专题 用待定系数法求二次函数的解析式7大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 用待定系数法求二次函数的解析式 ★1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法． 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣m）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法． 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ★2、二次函数的解析式有三种常见形式： ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； ②代：把已知条件代入，得到关于待定系数的方程（组）； ③解：解方程（组），求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式． ★3、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． ★4、设特殊二次函数表达式的技巧 （1）若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为y＝ax2 ； （2）若抛物线的对称轴是y 轴，则表达式可设为y＝ax2+c ； （3）若抛物线经过原点，则表达式可设为y＝ax2+bx ； （4）若抛物线的顶点在x轴上，则表达式可设为y＝a（x﹣m）2 . 题型一 利用一般式求二次函数的解析式 1．已知抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）三点，则抛物线的解析式是 　 　． 2．（2023秋•漳州期中）设二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示，则该二次函数的表达式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 m n 2 p … A．y＝2x2﹣x+2 B．y＝x2﹣2x+2 C．y＝﹣2x2﹣5x+2 D．y＝﹣x2+2x+2 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 … 则这个二次函数的表达式为 　 　． 4．已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．求这个二次函数的表达式； 5．（2023秋•前郭县期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象恰好经过 A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线的解析式． 6．（2023•泸县校级模拟）已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 题型二 利用顶点式求二次函数的解析式 1．（2023秋•长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 2．（2023秋•牡丹区校级期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•川汇区校级月考）已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（1，4），则抛物线的解析式为 　　 ． 4．（2024•梅县区一模）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 　 ． 5．若函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式　 　． 6．（2023•庐江县模拟）已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 7．（2024•顺德区校级三模）已知二次函数的图象经过点（﹣2，﹣1），且当x＝﹣1时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 题型三 利用交点式求二次函数的解析式 1．（2023秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　 ． 2．（2023秋•高新区校级月考）已知抛物线经过点（0，﹣2），（3，0），（﹣1，0），则抛物线的解析式 　． 3．如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（9，0），且3AB＝4OC，则此抛物线的表达式为 　 　． 4．已知二次函数对称轴为直线x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为（0，﹣2），则此二次函数的解析式为 　 　． 5．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的 解析式． 6．某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 题型四 利用平移变换求二次函数的解析式 1．（2024春•大余县月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+5 2．（2024•固原模拟）把抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 3．（2023秋•东西湖区期末）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣（x﹣2）2+4 D．y＝﹣x2+4 4．（2024•中阳县三模）将抛物线y＝2x2+4x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2（x﹣1）2+2 D．y＝2（x﹣1）2﹣2 5．（2023秋•潼关县期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式． 6．（2023秋•华阴市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（1，2），B（﹣3，2）两点． （1）求a、b的值； （2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数解析式． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A（﹣1，2），且经过B（﹣3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 题型五 利用对称变换求二次函数的解析式 1．（2023•蒲城县二模）将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（　　） A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．，b＝﹣1 C．，b＝﹣1 D．a＝1，b＝2 2．把抛物线y＝2x2先沿x轴翻折，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝﹣2（x+3）2 D．y＝﹣2（x﹣3）2 3．（2023秋•通海县校级期中）若抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（1，﹣1），且经过点A关于原点O的对称点A′，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣1 B．y＝2（x+1）2+1 C．y（x+1）2+1 D．y（x﹣1）2﹣1 4．（2023春•长宁区校级期中）如果抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，那么抛物线C的表达式是 　 　． 5．（2023秋•江北区校级期中）作抛物线y＝﹣5x2+2关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 　 　． 6．（2023秋•江北区校级期中）作抛物线y＝﹣5x2+2关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 　 　． 7．（2023秋•无为市月考）将抛物线y＝2x2先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度，所得到的新抛物线经过点（1，3）． （1）求新抛物线的表达式； （2）求新抛物线关于y轴对称的图象所对应的函数表达式． 题型六 待定系数法与二次函数性质的综合 1．（2023春•仓山区校级期末）已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3） 和C（3，12）． （1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标； （2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围． 2．（2023秋•南关区校级期末）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）． （1）求该二次函数解析式； （2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围． 3．（2024•西湖区校级开学）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≤4时，求自变量x的取值范围． 4．（2023秋•西湖区校级期末）已知二次函数y＝x2+bx+c经过（0，﹣2）和（1，﹣2）． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值． 5．（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）． （1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值． 6．（2023秋•怀宁县期末）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上． （1）当m＝2时，求a和b的值； （2）若二次函数的图象经过点A（﹣n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜1时，求n的取值范围； （3）求证：b2+4a＝0． 题型七 结合几何图形求二次函数解析式 1．（2023秋•同江市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）抛物线在第二象限的图象上有一点M，过M作垂直于x轴的直线交直线BC与F，当MF最大时，求点M的坐标． 2．如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC＝CB，∠ACB＝90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、C两点． （1）求a、b的值； （2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式． 3．（2023春•丰城市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023•利通区校级模拟）如图抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024•松山区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接PC，PB，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）请用含m的代数式表示△PBC的面积； （3）当△PBC的面积为时，求点P的坐标． 6．（2023秋•封丘县校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E（2，m）在抛物线上，P为直线AE下方抛物线上的点，当△AEP的面积最大时，求出点P的坐标． 7．（2024•虎林市校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝2OB＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为线段AC上方抛物线上的一个动点，求四边形BCPA面积的最大值． 8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P在x轴上，直线CP将△ABC分成面积相等的两部分，求P点坐标． 9．（2022秋•东莞市校级月考）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 用待定系数法求二次函数的解析式 ★1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法． 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣m）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法． 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ★2、二次函数的解析式有三种常见形式： ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； ②代：把已知条件代入，得到关于待定系数的方程（组）； ③解：解方程（组），求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式． ★3、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． ★4、设特殊二次函数表达式的技巧 （1）若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为y＝ax2 ； （2）若抛物线的对称轴是y 轴，则表达式可设为y＝ax2+c ； （3）若抛物线经过原点，则表达式可设为y＝ax2+bx ； （4）若抛物线的顶点在x轴上，则表达式可设为y＝a（x﹣m）2 . 题型一 利用一般式求二次函数的解析式 1．已知抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）三点，则抛物线的解析式是 　 　． 【分析】已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式． 【解答】解：设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）三点， ∴ ∴； ∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． 故答案为y＝x2﹣2x﹣3． 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2023秋•漳州期中）设二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示，则该二次函数的表达式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 m n 2 p … A．y＝2x2﹣x+2 B．y＝x2﹣2x+2 C．y＝﹣2x2﹣5x+2 D．y＝﹣x2+2x+2 【分析】根据表格代入两组数据进行求解函数解析式即可． 【解答】解：由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+2． 故选B． 【点评】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，正确进行计算是解题关键． 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 … 则这个二次函数的表达式为 　 　． 【分析】利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【解答】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键． 4．已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．求这个二次函数的表达式； 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点分别代入求出a，b，c即可． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， （﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入得， 解得：． ∴y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2023秋•前郭县期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象恰好经过 A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线的解析式． 【分析】把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程组可得a，b的值，从而求得答案． 【解答】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5得： ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5． 【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 6．（2023•泸县校级模拟）已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【解答】解：（1）设y＝a（x﹣3）（x+1）， 将（2，﹣6）代入，则a＝2， ∴y＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6， （2）∵，， ∴顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线，其顶点坐标是． 题型二 利用顶点式求二次函数的解析式 1．（2023秋•长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 【分析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解； 【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4， 将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2， 故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4． 故选：C． 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k 2．（2023秋•牡丹区校级期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴a， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y（x+2）2+1． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键． 3．（2023秋•川汇区校级月考）已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（1，4），则抛物线的解析式为 　　 ． 【分析】先根据顶点坐标（2，1），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再把（1，4）代入解析式，得到a的值． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，1）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 把点（1，4）代入得到4＝a（1﹣2）2+1， ∴a＝3， ∴抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2+1， 故答案为：y＝3（x﹣2）2+1． 【点评】此题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．（2024•梅县区一模）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 　 ． 【分析】先设顶点式y＝a（x+1）2+6，然后根据二次函数的性质确定a的值即可． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）2+6， ∵抛物线y＝a（x+1）2+6的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同， ∴a＝﹣2， ∴所求抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+6． 故答案为：y＝﹣2（x+1）2+6． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 5．若函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式　 　． 【分析】函数图象经过原点，可得等式ah2+k＝0；已知最大值8，可得k＝8；根据抛物线形状相同可知a＝﹣2，从而可求h． 【解答】解：∵函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点， 把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0， ∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k＝8， 又∵形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同， ∴二次项系数a＝﹣2， 把a＝﹣2，k＝8代入ah2+k＝0中，得h＝±2， ∴函数解析式是：y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8， 故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及待定系数法求解析式． 6．（2023•庐江县模拟）已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把x＝1代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【解答】解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2， 将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3， 解得a＝1， 所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6． （2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下： 把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11， ∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 7．（2024•顺德区校级三模）已知二次函数的图象经过点（﹣2，﹣1），且当x＝﹣1时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【分析】根据待定系数法求解． 【解答】解：设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2+2， 由题意得：a（﹣2+1）2+2＝﹣1， 解得：a＝﹣3， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣3（x+1）2+2， 即：y＝﹣3x2﹣6x﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 题型三 利用交点式求二次函数的解析式 1．（2023秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　 ． 【分析】设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，3）代入得3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3． 故答案为：y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 2．（2023秋•高新区校级月考）已知抛物线经过点（0，﹣2），（3，0），（﹣1，0），则抛物线的解析式 　． 【分析】根据题意可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+1），再将点（0，﹣2）代入，求出a的值，最后改为一般式即可． 【解答】解：∵抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）， 故可设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+1）， ∵该抛物线又经过点（0，﹣2）， ∴﹣2＝a（0﹣3）（0+1） 解得： ∴该抛物线的解析式为：， 整理，得：． 故答案为：． 【点评】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键． 3．如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（9，0），且3AB＝4OC，则此抛物线的表达式为 　 　． 【分析】先得到OA＝3，OB＝9，则AB＝12，再利用3AB＝4OC得到OC＝9，可得到C点坐标为（0，9），设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），把C点坐标代入可求出a的值为，则二次函数的解析式为y（x+3）（x﹣9）x2+2x+9． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（9，0）， ∴OA＝3，OB＝9， ∴AB＝12， ∵3AB＝4OC， ∴OC＝9， ∴C点坐标为（0，9）， 设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9）， 把C（0，9）代入得a×3×（﹣9）＝9， 解得a， ∴二次函数的解析式为y（x+3）（x﹣9） ∴yx2+2x+9． 故答案为：yx2+2x+9． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（其中a≠0，x1，x2为抛物线与x轴两交点的横坐标），再把函数图象上第三个点的坐标代入得到关于a的方程组，解方程求出a的值，从而确定二次函数的解析式． 4．已知二次函数对称轴为直线x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为（0，﹣2），则此二次函数的解析式为 　 　． 【分析】根据抛物线对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6求出抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0）和（5，0），利用顶点式设出解析式，结合点（0，﹣2）求出a即可求解． （3）∵抛物线对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0）和（5，0）． 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）（抛物线的交点式）， 将点（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣5a， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x+1）（x﹣5）x2x﹣2． 故答案为：yx2x﹣2． 【点评】此题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 5．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的 解析式． 【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出对应的a的值，从而可得抛物线解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1）， ∵OC＝2， ∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2； 把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2． 即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 6．某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），求出抛物线与直线的交点为（3，5），将（3，5）代入抛物线解析式可得a的值． 【解答】解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2）， 抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5， ∴5＝2x﹣1， 解得：x＝3， ∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5）， 将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）（x+2），即． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 题型四 利用平移变换求二次函数的解析式 1．（2024春•大余县月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+5 【分析】根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝2（x+1）2﹣5， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律． 2．（2024•固原模拟）把抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴把抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：y＝（x﹣1+1）2﹣1+2，即y＝x2+1． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 3．（2023秋•东西湖区期末）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣（x﹣2）2+4 D．y＝﹣x2+4 【分析】根据左移加右移减，可得答案． 【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣1）2+2+2，即y＝﹣（x﹣2）2+4． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．（2024•中阳县三模）将抛物线y＝2x2+4x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2（x﹣1）2+2 D．y＝2（x﹣1）2﹣2 【分析】先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2（x﹣1）2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 5．（2023秋•潼关县期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式． 【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）， 把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， 所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6．（2023秋•华阴市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（1，2），B（﹣3，2）两点． （1）求a、b的值； （2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数解析式． 【分析】（1）把A、B点的坐标代入y＝ax2+bx﹣1中得到a、b的方程组，然后解方程组可确定抛物线解析式． （2）由平移规律求出平移后的函数关系式则可． 【解答】解：（1）把A（1，2），B（﹣3，2）代入y＝ax2+bx﹣1， 得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1． （2）将该抛物线向上平移3个单位长度得，y＝x2+2x﹣1+3， 故平移后得解析式为y＝x2+2x+2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，函数图象的平移，求出抛物线解析式是解题的关键． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A（﹣1，2），且经过B（﹣3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式； （2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可． 【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（﹣1，2）， ∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+2， 把点B（﹣3，0）代入二次函数解析式，得： 0＝a（﹣3+1）2+2， 解得：a， ∴二次函数解析式为y（x+1）2+2，即yx2﹣x； （2）令y＝0，得x2+2x﹣3＝0， 解方程得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）和（1，0）， ∴二次函数图象上的点（﹣3，0）向右平移3个单位后经过坐标原点， 故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 题型五 利用对称变换求二次函数的解析式 1．（2023•蒲城县二模）将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（　　） A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．，b＝﹣1 C．，b＝﹣1 D．a＝1，b＝2 【分析】先根据平移的特征得到将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线为y＝ax2+bx﹣4， ∵得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称， ∴a，， 解得a，b＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 2．把抛物线y＝2x2先沿x轴翻折，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝﹣2（x+3）2 D．y＝﹣2（x﹣3）2 【分析】根据点关于x轴对称的特点即可得出﹣y＝2x2，即y＝﹣2x2，然后根据平移的规律即可得到y＝﹣2（x+3）2． 【解答】解：∵点关于x轴对称时“横坐标相等，纵坐标互为相反数”， ∴把抛物线y＝2x2先沿x轴翻折得到﹣y＝2x2，即y＝﹣2x2， 再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为y＝﹣2（x+3）2． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点以及平移的规律是解答此题的关键． 3．（2023秋•通海县校级期中）若抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（1，﹣1），且经过点A关于原点O的对称点A′，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣1 B．y＝2（x+1）2+1 C．y（x+1）2+1 D．y（x﹣1）2﹣1 【分析】利用待定系数法即可求得． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（1，﹣1）， ∴y＝a（x﹣1）2﹣1， ∵经过点A关于原点O的对称点A′（﹣1，1）， ∴1＝4a﹣1， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）2﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据中心对称的性质求得A′的坐标是解题的关键． 4．（2023春•长宁区校级期中）如果抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，那么抛物线C的表达式是 　 　． 【分析】根据抛物线y＝5x2+1与抛物线C关于y轴对称，将抛物线解析式中x换成﹣x，整理后即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称， ∴抛物线C的解析式为y＝（﹣x）2+3•（﹣x），即y＝x2﹣3x． 故答案为：y＝x2﹣3x． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是能够熟练的找出已知函数关于y轴对称的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的变换找出变换后的函数解析式是关键． 5．（2023秋•江北区校级期中）作抛物线y＝﹣5x2+2关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 　 　． 【分析】若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【解答】解：抛物线关于轴作轴对称变换，则所得抛物线为﹣y＝﹣5x2+2，即y＝5x2﹣2． 故答案为：y＝5x2﹣2． 【点评】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴、轴的对称点的坐标特征． 6．（2023秋•江北区校级期中）作抛物线y＝﹣5x2+2关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 　 　． 【分析】若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【解答】解：抛物线关于轴作轴对称变换，则所得抛物线为﹣y＝﹣5x2+2，即y＝5x2﹣2． 故答案为：y＝5x2﹣2． 【点评】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴、轴的对称点的坐标特征． 7．（2023秋•无为市月考）将抛物线y＝2x2先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度，所得到的新抛物线经过点（1，3）． （1）求新抛物线的表达式； （2）求新抛物线关于y轴对称的图象所对应的函数表达式． 【分析】（1）根据平移的规律：左加右减，上加下减得到y＝2（x+a）2﹣5，代入点（1，3）求得a的值即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论． 【解答】解：（1）将抛物线y＝2x2先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度得到y＝2（x+a）2﹣5， 代入点（1，3）得，3＝2（1+a）2﹣5，解得a＝1或a＝﹣3（舍去）， ∴新抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣5； （2）∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴抛物线y＝2（x+1）2﹣5关于y轴对称的图象解析式为y＝2（﹣x+1）2﹣5，即y＝2（x﹣1）2﹣5． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，掌握平移的性质是解本题的关键． 题型六 待定系数法与二次函数性质的综合 1．（2023春•仓山区校级期末）已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3） 和C（3，12）． （1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标； （2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围． 【分析】（1）设一般式为y＝ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可； （2）先得出抛物线的对称轴直线，再利用二次函数的对称性得出点N的对称点，最后利用二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入， 得，解得：， ∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3， ∵y＝2x2﹣x﹣3， ∴顶点D的坐标为（，）； （2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x， ∴N（1，y2）关于直线x的对称点为（，﹣2）， ∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2， ∴x1≤1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023秋•南关区校级期末）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）． （1）求该二次函数解析式； （2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围． 【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2，将点（1，0）代入上式即可求解； （2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围． 【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2， x＝1时，y＝a（1+2）2﹣2＝0，解得：a， 故抛物线的表达式为：y（x+2）2﹣2； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣2， 当x＝4时，y＝6， ∴当﹣5≤x＜4时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6， 故答案为：﹣2≤y＜6． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 3．（2024•西湖区校级开学）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≤4时，求自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是y＝a（x）2+k，把点的坐标代入求出即可； （2）求出y＝4时对应的x的值，再根据二次函数的性质得出即可． 【解答】解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x， 设二次函数的表达式是y＝a（x）2+k， 把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：， 解得：a＝1，k， y＝（x）2x2+x﹣2， 所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2； （2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4， 解得：x＝﹣3或2， ∵a＝1＞0， ∴抛物算开口向上， ∵对称轴是直线x， ∴当y≤4时，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤2． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键． 4．（2023秋•西湖区校级期末）已知二次函数y＝x2+bx+c经过（0，﹣2）和（1，﹣2）． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值． 【分析】（1）先将（0，﹣2）和（1，﹣2）分别代入y＝x2+bx+c求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c经过（0，﹣2）和（1，﹣2）， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2； ∴对称轴为直线； （2）由（1）可知y＝x2﹣x﹣2的开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线在﹣1≤x≤3内， ∴当时，有最小值； ∵直线x＝3距直线最远， ∴当x＝3时，有最大值y＝32﹣3﹣2＝4． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）． （1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值． 【分析】（1）利用二次函数性质直接将点代入求解参数即可求出表达式，再根据二次函数的顶点公式求出顶点即可； （2）根据二次函数最值只能在顶点或两侧端点分类计算，由范围找到对应关系，列式计算，最后验证即可． 【解答】解：（1）将点（﹣1，8）代入二次函数y＝ax2﹣4x+3中得： 8＝a+4+3 ∴a＝1 ∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3， ∴y＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； （2）∵二次函数最值只能出现在端点或顶点， x＝0时，y＝0+0+3＝3， 时，， x＝m时，y＝am2﹣4m+3； ∵a＞0， ∴， ∴y＝9时，只有x＝m时，y＝am2﹣4m+3＝9成立， ∴时，， 解得a＝2， 代入am2﹣4m+3＝9得： 2m2﹣4m+3＝9， 解得m＝3或﹣1， ∵0≤x≤m， ∴m≥0， ∴m＝3 检验a＝2，对称轴为， 0≤x≤3时，顶点处函数值最小为1，x＝3时，函数值最大为9，符合要求， 故a＝2，m＝3． 【点评】本题主要考查不定的二次函数在不定范围下的最值问题，通常根据二次函数的最值只能出现在两侧端点或顶点，根据可能的对应关系，可以先分类讨论计算，得到确定的函数解析式，再根据实际图象计算最值情况，检测是否可取．且开口向上顶点处不作最大值，开口向下顶点处不作最小值，可用来进行一些对应关系的筛选是解题的关键． 6．（2023秋•怀宁县期末）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上． （1）当m＝2时，求a和b的值； （2）若二次函数的图象经过点A（﹣n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜1时，求n的取值范围； （3）求证：b2+4a＝0． 【分析】（1）当m＝2时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（﹣2，0）和（6，0），用待定系数法可得a，b的值； （2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m，根据﹣2＜m＜1，即得﹣2＜n＜4； （3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0． 【解答】（1）解：当m＝2时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（﹣2，0）和（6，0）， 把（﹣2，0）和（6，0）代入解析式得：， ∴解得， ∴a，b＝1； （2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， ∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上， ∴由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0， ∴， ∵﹣2＜m＜1， ∴， ∴﹣2＜n＜4， ∴n的取值范围为﹣2＜n＜4且n≠0； （3）证明∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0）， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴b＝﹣2am， ∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）， ∵点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上， ∴， ①×3+②得：12am2+12＝0， ∴am2+1＝0， ∴b2+4a＝4a×0＝0． 【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用． 题型七 结合几何图形求二次函数解析式 1．（2023秋•同江市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）抛物线在第二象限的图象上有一点M，过M作垂直于x轴的直线交直线BC与F，当MF最大时，求点M的坐标． 【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，确定出解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）根据题意画出图形，设出M坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式，表示出F坐标，进而表示出MF，利用二次函数性质求出MF取得最大值时a的值，即可确定出此时M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（﹣3，0）， ∴把A（1，0），B（﹣3，0）代入抛物线解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）； （2）如图所示，设M（a，﹣a2﹣2a+3）（a＜0）， 对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得到y＝3，即C（0，3）， 设直线BC解析式为y＝mx+n， 把B（﹣3，0）与C（0，3）代入得：， 解得：，即直线BC解析式为y＝x+3， ∴F（t，t+3）， ∴MF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t， ∵t＝﹣1＜0， ∴当t时，MF取得最大值， 则此时M坐标为（，）． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数性质与最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC＝CB，∠ACB＝90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、C两点． （1）求a、b的值； （2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式． 【分析】（1）只需把点A、C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题； （2）可设新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+k，然后求出点B的坐标，并把点B的坐标代入新抛物线的解析式，就可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、C（3，0）， ∴， 解得：； （2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B， 则新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+k， ∵A（﹣1，0）、C（3，0）， ∴CB＝AC＝3﹣（﹣1）＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴点B的坐标为（3，4）． ∵点B（3，4）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3+k上， ∴9﹣6﹣3+k＝4， 解得：k＝4， ∴新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式等知识，求得B的坐标是解题的关键． 3．（2023春•丰城市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可解决问题． （2）根据轴对称的性质，连接AC，则AC与抛物线对称轴的交点即为△PAB的周长最小时点P的位置，据此可解决问题． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为y． 因为， 所以抛物线的对称轴为直线x＝3． （2）存在． 因为A，B为定点， 所以线段AB的长为定值． 则当PA+PB最小时，△PAB的周长最小． 因为点B与点C关于抛物线的对称轴对称， 则连接AC，与抛物线对称轴的交点即为△PAB的周长最小时点P的位置， 设直线AC的函数解析式为y＝mx+n， 则， 解得， 所以直线AC的函数解析式为y． 将x＝3代入直线AC的函数解析式得， y， 所以点P的坐标为（3，）． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2023•利通区校级模拟）如图抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3）， ∴， 解得b＝﹣2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在，理由如下： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D点坐标为（1，﹣4）， 令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C点坐标为（0，﹣3）， 又∵B点坐标为（2，﹣3）， ∴BC∥x轴， ∴S△BCD2×1＝1， 设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， ∴S△PBC2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|， 当|m2﹣2m|＝3×1时， 解得m＝1±2， 当m＝1+2＝3时，m2﹣2m﹣3＝0， 当m＝1﹣2＝﹣1时，m2﹣2m﹣3＝0， 综上，P点坐标为（3，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键． 5．（2024•松山区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接PC，PB，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）请用含m的代数式表示△PBC的面积； （3）当△PBC的面积为时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）连接OP，用四边形BCPO的面积减去△POB的面积即可解决问题． （3）根据（2）中的结果，建立关于m的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为y． （2）连接PO， 令x＝0得， y＝3， 所以点C的坐标为（0，3）， ∴． 将x＝m代入抛物线解析式得， y， 所以． 又因为， 所以S△PBC＝S△POC+S△BOC﹣S△POB． （3）由（2）知， 当△PBC的面积为时， ， 解得m1＝﹣1，m2＝5， 因为点P在第二象限， 所以m＝﹣1， 则， 所以点P的坐标为（﹣1，）． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及三角形的面积，熟知待定系数法及将△PBC的面积进行合理的转化是解题的关键． 6．（2023秋•封丘县校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E（2，m）在抛物线上，P为直线AE下方抛物线上的点，当△AEP的面积最大时，求出点P的坐标． 【分析】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）首先可得点E（2，﹣3），确定出直线AE解析式，过点P作PF∥y轴交AE于点F，设出点P的坐标，进而表示出点F的坐标，用三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可确定出最大值时，点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c得：， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）当x＝2时，m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3）， 设直线AE的解析为y＝kx+n（k≠0）， 把A（﹣1，0），E（2，﹣3）分别代入y＝kx+n得：， 解得， ∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1． 过点P作PF∥y轴交AE于点F， 设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则F（t，﹣t﹣1）， ∵P为直线AE下方抛物线上的点∴﹣1＜t＜2∵S△AEP＝S△APF+S△EPF， ∴ ， ∴当时，S△AEP取得最大值， ∴． 【点评】此题考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，三角形面积的计算，二次函数的最值问题，熟练掌握和运用二次函数的最值问题的解决方法是解决本题的关键． 7．（2024•虎林市校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝2OB＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为线段AC上方抛物线上的一个动点，求四边形BCPA面积的最大值． 【分析】（1）根据题意可求出A、B、C三点的坐标，代入抛物线表达式，解方程组，即可得出抛物线的解析式； （2）因为S四边形BCPA＝S△BCA+S△ACP，先求出S△BCA，再过C作CD//AB交AP于点D，设P（t，yt），yA P＝k x+b（k≠0），将P，A代入，得出yAP的解析式，用t表示出D点坐标，再得到CD的长度，根据S△ACP＝S△PCD+S△ACD，得到S四边形BCPA的二次函数表达式，解出最大值即可． 【解答】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2， ∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2）， 将点A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），分别代入y＝ax2+bx+c中， 可得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）∵S四边形BCPA＝S△BCA+S△ACP， ， ∴S△A C P最大时，S四边形BCPA最大， 过C作CD//AB交AP于点D 设P（t，yt）， 设yA P＝k x+b（k≠0），将P，A代入得 ，解得： ∴ ∵CD∥AB ∴yD＝yC＝2 ∵D在上， ∴， 即 ∵S△ACP＝S△PCD+S△ACD，， 易知y1+y2＝yt， ∴， ∴， ∴t＝1时， ∴四边形BCPA面积的最大值为4． 【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式、二次函数的最值问题、三角形的面积公式，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P在x轴上，直线CP将△ABC分成面积相等的两部分，求P点坐标． 【分析】（1）把A点坐标代入y＝x2+bx+c可求出c＝2，利用抛物线的对称轴可求出b＝4，从而得到抛物线解析式； （2）先利用抛物线的对称性确定B、C点的坐标，再确定AB的中点D的坐标为（，），接着利用待定系数法求出直线CD的解析式为yx，然后解方程x0可得到P点坐标． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得b＝4，c＝2， 所以抛物线解析式为y＝x2+4x+2； （2）∵BC∥x轴， ∴点B、C关于直线x＝﹣2对称， 而BC＝6， ∴B点的横坐标为﹣5，C点的横坐标为1， 当x＝1时，y＝x2+4x+2＝1+4+2＝7， ∴B（﹣5，7），C（1，7）， 设AB的中点为D，则D（，）， 设直线CD的解析式为y＝mx+n， 把C（1，7），D（，）分别代入得， 解得， ∴直线CD的解析式为yx， 当y＝0时，x0， 解得x， ∴P点坐标为（，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 9．（2022秋•东莞市校级月考）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣5），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）先利用抛物线解析式确定E（4，﹣3），再利用待定系数法求出直线CE的解析式为y＝﹣2x+5，接着求出直线y＝﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0），然后根据三角形面积公式计算△CBE的面积； （3）设P（t，t2﹣6t+5）（1＜t＜5），利用三角形面积公式得到（5﹣1）×[﹣（t2﹣6t+5）]＝6，然后解方程可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5）， 把C（0，5）代入得a×（0﹣1）×（0﹣5）＝5， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣6x+5； （2）把E（4，m）代入y＝x2﹣6x+5得m＝16﹣24+5＝﹣3， ∴E（4，﹣3）， 把C（0，5），E（4，﹣3）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+5， ∵直线y＝﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0）， ∴△CBE的面积S（5）×（5+3）＝10； （3）设P（t，t2﹣6t+5）（1＜t＜5）， ∵△ABP的面积为6， ∴（5﹣1）×[﹣（t2﹣6t+5）]＝6， 解得t1＝2，t2＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 $$