专题04 一元一次方程、不等式（组）（3大命题点）-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题04 一元一次方程不等式（组）-（原卷版） 命题点1 一元一次方程 1．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 2．（2024·四川德阳·三模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些小球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A．5 B．10 C．15 D．以上均不正确 3．（2024·湖南常德·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第一天走的路程为（　　） A．192里 B．189里 C．144里 D．96里 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论： ①火车的速度为30米/秒； ②火车的长度为150米； ③火车整体都在隧道内的时间为35秒； ④隧道长度为1200米．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽淮北·三模）某人购买了若干千克A品种石榴，又购买了若干千克B品种石榴，两次购买的石榴质量之比为，如果将石榴以A、B两个品种购买单价的平均数为售价全部卖给超市会赔钱，这说明（    ） A．A品种的单价大于B品种的单价 B．A品种的单价等于B品种的单价 C．A品种的单价小于B品种的单价 D．赔钱与A品种、B品种的单价无关 7．（2024·广西玉林·三模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏无锡·三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”若设牧童x人，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ） A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较 10．（2024·河北石家庄·三模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（    ） 甲：设人数为人，可列方程， 乙：设羊价为元，可列方程为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 11．（2024·河南周口·三模）端午将至，某商场推出佳节促销活动，将标价为360元的某品牌空气炸锅打九折销售，经计算发现打折后该空气炸锅的利润率为．则该品牌空气炸锅的成本价是（   ） A．324元 B．388.8元 C．300元 D．280元 12．（2024·河北张家口·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（    ） A． B． C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出 D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出 13．（2024·甘肃陇南·三模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·辽宁抚顺·三模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（    ） A． B． C． D． 15．（2024·四川雅安·三模）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ． 17．（2024·湖北·三模）在我国古代重要的数学著作《孙子算经》中，记载有这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.间车有几何?”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问车辆有多少?若设车辆数为x，则可列方程为 ． 18．（2024·上海·三模）针对A商品，某商场推出了“第二件半价”的营销广告，那么购买两件A商品相当于享受了打几折的优惠？ ． 19．（2024·山东济宁·三模）某商场将一件商品在进价的基础上加价标价，再打八折出售，售价为120元，则这件商品的进价为 元． 20．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某商店足球的零售价为每个元，若足球按8折降价销售，仍可获利，则这种足球的进价为每个 元． 21．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在数轴上，点表示的数分别为，且，若，则点表示的数为 ．    22．（2024·河北唐山·三模）在数学中，每一个数字都可以用含有运算符号“+，，×，÷”的等式表示，如，，，等等．请仿照示例，解决下列问题： (1)将表示为一个负数与一个正数的和； (2)将表示为两个无理数的积； (3)嘉嘉将表示为，请你求出的值． 23．（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 24．（2024·山东枣庄·三模）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 25．（2024·河南南阳·三模）东东家电某款电热水壶原售价元，现推出三种优惠活动，并规定购买此款电热水壶时只能选择其中一种优惠活动． 优惠活动一 优惠活动二 优惠活动三 当购买此款电热水壶不超过个时，无优惠；当购买超过个时，超过的部分每个打六折． 按原售价购买此款电热水壶，当消费额每满元时减元．（如：购买电热水壶个，花费元；购买电热水壶个，花费元） 购买阳光健康保险，每购买元保险，则所购电热水壶每个优惠元，且保险额必须为的整数倍，最多购买元保险． 某单位为员工谋福利，计划一次性购买个电热水壶． (1)若该单位购买个此电热水壶，优惠活动一和优惠活动二选择哪个更合算？请说明理由； (2)若该单位购买此款电热水壶原价费用不到元，且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算，请求出的取值范围； (3)若选择优惠活动三，该单位为员工购买个元阳光健康保险（为正整数）． ①该单位需要花费的总费用为________元（用含，的代数式表示）； ②若，购买多少个电热水壶时，优惠活动三和优惠活动一的花费相同？ 26．（2024·天津·三模）已知小明家、书店、森林公园依次在同一条直线上，书店离家，  森林公园离家．小明从家里出发，匀速骑行后到达书店，在书店停留后，匀速骑行9分钟到达森林公园：在森林公园游玩一段时间，然后返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 5 (2)填空： ① a的值为 ②小明从家出发前往书店的骑行速度为 ； ③当 时，请直接写出小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式． (3)小明从森林公园出发回家时，爸爸从家开车出发匀速行驶前往森林公园，已知爸爸的速度为0.8km/min，当小明与爸爸相遇时，求小明离开家的时间．（直接写出结果） 27．（2024·山西晋城·三模）某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下，在操场上对无人机进行了一次测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为． (1)求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数） (2)无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，） 命题点2 一元一次不等式 28．（2024·广西贺州·三模）若，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 29．（2024·湖南常德·三模）若，且则（　　） A． B． C． D． 30．（2024·浙江·三模）已知三个非零实数a，b，c满足，且，则（     ） A． B． C． D． 31．（2024·江苏淮安·三模）估计的值应在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 32．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（    ） 执行标准 GB17761-2018 最高车速 电池电压 不超过48V 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 A． B． C． D． 33．（2024·甘肃武威·三模）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（   ）    A． B． C． D． 34．（2024·河南周口·三模）若二次根式有意义，则x的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（2024·浙江温州·三模）一元一次不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·内蒙古赤峰·三模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·山东聊城·三模）对于两个不相等的实数p、q，用符号表示 p、q两数中较小的数，如；用表示p，q两数中较大者，如．使，同时成立的x的取值范围是 ． 38．（2024·河南信阳·三模）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 39．（2024·河北唐山·三模）定义新运算：对于任意实数，均有，则不等式的解集为 ． 40．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 41．（2024·安徽马鞍山·三模）不等式的解集为 ． 42．（2024·四川南充·三模）关于的不等式的解集为，则的值为 ． 43．（2024·安徽合肥·三模）不等式的解集是 ． 44．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ． 45．（2024·湖北孝感·三模）请写出使不等式成立的一个x的值为 ． 46．（2024·陕西咸阳·三模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集．    47．（2024·河北石家庄·三模）已知整式，整式．如图，有一电脑程序，能处理整式的相关运算，若输入整式A，B后，屏幕上自动呈现整式C，但由于屏幕大小有限，只显示了整式C的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式C缺失的部分“”； (2)嘉淇发现：若k取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的k的最小值． 48．（2024·辽宁抚顺·三模）某公司为了开展团建活动，计划购买一批甲、乙、丙三种款式的文化衫，乙和丙的件数相同，单价也相同．已知购买2件甲款式和3件乙款式共需460元，购买3件甲款式和2件丙款式共需490元． (1)求每件甲、乙和丙款式文化衫的售价； (2)如果公司计划购买这三种服装共100件，乙、丙款式总数不超过甲款式件数的4倍，则团建活动最少需要购买甲款式文化衫多少件？ 49．（2024·江苏盐城·三模）已知关于x的方程的解是，求关于y的不等式的解集． 50．（2024·河南周口·三模）某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示． 甲 乙 进价（元/千克） a b 售价（元/千克） 20 22 若该超市第一次购进30千克甲种水果和40千克乙种水果共花费1090元，第二次购进50千克甲种水果和50千克乙种水果共花费1550元． (1)求a，b的值； (2)若不考虑损耗，该超市两次购进的水果均售罄，则两次一共赚了多少钱？ (3)若该超市第三次购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 命题点3 一元一次不等式组 51．（2024·浙江台州·三模）不等式组的的解集是（    ）． A． B． C． D．无解 52．（2024·湖南长沙·三模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 53．（2024·广东珠海·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（2024·湖南益阳·三模）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（   ） A．   B．   C．   D．   55．（2024·河南商丘·三模）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 56．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 57．（2024·湖南·三模）不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（    ） A． B． C． D． 58．（2024·上海静安·三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（    ） A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为和 D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的 59．（2024·河南驻马店·三模）不等式组 的整数解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 60．（2024·安徽合肥·三模）不等式组的最小整数解为（    ） A．0 B． C．1 D．3 61．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 62．（2024·江苏宿迁·三模）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．（2024·河南南阳·三模）不等式组的最小整数解是 ． 64．（2024·河北邯郸·三模）写出一个符合的整数x的值： ． 65．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 66．（2024·河南周口·三模）不等式组的整数解的和为 ． 67．（2024·河南平顶山·三模）若实数m在数轴上的位置如图所示，则关于x的不等式组的解集为 ． 68．（2024·重庆开州·三模）如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 69．（2024·黑龙江佳木斯·三模）若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 70．（2024·四川内江·三模）若，则 ． 71．（2024·重庆·三模）若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 72．（2024·重庆九龙坡·三模）若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 73．（2024·天津和平·三模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得　　； (2)解不等式②，得　　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为　　． 74．（2024·河南南阳·三模）不等式组的解集为 ． 75．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式组：． 76．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 77．（2024·天津·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 78．（2024·四川成都·三模）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． (1)求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ (2)该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 一元一次方程不等式（组） 命题点1 一元一次方程 命题点2 一元一次不等式 命题点3 一元一次不等式组 试卷第14页，共14页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程不等式（组）-（解析版） 命题点1 一元一次方程 1．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意将代入，即可求解． 【详解】解：依题意，解得：， 故选：C． 2．（2024·四川德阳·三模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些小球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A．5 B．10 C．15 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．设袋子中黄球有x个，根据摸出黄球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得： ， 解得：， ∴袋子中黄球的个数最有可能是5个，红球有（个） 故选：C． 3．（2024·湖南常德·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第一天走的路程为（　　） A．192里 B．189里 C．144里 D．96里 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第一天走了里，根据“路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设第一天走了里， 由题意得：， 解得：， 此人第一天走的路程为192里， 故选：A． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论： ①火车的速度为30米/秒； ②火车的长度为150米； ③火车整体都在隧道内的时间为35秒； ④隧道长度为1200米．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，一元一次方程：行程问题(一元一次方程的应用)，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合火车速度是匀速，结合图象得出点的横坐标等于，则火车整体都在隧道内的时间为35秒，当，此时火车完全进入隧道内，即可判断②是正确的；运用路程除以时间等于速度，得出①火车的速度为30米/秒，结合路程等于时间乘以速度，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵火车匀速通过隧道时且火车本身长度是不变的 ∴点的横坐标等于 ∵火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如上图所示 ∴（秒）， 则③火车整体都在隧道内的时间为35秒是正确的； 当，此时火车完全进入隧道内，即， 故②火车的长度为150米是正确的； 则当火车当进去隧道时到完全进入隧道，所用时间为秒， ∴（米/秒） ∴①火车的速度为30米/秒是正确的； 设隧道长为米 则结合图象信息，得 解得 ∴④隧道长度为1200米是正确的； 故选：D． 5．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数■是a， 把代入，得：， 解得， 故选A． 6．（2024·安徽淮北·三模）某人购买了若干千克A品种石榴，又购买了若干千克B品种石榴，两次购买的石榴质量之比为，如果将石榴以A、B两个品种购买单价的平均数为售价全部卖给超市会赔钱，这说明（    ） A．A品种的单价大于B品种的单价 B．A品种的单价等于B品种的单价 C．A品种的单价小于B品种的单价 D．赔钱与A品种、B品种的单价无关 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用以及不等式的实际应用，设A品种的单价和B品种的单价分别为元，两次购买的石榴质量分别为，表示平均，数为，结合相等，则不亏本，因为赔钱，则，解出不等式，即可作答． 【详解】解：设A品种的单价和B品种的单价分别为元， ∵两次购买的石榴质量之比为， ∴设两次购买的石榴质量分别为， 则以A、B两个品种购买单价的平均数为， 当相等时，则刚好不亏本，即， ∵如果将石榴以A、B两个品种购买单价的平均数为售价全部卖给超市会赔钱， ∴， 即， 则A品种的单价大于B品种的单价， 故选：A． 7．（2024·广西玉林·三模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 8．（2024·江苏无锡·三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”若设牧童x人，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿，每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设牧童x人，根据题意可得：， 故选：C． 9．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ） A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程组是解题的关键．设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，通过理解题意，可知本题的等量关系为．即，根据等量关系求解即可． 【详解】解：设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z， 根据题意可得， 解得， ∴ 即“□”最重， 故选：C． 10．（2024·河北石家庄·三模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（    ） 甲：设人数为人，可列方程， 乙：设羊价为元，可列方程为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设人数为人，可列方程，如果设羊价为元，可列方程，然后即可作答． 【详解】设人数为人，可列方程， 如果设羊价为元，可列方程， 则甲对，乙错． 故选：A． 11．（2024·河南周口·三模）端午将至，某商场推出佳节促销活动，将标价为360元的某品牌空气炸锅打九折销售，经计算发现打折后该空气炸锅的利润率为．则该品牌空气炸锅的成本价是（   ） A．324元 B．388.8元 C．300元 D．280元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“打折后该空气炸锅的利润率为”列方程求解． 【详解】解：设该品牌空气炸锅的成本价是x元， 则， 解得：， 即：该商品的成本价是300元． 故选：C． 12．（2024·河北张家口·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（    ） A． B． C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出 D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程及一元一次不等式的应用，解此类题目的关键是读懂图意，找出相等关系和不等关系列方程及不等式．由体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，得，故项错误；由装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，得从而，故项错误；取时，，判断项错误；由 可判断项正确 【详解】解：∵体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，故项错误； ∴， ∵装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为， ∴， ∴ ∴，故项错误； ∵， ∴取时，， ∴杯子中仅放入个小铁块，水不一定会溢出，故项错误； ∵ ∴ ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出故项正确； 故选：． 13．（2024·甘肃陇南·三模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：． 14．（2024·辽宁抚顺·三模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设箭尺每小时上升，由于刚开始箭尺有一定读数，根据2小时时箭尺的读数-2小时箭尺上升的高度=6小时时箭尺的读数-6小时箭尺上升的高度，即可列出方程． 本题主要考查了列一元一次方程解应用题，据题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】设箭尺每小时上升，则可列方程， 故选：A． 15．（2024·四川雅安·三模）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的解和求代数式的值，先将代入一元一次方程，得出，再将原式整理成，代入得出，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 故答案为：2024． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ． 【答案】4312 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“递减数”的定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴这个数为， 故答案为：． 17．（2024·湖北·三模）在我国古代重要的数学著作《孙子算经》中，记载有这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.间车有几何?”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问车辆有多少?若设车辆数为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设车辆数为x，根据人数相等，列出等式即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． 【详解】设车辆数为x，根据题意，得， 故答案为：． 18．（2024·上海·三模）针对A商品，某商场推出了“第二件半价”的营销广告，那么购买两件A商品相当于享受了打几折的优惠？ ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键．根据题意设商品原价x元，则第二件商品元，买两件商品共打了y折，列出方程即可求解． 【详解】解：设商品原价x元，则第二件商品元，买两件商品共打了y折，根据题意可得： ， 解得：， 即购买两件A商品相当于享受了打折的优惠． 故答案为：． 19．（2024·山东济宁·三模）某商场将一件商品在进价的基础上加价标价，再打八折出售，售价为120元，则这件商品的进价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件商品的进价为x元，根据题意得，解方程即可求出商品的进价． 【详解】解：设这件商品的进价为x元， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 20．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某商店足球的零售价为每个元，若足球按8折降价销售，仍可获利，则这种足球的进价为每个 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，找对数量关系是解题关键． 根据利润等于售价减去进价，设进价为每个元，可列出方程求解． 【详解】解：设足球的进价为每个元． 故答案为：． 21．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在数轴上，点表示的数分别为，且，若，则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点距离，根据题意可知，，则而因此． 【详解】解：， ， ， ， 点表示的数为， 故答案为：． 22．（2024·河北唐山·三模）在数学中，每一个数字都可以用含有运算符号“+，，×，÷”的等式表示，如，，，等等．请仿照示例，解决下列问题： (1)将表示为一个负数与一个正数的和； (2)将表示为两个无理数的积； (3)嘉嘉将表示为，请你求出的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查的 是实数的运算，二次根式的乘法运算，方程的应用，理解题意是关键； （1）根据实数的加法法则写表达式即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则写表达式即可； （3）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：（答案不唯一）； （3）解：由题可得， 解得． 23．（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】(1) (2)嘉嘉把“8”错写成了3 (3)淇淇的计算结果比原题的正确结果大10 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意，得：， 解得， 即嘉嘉把“8”错写成了3； （3）解：淇淇的结果为：， ， 淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 24．（2024·山东枣庄·三模）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【答案】(1)三 (2)每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 (3)有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）由表中数据即可得出结论； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观， 故答案为：三； （2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元； （3）解：设每张成人票和学生票都打折， 由题意得：， 解得：， 即每张成人票和学生票都打5折， 设购买成人票张，则购买学生票张， 由题意得：， 解得：， 必需购买成人票， 或2， 有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张． 25．（2024·河南南阳·三模）东东家电某款电热水壶原售价元，现推出三种优惠活动，并规定购买此款电热水壶时只能选择其中一种优惠活动． 优惠活动一 优惠活动二 优惠活动三 当购买此款电热水壶不超过个时，无优惠；当购买超过个时，超过的部分每个打六折． 按原售价购买此款电热水壶，当消费额每满元时减元．（如：购买电热水壶个，花费元；购买电热水壶个，花费元） 购买阳光健康保险，每购买元保险，则所购电热水壶每个优惠元，且保险额必须为的整数倍，最多购买元保险． 某单位为员工谋福利，计划一次性购买个电热水壶． (1)若该单位购买个此电热水壶，优惠活动一和优惠活动二选择哪个更合算？请说明理由； (2)若该单位购买此款电热水壶原价费用不到元，且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算，请求出的取值范围； (3)若选择优惠活动三，该单位为员工购买个元阳光健康保险（为正整数）． ①该单位需要花费的总费用为________元（用含，的代数式表示）； ②若，购买多少个电热水壶时，优惠活动三和优惠活动一的花费相同？ 【答案】(1)若该单位购买个此电热水壶，优惠活动一更合算； (2)该单位购买此款电热水壶原价费用不到元，且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算，的取值范围为； (3)①；②若，购买个电热水壶时，优惠活动三和优惠活动一的花费相同． 【分析】本题考查了一元一次不等式组与实际问题，一元一次方程与实际问题，审清题意找出题目中的数量关系和等量关系是解题的关键． （1）根据优惠活动一和优惠活动二的方案直接代入即可解答； （2）根据“该单位购买此款电热水壶原价费用不到元，且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算”列不等式组即可解答； （3）①根据优惠活动三的方案“购买阳光健康保险，每购买元保险，则所购电热水壶每个优惠元，且保险额必须为的整数倍，最多购买元保险”即可解答；②根据优惠活动三和优惠活动一的方案即可解答． 【详解】（1）解：∵优惠活动一的方案为：当购买此款电热水壶不超过个时，无优惠；当购买超过个时，超过的部分每个打六折， ∴购买个电热壶需付款：， ∵优惠活动二的方案为：按原售价购买此款电热水壶，当消费额每满元时减元， ∴， ∴， ∴优惠活动一比优惠活动二更合算； （2）解：∵该单位购买此款电热水壶原价费用不到元，且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算， ∴, 解得：, ∵该单位购买此款电热水壶原价费用不到元， ∴, ∴该单位购买此款电热水壶原价费用不到元，且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算，的取值范围为； （3）解：①若选择优惠活动三，该单位为员工购买个元阳光健康保险， ∴该单位需要花费的总费用为， 故答案为； ②∵优惠活动一的方案为：当购买此款电热水壶不超过个时，无优惠；当购买超过个时，超过的部分每个打六折， ∴优惠活动一需付款：， ∵优惠活动三的方案为购买阳光健康保险，每购买元保险，则所购电热水壶每个优惠元，且保险额必须为的整数倍，最多购买元保险， ∴优惠活动三需付款：， ∴当时，优惠活动三需付款：， ∵优惠活动三和优惠活动一的花费相同， ∴， ∴解得： ∴若，购买个电热水壶时，优惠活动三和优惠活动一的花费相同． 26．（2024·天津·三模）已知小明家、书店、森林公园依次在同一条直线上，书店离家，  森林公园离家．小明从家里出发，匀速骑行后到达书店，在书店停留后，匀速骑行9分钟到达森林公园：在森林公园游玩一段时间，然后返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 5 (2)填空： ① a的值为 ②小明从家出发前往书店的骑行速度为 ； ③当 时，请直接写出小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式． (3)小明从森林公园出发回家时，爸爸从家开车出发匀速行驶前往森林公园，已知爸爸的速度为0.8km/min，当小明与爸爸相遇时，求小明离开家的时间．（直接写出结果） 【答案】(1)2.75；5；4.4 (2)①40；②0.275；③ (3) 【分析】本题考查函数图象，一次函数的应用．从图象获取信息是解题的关键． （1）根据图象求解即可； （2）①根据图象求解即可；②根据速度等于路程除以时间，计算即可；③分两种情况：当时，当时，分别 求解即可； （3）先求出小明从森林公园出发回家的速度为，再设小明离开家的时间为，则爸爸开车的时间为，根据速度和乘以时间等于总路程，列方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 2.75 5 5 4.4 （2）解：①由图可得：， ②小明从家出发前往书店的骑行速度为， ③当时，； 当时，设距离 y 关于时间x 的函数解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴ 综上，当 时小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式为． （3）解：小明从森林公园出发回家的速度为， 设小明离开家的时间为，则爸爸开车的时间为，根据题意，得 解得： 答：小明离开家的时间为． 27．（2024·山西晋城·三模）某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下，在操场上对无人机进行了一次测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为． (1)求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数） (2)无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)约为 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质，一元一次方程的应用． （1）过点C作，垂足为点H，由等角对等边可得出，设，则，解可得出，再根据列出关于x的一次方程，求解后再加上距离地面的高度即可得出答案． （2）过点P作，垂足为点M，根据题意可得，解求出，再根据等量代换以及线段的和差求出，最后根据速度等于距离除以时间即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为点H， ， ． 设，则． 在中，． ， ， ． ． 答：无人机离地面高度约为． （2）过点P作，垂足为点M， 无人机沿水平飞行， ． 在中，． ． 又． ． 答：无人机水平飞行的平均速度约为． 命题点2 一元一次不等式 28．（2024·广西贺州·三模）若，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ，故原选项正确，符合题意； B、， ∴，故原选项错误，不符合题意； C、， ∴，故原选项错误，不符合题意； D、， ，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 29．（2024·湖南常德·三模）若，且则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；根据不等式的性质即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解： ，且， ， 故选：B． 30．（2024·浙江·三模）已知三个非零实数a，b，c满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的几何性质和有理数的加法意义，可知实数在原点一侧，实数和在原点的另一侧，分类讨论，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， 表示实数的点在数轴距离原点最远，表示，的点在数轴上距离原点比要近一些， ， 当在原点右侧时，则，在原点左侧；当在原点左侧时，则，在原点右侧， ，；或， ∴或，， 故答案为：B． 31．（2024·江苏淮安·三模）估计的值应在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式加减运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，再由即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 32．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（    ） 执行标准 GB17761-2018 最高车速 电池电压 不超过48V 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式，根据题意，结合“不超过48V”，“16周岁以下”， “最高车速”等含义列不等式即可作答． 【详解】∵最高车速为， ∴， ∵电池电压不超过48V， ∴， ∵可载一名16周岁以下未成年人， ∴， 故选：D． 33．（2024·甘肃武威·三模）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．由数轴知且，再确定其公共部分即可． 【详解】解：由数轴知且， 其公共部分为， 故选：B． 34．（2024·河南周口·三模）若二次根式有意义，则x的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于或等于0进行求解即可． 【详解】要使二次根式有意义，则， ∴，只有选项符合， 故选：； 35．（2024·浙江温州·三模）一元一次不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式及在数轴上表示其解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴表示为： 故选：A． 36．（2024·内蒙古赤峰·三模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算即可求解． 【详解】解： 去分母得， 移项合并同类项得， 化系数为1得，， 故选：C． 37．（2024·山东聊城·三模）对于两个不相等的实数p、q，用符号表示 p、q两数中较小的数，如；用表示p，q两数中较大者，如．使，同时成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，以及求一元一次不等式组的解集，根据题意得到，，求解这两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解，”取它们的公共解即可． 【详解】解： ， 由题意得，， 解得， ， 由题意得，， 解得， 综上所述，x的取值范围是， 故答案为：． 38．（2024·河南信阳·三模）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，解一元一次不等式，根据象限特点求点坐标中的参数，掌握象限中符号特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 39．（2024·河北唐山·三模）定义新运算：对于任意实数，均有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据定义，变形为，解不等式即可． 本题考查了新定义，解不等式，正确理解定义，准确转化为不等式解答是解题的关键． 【详解】根据定义，变形为， 解得． 故答案为：． 40．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 41．（2024·安徽马鞍山·三模）不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为的步骤求解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 故答案为：． 42．（2024·四川南充·三模）关于的不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据得解集为，结合不等式的解集为，得到，解得，解答即可． 本题考查了不等式的解法，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】∵, 解得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：1． 43．（2024·安徽合肥·三模）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不等式两边同除以或乘以一个负数，不等号方向发生改变． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 不等式两边同除以得：． 故答案为：． 44．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式．将方程组内两个方程相加是解题的关键． 两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式即可． 【详解】解：， ①+②得： 解得： ， ． 得：， 解得：． 故答案为：． 45．（2024·湖北孝感·三模）请写出使不等式成立的一个x的值为 ． 【答案】（答案不唯一，小于即可） 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解： 当时，不等式成立 故答案为：（答案不唯一，小于即可） 46．（2024·陕西咸阳·三模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集．    【答案】，见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式， 不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 数轴表示如下：    47．（2024·河北石家庄·三模）已知整式，整式．如图，有一电脑程序，能处理整式的相关运算，若输入整式A，B后，屏幕上自动呈现整式C，但由于屏幕大小有限，只显示了整式C的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式C缺失的部分“”； (2)嘉淇发现：若k取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的k的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及整式的加减运算，解不等式，正确掌握整式运算法则是解题的关键． （1）因为，所以把数代入得出，即可作答． （2）先整理，再结合“整式的值大于5”，进行列不等式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 即程序自动呈现的整式C缺失的部分“”为； （2）解：∵， ∵整式的值大于5， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k的最小值为1． 48．（2024·辽宁抚顺·三模）某公司为了开展团建活动，计划购买一批甲、乙、丙三种款式的文化衫，乙和丙的件数相同，单价也相同．已知购买2件甲款式和3件乙款式共需460元，购买3件甲款式和2件丙款式共需490元． (1)求每件甲、乙和丙款式文化衫的售价； (2)如果公司计划购买这三种服装共100件，乙、丙款式总数不超过甲款式件数的4倍，则团建活动最少需要购买甲款式文化衫多少件？ 【答案】(1)每件甲款式文化衫的售价为110元，每件乙款式文化衫的售价为80元，每件丙款式文化衫的售价为80元 (2)团建活动最少需要购买甲款式文化衫20件 【分析】（1）设甲款式的售价为元/件，乙款式的售价为元/件，则丙款式的售价为元/件，然后根据知购买2件甲款式和3件乙款式共需460元，购买3件甲款式和2件丙款式共需490元列出方程组求解即可； （2）设购买甲款式件，则购买乙、丙款式总数为件，然后根据乙、丙款式总数不超过甲款式件数的4倍列出不等式求解即可． 本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键在于能够正确理解题意找出等量关系和不等量关系． 【详解】（1）设甲款式的售价为元/件，乙款式的售价为元/件，则丙款式的售价为元/件， 依题意，得， 解得， 答：每件甲款式文化衫的售价为110元，每件乙款式文化衫的售价为80元，每件丙款式文化衫的售价为80元； （2）设购买甲款式件，则购买乙、丙款式总数为件， 依题意，得， 解得， 答：团建活动最少需要购买甲款式文化衫20件． 49．（2024·江苏盐城·三模）已知关于x的方程的解是，求关于y的不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，把代入已知的分式方程，可以求得的值；然后解关于的不等式即可． 【详解】解：根据题意可得：把代入， ∴ 解得， ∴， 解得． ∴不等式的解集． 50．（2024·河南周口·三模）某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示． 甲 乙 进价（元/千克） a b 售价（元/千克） 20 22 若该超市第一次购进30千克甲种水果和40千克乙种水果共花费1090元，第二次购进50千克甲种水果和50千克乙种水果共花费1550元． (1)求a，b的值； (2)若不考虑损耗，该超市两次购进的水果均售罄，则两次一共赚了多少钱？ (3)若该超市第三次购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)两次一共赚了940元 (3)购进甲种水果225千克，乙种水果75千克时，能获得最大利润，最大利润是1575元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列方程组和函数表达式； （1）根据两次购进的甲和乙的总花费，列方程组并求解即可； （2）由利润售价进价求解即可； （3）根据题意求得函数表达式，再根据不等式关系求出自变量的范围，再根据一次函数的增减性求解即可； 【详解】（1）解：由题意得， ，解得； （2）（元）， ∴该超市两次一共赚了940元． （3）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果克，利润为w， 由题意可知，， ∵甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍， ∴， 解得， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为（元）， ∴购进甲种水果225千克，乙种水果75千克时，能获得最大利润，最大利润是1575元． 命题点3 一元一次不等式组 51．（2024·浙江台州·三模）不等式组的的解集是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解本题的关键；先分别求解每个不等式，再找出公共部分即可求解． 【详解】解： 解①可得：， 解②可得：， 故不等组的解集为：， 故选：A． 52．（2024·湖南长沙·三模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，定方向，定边界，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解不等式组，得： ， 用数轴表示解集如图： 故选B． 53．（2024·广东珠海·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，求得不等式组的解集成为解题的关键. 先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为 在数轴上表示如下： . 故选D. 54．（2024·湖南益阳·三模）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及一元一次不等式组的解法，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由点在平面直角坐标系的第四象限内，可知：， 解得：； 则x的取值范围在数轴上的表示为    故选：C． 55．（2024·河南商丘·三模）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查象限内点的坐标的特点,解不等式组及表示不等式的解集，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键.根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴， 解得：， 把解集在数轴上表示为：    故选C. 56．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 57．（2024·湖南·三模）不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了不等式的应用，解题的关键是读懂题意，搞懂甲药品冷库储藏温度和乙药品冷库储藏温度的要求．根据甲、乙两种药品的存放范围，得出甲、乙两种共同存放在一起的温度范围，即可得出答案， 【详解】解：∵甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为， ∴甲、乙两种共同存放在一起保存时的温度范围是：， ∴四个选项中，只有C选项符合要求． 故选：C． 58．（2024·上海静安·三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（    ） A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为和 D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的 【答案】D 【分析】由数轴可知，解集为，然后根据解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由数轴可知，解集为， A中的解集为，故不符合要求； B中，， 解得，，故不符合要求； C中第三边长的取值范围为，即，故不符合要求； D中， 解得，，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 59．（2024·河南驻马店·三模）不等式组 的整数解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题先求出不等式组中每个不等式的解集，再找出解集的公共解集，最后找出其整数解即可． 【详解】 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 整数解有、，共2个， 故选：B． 60．（2024·安徽合肥·三模）不等式组的最小整数解为（    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别解每个不等式，然后取两个不等式解集的公共部分确定不等式组的解集，再从解集中找出最小整数解即可． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴最小整数解为0． 故选：A． 61．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集确定参数，解一元一次不等式组；先求出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集与所求不等式组解集比较即可求得m与n的值，从而求出的值． 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：； 由于不等式组的解集为， 所以， 则， 所以； 故选：A． 62．（2024·江苏宿迁·三模）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和不等式组的最小整数解是2确定b的范围成为解题的关键， 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据最小整数解是2确定b的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴关于x的不等式的解集为；， ∵方程组的组最小整数解是2， ∴，即． 故选D． 63．（2024·河南南阳·三模）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为3； 故答案为：3． 64．（2024·河北邯郸·三模）写出一个符合的整数x的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查绝对值的意义，解不等式组，熟练掌握绝对值的意义是银题的关键． 根据绝对值的意义得，再由x为整数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵x为整数 ∴ 故答案为：0（答案不唯一）． 65．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴ ，且为正整数， 解得，且为正整数， ∴可以为 故答案为：（答案不唯一）． 66．（2024·河南周口·三模）不等式组的整数解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，进而求出整数解，即可解答． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 它们的和为． 故答案为：6 67．（2024·河南平顶山·三模）若实数m在数轴上的位置如图所示，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组得， ， 由数轴知， ∴不等式组解集为， 故答案为：． 68．（2024·重庆开州·三模）如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解分式方程，先根据不等式组的解集确定m的范围，再解分式方程可得m的另一个范围，进而得出m的取值范围，确定整数解，即可得出答案． 【详解】， 解得， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． ， 解得，且， ∴， 解得， ∴，且， ∴m的值为，0，2，3， 则． 故答案为：4． 69．（2024·黑龙江佳木斯·三模）若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出不等式组的解集，进而得到关于参数的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为：， ∴， ∴； 故答案为：． 70．（2024·四川内江·三模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的加减运算，根据二次根式有意义的条件正确求出x的值是解题的关键；根据二次根式有意义的条件可得，解得x，进而可求出y，最后代入求值即可； 【详解】解：由题意知：，解得：， ， ， 故答案为：． 71．（2024·重庆·三模）若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∵只有两个偶数解， 即为， ∴， 解得， 解方程得，且， ∵是整数， ∴的值为，0，， ∴满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 72．（2024·重庆九龙坡·三模）若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的整数解，掌握分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义是关键．根据分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义进行解答． 【详解】解：解不等式组， 可得， 不等式组至少有3个整数解， ， ， 解分式方程， 解得， 又分式方程有非正整数解， ，且， 且， 且， 满足条件的整数的值为：，，，0，2， 满足条件的整数的值为：． 故答案为：． 73．（2024·天津和平·三模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得　　； (2)解不等式②，得　　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为　　． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）解不等式①求解集即可； （2）解不等式②求解集即可； （3）在数轴上表示解题即可； （4）根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了写出公共部分． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）在数轴上表示为： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 74．（2024·河南南阳·三模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为． 75．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 76．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人 (2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人． 根据题意得， 解得． 答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人． （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元． 根据题意得， 解得， ． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值， ∴． 答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少． 77．（2024·天津·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先分别计算出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集，最后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为：． 78．（2024·四川成都·三模）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． (1)求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ (2)该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元 (2)应购买扇面150个，人偶50个，最大利润是1260元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． （1）设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，根据700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设应购买扇面个，则购进人偶个，根据购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．列出一元一次不等式组，解得，再设两种货品全部售出后所获利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元； （2）解：设应购买扇面个，则购进人偶个， 由题意得：， 解得：， 设两种货品全部售出后所获利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：应购买扇面150个，人偶50个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大，最大利润是1260元． 一元一次方程不等式（组） 命题点1 一元一次方程 命题点2 一元一次不等式 命题点3 一元一次不等式组 试卷第48页，共50页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 $$