串讲08 随机事件（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲08 随机事件 知识结构 要点梳理 知识点一 事件的概念及分类 1、在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为必然现象，发生的结果事先不能确定的现象称为随机现象. 2、在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验叫做随机试验，简称为试验. 3、随机试验每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母w表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母表示 4、如果随机试验的样本空间是，那么的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用英文大写字母A、B、C等表示，事件中的每一个元素都称为基本事件． 也是的子集，可以看作是一个事件，但由于空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集称为不可能事件 知识点二 频率 在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝__　为事件A出现的频率，其取值范围是__[0,1]__． 知识点三 概率 (1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间__[0,1]__中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为__P(A)__，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性__大小__． (2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于__概率__，因此可以用__频率__来估计概率． (3)说明：任何事件发生的概率都是区间__[0,1]__上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是__很少__发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是__经常__发生． 知识点四 事件概率的性质 （1）对于任意事件A，； （2）对于必然事件，； （3）对于不可能事件，． 知识点五 古典概型 (1)定义：如果一个随机试验满足： ①有限性：样本空间的样本点总数有限； ②等可能性：每次试验中，样本空间中的各个样本点出现的可能性相等． 那么这样的随机试验称为古典概型． (2) 计算公式计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为 P(A)＝=． 知识点六 互斥事件 在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. 知识点七 互斥事件的概率加法公式 一般地，当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作. 若事件A与事件B互斥，则 称为互斥事件的概率加法公式. 题型探究： 考点一 事件类型的判断 例1．下列事件为随机事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 【归纳提升】　判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． 【变式】下列事件中，随机事件的个数为（    ） ①甲，乙两人下棋，甲获胜； ②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数； ③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖； ④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 频率与概率 例2. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 例3．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请回答问题. 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 715 发芽的频率 (1)完成上面表格； (2)该油菜籽发芽的概率约是多少？ 【归纳提升】　随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率． 此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率． 【变式】1. 某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 2. 用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 . 四面体的面 1 2 3 4 频数 19 23 22 36 考点四 随机试验的样本空间、样本点 例4．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间. (1)某人射击一次，命中的环数； (2)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取1个球； (3)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取2个球． [分析]　根据所给随机事件的条件，逐一将试验的结果列出来． 例5．将一枚骰子先后抛掷两次，则： (1)一共有几个样本点？ (2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？ [归纳提升]　 列举试验的所有可能结果的方法 (1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件； (2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果． 【变式】1．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ． 2．从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 考点五　古典概型概率的求法 例5. 同时掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 例6. 同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ） A． B． C． D． [归纳提升]　 1. 对于古典概型，任何事件A的概率为：P(A)＝． 2．求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出样本点的总数n； (3)算出事件A中包含的样本点个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． 【变式探究】．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率为（    ） A． B． C． D． 考点六 互斥事件的判断 例7. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 [归纳提升] 判断事件是否互斥的两步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． 【变式】在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 考点七 概率加法公式的应用 例8.据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示： 等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0. 05 0. 14 0. 35 0. 30 0. 10 0. 06 求：(1)等候人数不超过1的概率； (2)等候人数大于等于4的概率． 【归纳提升】　解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件” 【变式】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（    ） A． B． C． D． 素养作业 1．下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 2. 下列说法不正确的是（    ） A．必然事件是一定条件下必定发生的事件 B．不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件 C．随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 D．事件A发生的概率一定满足 3. 在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是 A．样本空间中共有10个样本点 B．事件A中有6个样本点 C．样本点6在事件A内 D．事件A中包含样本点11 4. 抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 5．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 6．已知集合，从集合中任取不同的两个数作为点的坐标，则事件“点落在轴上”包含的基本事件共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7. 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中: ①3件都是正品； ②至少有1件是次品； ③3件都是次品； ④至少有1件是正品. 随机事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 . 8．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量（单位：g）如下． 125  120  122  105  130  114  116  95  120  134 则样本数据落在内的频率为 ． 9．判断正误． （1）随机事件的频率和概率不可能相等．( ) （2）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( ) （3）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( ) 10．设事件是互斥事件，且，则 . 11．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位同学分到写有自己学号卡片的概率为 . 12. 下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题． 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1347 1794 2688 发芽的频率 (1)完成上面表格（精确到小数点后三位）； (2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？ 13．先后抛掷同一枚硬币三次，若正面朝上记为1，反面朝上记为0． (1)写出这个试验的所有可能结果； (2)写出事件“三次结果对应的数字和为1”； (3)写出事件“第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲08 随机事件 知识结构 要点梳理 知识点一 事件的概念及分类 1、在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为必然现象，发生的结果事先不能确定的现象称为随机现象. 2、在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验叫做随机试验，简称为试验. 3、随机试验每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母w表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母表示 4、如果随机试验的样本空间是，那么的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用英文大写字母A、B、C等表示，事件中的每一个元素都称为基本事件． 也是的子集，可以看作是一个事件，但由于空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集称为不可能事件 知识点二 频率 在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝__　为事件A出现的频率，其取值范围是__[0,1]__． 知识点三 概率 (1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间__[0,1]__中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为__P(A)__，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性__大小__． (2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于__概率__，因此可以用__频率__来估计概率． (3)说明：任何事件发生的概率都是区间__[0,1]__上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是__很少__发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是__经常__发生． 知识点四 事件概率的性质 （1）对于任意事件A，； （2）对于必然事件，； （3）对于不可能事件，． 知识点五 古典概型 (1)定义：如果一个随机试验满足： ①有限性：样本空间的样本点总数有限； ②等可能性：每次试验中，样本空间中的各个样本点出现的可能性相等． 那么这样的随机试验称为古典概型． (2) 计算公式计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为 P(A)＝=． 知识点六 互斥事件 在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. 知识点七 互斥事件的概率加法公式 一般地，当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作. 若事件A与事件B互斥，则 称为互斥事件的概率加法公式. 题型探究： 考点一 事件类型的判断 例1．下列事件为随机事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件． 故选：C 【归纳提升】　判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． 【变式】下列事件中，随机事件的个数为（    ） ①甲，乙两人下棋，甲获胜； ②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数； ③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖； ④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据随机事件的知识确定正确答案. 【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件， ④是不可能事件，所以随机事件的个数为个. 故选：C 考点二 频率与概率 例2. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【分析】运用频率定义计算即可. 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 例3．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请回答问题. 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 715 发芽的频率 (1)完成上面表格； (2)该油菜籽发芽的概率约是多少？ [解析]　(1)填入表中的数据依次为1,0. 8,0. 9，0. 857，0. 892,0. 910,0. 913,0. 893,0. 905． (2)该油菜籽发芽的概率约为0. 9． 【归纳提升】　随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率． 此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率． 【变式】1. 某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【答案】C 【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解. 【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率. 故选：C. 2. 用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 . 四面体的面 1 2 3 4 频数 19 23 22 36 【答案】0.22/ 【分析】根据频数计算出频率即可估计概率. 【详解】标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计值为0.22. 故答案为：0.22. 考点四 随机试验的样本空间、样本点 例4．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间. (1)某人射击一次，命中的环数； (2)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取1个球； (3)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取2个球． [分析]　根据所给随机事件的条件，逐一将试验的结果列出来． [解析]　(1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种可能结果，样本空间为｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝． (2)条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能结果，样本空间为｛a，b，c，d｝． (3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种可能结果．样本空间为｛(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)｝． [归纳提升]　 列举试验的所有可能结果的方法 (1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件； (2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果． 例5．将一枚骰子先后抛掷两次，则： (1)一共有几个样本点？ (2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？ 【解析】(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共36个样本点． (2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 【变式】1．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ． 【答案】 5 【分析】根据题意结合样本空间和样本点的概念分析求解. 【详解】由题意可知：样本空间为； 其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个． 故答案为：；5. 2．从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 【答案】6 【分析】根据要求一一列举即可. 【详解】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有； 不含a，b，含c的有；， 即该试验的样本点数为6. 故答案为：6 考点五　古典概型概率的求法 例5. 同时掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举法解决即可. 【详解】列表得 共有36种等可能的结果， 向上的点数之和是6的情况有5种， 掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是， 故选：D 例6. 同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案. 【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正）， 根据古典概型，概率为， 故选：A. [归纳提升]　 1. 对于古典概型，任何事件A的概率为：P(A)＝． 2．求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出样本点的总数n； (3)算出事件A中包含的样本点个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． 【变式探究】．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数， 可得， ， 共个基本事件， 其中取出的两个数不是连续自然数的有 ， ， 共个基本事件， 取出的两个数不是连续自然数的概率为. 故选：C 考点六 互斥事件的判断 例7. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断即可. 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：A [归纳提升] 判断事件是否互斥的两步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． 【变式】在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果. 【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件， ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件， 故选：B． 考点七 概率加法公式的应用 例8.据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示： 等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0. 05 0. 14 0. 35 0. 30 0. 10 0. 06 求：(1)等候人数不超过1的概率； (2)等候人数大于等于4的概率． 【解析】　设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥． (1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0. 05＋0. 14＝0. 19，即等候人数不超过1的概率为0. 19． (2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D．故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0. 10＋0. 06＝0. 16，即等候人数大于等于4的概率为0. 16. 【归纳提升】　解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件” 【变式】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件概率计算公式直接计算. 【详解】事件为掷出向上为偶数点，所以， 事件为掷出向上为3点，所以， 又事件，是互斥事件， 所以， 故选：B. 素养作业 1．下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用随机事件的概念直接判断． 【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨， 所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件； 对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件； 对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签， 所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件； 对于④，因为向量的模大于等于0， 所以向量的模不小于0，故为必然事件. 综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B. 2. 下列说法不正确的是（    ） A．必然事件是一定条件下必定发生的事件 B．不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件 C．随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 D．事件A发生的概率一定满足 【答案】D 【分析】根据事件的分类和定义即可得出选项. 【详解】解:由题知,根据事件的分类和定义可知,选项A,B,C正确; 关于选项D,若事件为必然事件,则, 故选项D错误. 故选:D 3. 在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是 A．样本空间中共有10个样本点 B．事件A中有6个样本点 C．样本点6在事件A内 D．事件A中包含样本点11 【答案】C 【解析】连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点；事件A={6,7,8,9,10}，由此判断选项。 【详解】解析：样本空间中有11个样本点，故A错；事件A中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错. 故选：C 4. 抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【分析】列出试验的所有基本事件，求得事件包含的基本事件数，利用古典概率公式求解即可排除A，对于B,C,D项，只需理解试验中事件发生的频率值是试验值，而事件发生的概率值是稳定值，概率是频率的趋近值，即可一一判断. 【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况， 故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误； 对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误； 对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误； 对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确. 故选：D. 5．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得. 【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人， 所以学习时间不少于6小时的概率为. 故选：B 6．已知集合，从集合中任取不同的两个数作为点的坐标，则事件“点落在轴上”包含的基本事件共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】列举出满足条件的点的坐标，即可得解. 【详解】“点落在轴上”包含的基本事件有：、、、、、、，共个. 故选：A. 7. 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中: ①3件都是正品； ②至少有1件是次品； ③3件都是次品； ④至少有1件是正品. 随机事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 . 【答案】 ①② ④ ③ 【分析】根据正品和次品产品的数目，结合事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于①，由题意知，抽出的3件可能都是正品，故①是随机事件； 对于②，由题意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是随机事件； 对于③，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件； 对于④，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件. 故答案为：①②；④；③. 8．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量（单位：g）如下． 125  120  122  105  130  114  116  95  120  134 则样本数据落在内的频率为 ． 【答案】0.4 【分析】根据频率的计算公式即可求解. 【详解】解：因为样本数据落在内的有4个：120，122，116，120， 所以样本数据落在内的频率为， 故答案为：0.4. 9．判断正误． （1）随机事件的频率和概率不可能相等．( ) （2）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( ) （3）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( ) 【答案】 × × × 【详解】（1）二者可能相等； （2）频率会发生变化，概率不会变化； （3）概率和频率均能反映随机事件发生可能性的大小. 10．设事件是互斥事件，且，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解. 【详解】事件是互斥事件，且，所以. 故答案为： 11．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位同学分到写有自己学号卡片的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】利用枚举法列举出样本空间所有的的样本点，利用古典概型即可求解. 【详解】设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3， 用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号． 三人可能拿到的卡片结果为，共6种， 其中满足题意的结果有，共3种， 结合古典概型计算公式，可得满足题意的概率为 故答案为：. 12. 下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题． 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1347 1794 2688 发芽的频率 (1)完成上面表格（精确到小数点后三位）； (2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？ 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据频率、频数以及总数之间的关系可完善表格； （2）利用频率与概率之间的关系可得出结论. 【详解】（1）解：表格如下表所示： 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1347 1794 2688 发芽的频率 （2）解：由于每批种子发芽的频率稳定在附近，所以估计该油菜籽发芽的概率为. 13．先后抛掷同一枚硬币三次，若正面朝上记为1，反面朝上记为0． (1)写出这个试验的所有可能结果； (2)写出事件“三次结果对应的数字和为1”； (3)写出事件“第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”． 【答案】(1)，，，，，，， (2)； (3). 【分析】（1）按三次抛掷结果对应数字为一组，写出所有可能结果. （2）根据给定条件，写出（1）中只出现1个数字1的所有结果. （3）根据给定条件，按第二次数字为0，1分类结果. 【详解】（1）记表示三次抛掷结果对应数字分别是，，． 这个试验的所有可能结果为，，，，，，，． （2）由（1）知，“三次结果对应的数字和为1”的事件为． （3）由（1）知， “第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”的事件为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$