.下列各组数分别为三条线段长,其中能作为直角三角形三边长的是( ) A.9,12,15 B.2,3,5 C.8,12,15 D.6,12,14 2.下列各组数中,是勾股数的为( ) A.3,4,7 B.32,42,52 C.0.5,1.2,1.3 D.7,24,25 A D 3.在 ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b2-c2,则下列说法正确的是( ) A.∠A=90 B.∠B=90 C.∠C=90 D.∠A>90 4.在下列正方形网格中,各有一个三角形,其中不是直角三角形的是( ) B C A B C D 5.(易错题)已知两线段的长分别是4,3,则第三条线段长度的平方是_时,这三条线段构成直角三角形. 6.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③AB∶BC∶AC=3∶4∶5;④∠A=∠B=∠C,能确定 ABC是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个 25或7 C 7.如图,点D在 ABC中,∠BDC=90 ,AB=13,AC=12,BD=4,CD=3. (1)求BC的长; 解:(1)∵∠BDC=90 ,BD=4,CD=3, ∴BC2=BD2+CD2,即BC=5. (2)求图中阴影部分的面积. 解:(2)∵AB=13,AC=12, ∴AC2+BC2=AB2. ∴ ACB是直角三角形,∠ACB=90 . ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 B 9.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( ) C A B C D 10.如图,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD 的顶点都在小正方形的顶点上. (1)求四边形ABCD的面积; 10.如图,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD 的顶点都在小正方形的顶点上. (2)连接BD,则∠BCD是直角吗?说明理由. 解:(2)是.理由如下: ∵BC2=20,CD2=5,BD2=25, ∴BC2+CD2=BD2. ∴∠BCD是直角. 11.如图,在 ABC中,AD⊥BC,垂足为点D.如果AD=6,BD=9,CD=4,那么∠BAC是直角吗?为什么? 解:∠BAC是直角.理由如下: ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90 . ∴AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2. ∵AD=6,BD=9,CD=4, ∴AB2=117,AC2=52. ∵BC=BD+CD=13, ∴AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC是直角. 12.满足a2+b2=c2的三个正整数称为一组勾股数,观察下列表格: a b c a,b,c之间的关系 3 4 5 32+42=52 5 12 13 52+122=132 7 24 25 72+242=252 9 40 41 92+402=412 11 60 61 112+602=612 … … … … (1)找出表中各组勾股数的两个共同点; 解:(1)①各组数均满足a2+b2=c2; ②各组数中最小的数为奇数,另外两个数是两个连续正整数. 12.满足a2+b2=c2的三个正整数称为一组勾股数,观察下列表格: a b c a,b,c之间的关系 3 4 5 32+42=52 5 12 13 52+122=132 7 24 25 72+242=252 9 40 41 92+402=412 11 60 61 112+602=612 … … … … (2)猜想各组勾股数反映出来的规律,并说明你的猜想是正确的; 解:(2)设m为大于1的奇数,将m2拆分为两个连续正整数n,n+1的和,则m,n,n+1构成一组勾股数.理由如下: ∵m2=n+(n+1), ∴m2+n2=n+(n+1)+n2=n2+2n+1=(n+1)2. ∴m,n,n+1是一组勾股数. a b c a,b,c之间的关系 3 4 5 32+42=52 5 12 13 52+122=132 7 24 25 72+242=252 9 40 41 92+402=412 11 60 61 112+602=612 … … … … 12.满足a2+b2=c2的三个正整数称为一组勾股数,观察下列表格: a b c a,b,c之间的关系 3 4 5 32+42=52 5 12 13 52+122=132 7 24 25 72+242=252 9 40 41 92+402=412 11 60 61 112+602=612 … … … … (3)写出当a=17时的一组勾股数. 解:(3)17,144,145. ∴S四边形ABCD=S ABC+S DAC=AB•BC+DA•AC= 9 12+ 15 8=114. ∴S阴影=S ACB-S BDC= 12 5- 4 3=24. 8.已知线段 AB=50 cm,若以点A为圆心,AB长为半径画弧,再以点B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点C,则 ABC一定是 解:(1)四边形ABCD的面积为5 5- 1 5 - 2 4- 1 2- 1 4-1 1=14. $$