第08讲 难点探究专题：特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题【四大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第08讲 难点探究专题：特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题 【题型一 特殊平行四边形中折叠问题】 例1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的周长为8，，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为 ． 【变式1-1】（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图已知长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 cm． 【变式1-2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 ． 【变式1-3】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．      【题型二 特殊平行四边形中旋转问题】 例2.（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ． 【变式2-1】（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【变式2-3】（23-24八年级上·山东烟台·期末）【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________． 【题型三 特殊平行四边形中最值问题】 例3. （22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．    【变式3-1】（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．    (1)求点C和点D的坐标． (2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标． 【变式3-3】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    (1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； (3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【题型四 特殊平行四边形中新定义问题】 例4. （22-23八年级下·湖北咸宁·期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．      【变式4-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积．            【变式4-2】（21-22八年级下·陕西西安·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形． 如图1，，四边形是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：和有公共边，所对的和相等；再比如和有公共边，此时． 概念理解 (1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且除外） (2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点．四边形_______损矩形（填“是”或“不是”）； 问题探究 (3)在（2）的条件下，连接，当平分时， ①判断四边形为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由； ②若，求四边形的面积． 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·陕西·二模）如图，在菱形中，，，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，当的值最小时，的长是 ． 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 7．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 8．（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ． 三、解答题 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长； (2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由； (3)求点相应运动的路径长． 10．（23-24八年级下·江西南昌·期中）【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点． (1)如图，连接，于点，图中有 对“勾股三角形”；分别是哪几对？ (2)如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接） 11．（23-24八年级下·重庆开州·期中）已知在正方形中，点是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点作于点，交于点，点、分别在、上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点，当的值取得最小时，直接写出的值． 12．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究： 数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接． (1)操作发现： 根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______； (2)迁移探究： 当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用： 如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______． 13．（2024·山东日照·二模）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；    (1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； (2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： (3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 14．（2023·江西九江·二模）问题提出 在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路． 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． （1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________． 类比探究 （2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________． ②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由． 拓展延伸 （3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 难点探究专题：特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题 【题型一 特殊平行四边形中折叠问题】 例1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的周长为8，，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为 ． 【答案】或1 【分析】根据菱形的周长为8，可得菱形的边长为2，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：①当时，根据菱形的性质可得，，从而得到，，根据直角三角形的性质求得的值；②当时，点E落在菱形对角线上，推出为等边三角形，从而得到的值． 【详解】解：∵菱形的周长为8， ∴， ∵点M为的中点， ∴． 由翻折可知， ∴． ①当时， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； ②当时， 则：点E落在菱形对角线上， ∵点M为的中点，为折痕，此时于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 当或1时，是直角三角形． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．解题关键是熟练掌握各个知识点． 【变式1-1】（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图已知长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 cm． 【答案】3 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边． 求的长，应先设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：3． 【变式1-2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， ，， 由折叠得点与点关于直线对称，， 垂直平分， ，， 四边形是矩形，， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．      【答案】 【分析】如图中，求出等边的高即可．如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图中，    四边形是菱形， ，， ，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴ ． 如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．    ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【题型二 特殊平行四边形中旋转问题】 例2.（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质．给出菱形的面积，结合的长即可解决问题． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 令菱形的面积为， 又∵， ∴， ∴． 又∵由绕点D旋转得到， ∴，， ∴． 在中，． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式2-1】（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， 故要使有最小值，即求的最小值， 当时，有最小值，， ， ， 线段的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式2-2】（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得； （2）由全等三角形的性质得，等量代换可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（23-24八年级上·山东烟台·期末）【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________． 【答案】（1），，证明见解析；（2）①成立，见解析；② 【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解； （2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解； ②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， ∵点G在边AB上， ∴点E，A，D三点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，理由如下： 如图，设交于点I，则，    ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【题型三 特殊平行四边形中最值问题】 例3. （22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，过点作于，证明，推出，设，则，可得，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出直线的解析式即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，    设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴时，的值最小， ∵定值， ∴当时，的值最小． 故答案为：． 【变式3-1】（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【变式3-2】（22-23八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．    (1)求点C和点D的坐标． (2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，由四边形是菱形，则，，在中，，求出，即可得到点C和点D的坐标． （2）点B，D关于直线对称．设交于，连接，则，，即．则当点P和点重合时，的值最小．在中，，则，则，求出，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， ．， 四边形是菱形， ，， 在中，， 则， ∴， ∴， ∴， ，． （2）四边形是菱形， ，D关于直线对称． 设交于，连接，则，    ，即． 当点P和点重合时，的值最小． 在中， ， ∴， 则，即， ， ． 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 【变式3-3】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    (1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； (3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)作图见解析，的最小值为6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解； （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，则，均为等边三角形， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为的中点，    连接，， ∵为的中位线， ∴，也为的中位线， 则，， ∴； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则， ∵， ∴，则为等边三角形， ∴，则， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，    ∵，则， 又∵， ∴， ∴，则点为中点， ∵，， ∴， ∴，，由勾股定理可得：，， ∴， ∵， ∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， ∵为等边三角形， ∴，由对称可知：，    则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，    ∵，则 ∴过点（点），且， 可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点， ∴此时， 作图，如下：    作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为6． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 【题型四 特殊平行四边形中新定义问题】 例4. （22-23八年级下·湖北咸宁·期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．      【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：矩形、正方形的对角线相等， 矩形和正方形是“等角线四边形”， 故答案为②④； （2）证明：连接，，       四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 四边形是等角线四边形； （3）解：当点在的上方时，如图，   是的中垂线， ， ，，， ， 四边形为等角线四边形， ， ， ； 当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，     四边形为等角线四边形， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 综上所述：这个等角线四边形的面积为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键． 【变式4-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积．            【答案】（1）见解析；（2）或；（3） 【分析】（1）根据“筝形”的定义，结合网格性质画图即可； （2）分，两种情况，画出图形，分别求解； （3）过A作，证明，得到，，再证明，从而说明四边形是正方形，设，表示出相应边，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再计算面积． 【详解】解：（1）如图，四边形即为所求；    （2）如图，当时，    ∵，，， ∴， ∴，又，， ∴四边形为矩形． ∴． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 如图，当时，连结，，    ∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∴． 综上所述，或． （3）如图，过A作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 又，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，    设，则， ，， 在中，， 即， 解得． ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，有一定综合性和拓展性，通过新图形“筝形”关联所学知识点，能够更好地体现知识点的应用． 【变式4-2】（21-22八年级下·陕西西安·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形． 如图1，，四边形是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：和有公共边，所对的和相等；再比如和有公共边，此时． 概念理解 (1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且除外） (2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点．四边形_______损矩形（填“是”或“不是”）； 问题探究 (3)在（2）的条件下，连接，当平分时， ①判断四边形为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1)∠ABD，∠ACD； (2)是 (3)①四边形ACEF为正方形，理由见解析；②． 【分析】（1）以AD为公共边，有∠ABD＝∠ACD； （2）由菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝90°，可得四边形ABCD是损矩形； （3）①由可得∠ABD＝∠CBD＝45°，由四边形ABCD为损矩形可得∠ACD＝∠ABD＝45°，然后利用菱形的性质求出∠ACE＝2∠ACD＝90°，可得结论； ②过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出AD，进而可得AF，然后根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】（1）解：由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD＝∠ACD； 故答案为：∠ABD，∠ACD； （2）∵四边形ACEF是菱形， ∴AE⊥CF， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是损矩形， 故答案为：是； （3）①四边形ACEF为正方形， 理由：如图3，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵四边形ABCD为损矩形， ∴∠ACD＝∠ABD＝45°， ∴∠ACE＝2∠ACD＝90°， ∴四边形ACEF为正方形； ②过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，如图4， ∵∠ABD＝45°，， ∴△HBD是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形ACEF为正方形， ∴， ∴四边形的面积＝． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了新定义，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，认真阅读理解新定义，作辅助线构建直角三角形是关键． 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，记、的交点为，则，，，是等边三角形，由P为中点，可得，，由折叠的性质可知，，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为，    ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵P为中点， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质是解题的关键． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标． 【详解】解：由题意，， 设，则， 由折叠可得，， ∵， ∴， 解得，， 设， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：A． 3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，可证明四边形是矩形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 4．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键． 根据题意得到点与点重合，在菱形中算出点坐标，即可解答． 【详解】 解：作于，则， 四边形是菱形，， 点的坐标为， 若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为（周）， 绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合， 点与重合， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题 5．（2024·陕西·二模）如图，在菱形中，，，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，当的值最小时，的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，，易得，进而得到，得到三点共线时，最小，确定点位置，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形中，，， ∴互相垂直平分，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴三点共线时，最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】分三种情况：当射线经过正方形的边的中点时，点在的延长线上，不合题意；当射线经过正方形的边的中点时，可得；当射线经过正方形的边的中点时，． 【详解】解：分三种情况： （1）如图1，当射线经过正方形的边的中点时，过点作交于点，    ∵在正方形中，，点E为边的中点，点为边的中点， ∴，． ∴． ∵沿折叠得到， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，点在的延长线上，不合题意，舍去． （2）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠得到， ∴，，． ∴． ∴． ∴． （3）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴，． ∵沿折叠得到， ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了正方形中的折叠问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解题的关键是分类讨论，分别画出对应的图形，利用翻折的性质解决问题． 7．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 【答案】/ 【分析】以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为，然后再求出，即可得出当最小时，的周长． 【详解】解：以C为一边在正方形内作等边，连接， 过点作于点，过点作于点， 四边形为正方形，且边长为， ，， 点为的中点， ， 和均为等边三角形，， ，，，， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，为最小， 即为最小，最小值为， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理的， ， 的周长为：． 即当最小时，的周长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得出最小时，点的位置是解题的关键． 8．（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，共线面积最小，利用，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：连接，作于， ， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为， 共线，面积最小为0， 故答案为：；． 三、解答题 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长； (2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由； (3)求点相应运动的路径长． 【答案】(1) (2)的面积有最小值2， (3)点相应运动的路径长为 【分析】（1）运用矩形性质和翻折性质得出：，再利用勾股定理即可求得答案； （2）由，可知当，即时，，取得最小值2，再利用矩形性质即可求出答案； （3）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：的面积有最小值2，此时． 如图2，， 当，即时，， 取得最小值2， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：如图3，当点与重合时， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴， 设， 则， 在中，则有， 解得， ∴， 如图4中，当点运动到时，的值最大， ， 如图5中，当点运动到点落在时，（即）， ∴点的运动轨迹， 运动路径． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是探究出点E的运动轨迹，运用勾股定理解决问题． 10．（23-24八年级下·江西南昌·期中）【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点． (1)如图，连接，于点，图中有 对“勾股三角形”；分别是哪几对？ (2)如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接） 【答案】(1)；与，与； (2)． 【分析】()根据正方形性质得， ，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”，由此可得出答案； ()连接，先求出，则，进而得，设，根据矩性质得，，则，由和是一对“勾股三角形”，得，即，据此解出可得的长； 此题考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，理解正方形和矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：图中由对“勾股三角形”，分别是和，和，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵，即 ， ∴， 根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”； ∵于点， ∴在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”； 故答案为： ； （2）解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 设， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵和是一对“勾股三角形”， ∴， 即， 解得， ∴． 11．（23-24八年级下·重庆开州·期中）已知在正方形中，点是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点作于点，交于点，点、分别在、上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点，当的值取得最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)当的值取得最小时，． 【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果； （2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论； （3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，，，，，， ， ，，， ， ； （2）证明：如图2，延长，交于，连接，， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 作，作于，作于，交于，作于， ， ， 当点在处时，最小， ，， ， ， 设，则，， ， ， 当的值取得最小时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 12．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究： 数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接． (1)操作发现： 根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______； (2)迁移探究： 当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用： 如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______． 【答案】(1)15 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠得出，，，证明，取的中点，连接，证明为等边三角形，得出，求出，即可得出结果． （2）连接，根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，，，，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出，即可得出结论； （3）根据，得出点N在上，根据折叠得出，，，，根据勾股定理求出， 得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 取的中点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为4， ∴根据折叠可知：， 即与间的距离为2， 设点N到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴点N在上，如图所示： 根据折叠可知：，，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13．（2024·山东日照·二模）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；    (1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； (2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： (3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)，，证明见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，根据证，得，，推出 ，即可得出； （）连接，设与相交于点，根据证，得，再根据角的代换得出即可； （）连接，根据证，得出，当时，得出，，的值即可得出面积和； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； （2）解：，． 证明：连接，设与相交于点，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 14．（2023·江西九江·二模）问题提出 在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路． 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． （1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________． 类比探究 （2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________． ②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由． 拓展延伸 （3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积． 【答案】（1）4，4；（2）①6；②是定值，（3） 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形再证，得，即可解决问题； ②过点O作，垂足分别为M，N，过点 A作，垂足为H， 先证明，再证明，最后得到求解即可． （3）延长到点E，使，连接，过点B作于点F．先证明是等边三角形，再证明，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为4， ，，， ，，， ， ， ， ， ，， ，； 小航：，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为4， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， ，四边形是正方形， ，， ， ； 故答案为：4，4； （2）①如图2，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：6． ②是定值，理由如下： 如图3，过点O作，垂足分别为M，N，过点 A作，垂足为H， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵O为的中点，且， ∴，， ∴． (3)如图4，延长到点E，使，连接，过点B作于点F． ∵，是的平分线 ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)证明见解析 (3)存在，点的坐标或 【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可． （2）设的交点为点，先根据SAS证明    ，于是得，再证明，即可得 ，由此得四边形为“双直四边形”． （3）先求出的解析式，再分三种情况讨论：，，，分别求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等． 故①不正确． ∵“双直四边形”的对角线互相垂直， ∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半． 故②正确． ∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的的平行四边形是正方形． ∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． 故③正确． 故答案为：②③； （2）证明：如图，设与的交点为， ∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，     ∴四边形为“双直四边形”． （3）解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为 ∵，， ， 即， ， 解得， ， 是的中点， ， 设直线的解析式为则      解得      ∴直线的解析式为     设， ①当时，则， ， 则； ②当时， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 此时点坐标还是； ③当时， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ， 当时，， 此时在第四象限，不符合题意． 当时，， 此时在第一象限，符合题意． 综上，或． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数等知识，综合性较强，题目难度较大．熟练掌握以上知识以及分类讨论思想是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$