湖北省荆门市德艺高级中学2023-2024学年高一下学期数学复习卷一

2024年荆门市德艺中学高一年级下学期数学复习卷一 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.004； B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75； C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80； D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150。 3．已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（　　） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．, , , , , 则 4．若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 7．已知（为常数），，，且 的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9．如图所示，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是图象的最低点，设，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与垂直的单位向量的坐标是 D．若在线段上，且，则点也是图象上 10．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱 ，，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线共面； B． C．二面角的平面角余弦值为 D．过点，，的平面，截正方体的截面面积为9 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有唯一解，则或 D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 13．如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE， SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合 后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面 SEF所成角的正弦值为______. 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 16．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平 均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该 组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第 三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分 和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别 为87分和2，求这200人中分数在区间的学生 成绩的方差. 17．已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，函数的图象关于直线对称 （1） 求函数的解析式； （2） 求函数在上的取值范围. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值. 19．在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年荆门市德艺中学高一年级下学期期末数学复习卷一解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B【详解】复数 所以在复平面内复数所对应的点为，该点位于第二象限. 故选：B. 2．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.004； B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75； C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80； D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150。 【答案】D【详解】由可得，故A错误； 前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确. 故选：D 3．已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（　　） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．, , , , , 则 【答案】D【详解】选项A中，若，，则可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，若，，，，则与也可能相交，故B错误； 选项C中，若，，，则与也可能相交，故C错误； 选项D中，若，，，，， 依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 4．若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为， 所以，所以， ，， 所以，即的夹角的余弦值为，故选：C 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A。【详解】由题意可得：. 故选：A. 6．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的外心为，过作底面的垂线， 使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，，． 三棱锥外接球的表面积为．故选：B 7．已知（为常数），，，且 的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D。【详解】由题意得，解得， 设的最小正周期为，故，解得，因为，所以， 故，当时，， 令，得，画出的图象，如下：    要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值，故，， 且，两式相减得，. 所以的最小值为.故选：D 8．在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C，【详解】根据题意，， 由三角形面积公式和余弦定理可得，， 即，整理得，，即， 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为，又因为，所以， 所以 ，因为，即， 所以，即，，所以.故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9．如图所示，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是图象的最低点，设，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与垂直的单位向量的坐标是 D．若在线段上，且，则点也是图象上 【答案】AC。【详解】由题意，的坐标为，的坐标为，所以. 对于A，，所以，故A正确； 对于B，在上的投影向量为，故B错误； 对于C，设与垂直的单位向量的坐标为，因为垂直，所以， 又因为为单位向量，所以，代入解得， 所以或，故C正确； 对于D，因为在线段上，且，所以， 所以的坐标为，而，故D错误. 故选：AC. 10．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱 ，，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线共面； B． C．二面角的平面角余弦值为 D．过点，，的平面，截正方体的截面面积为9 【答案】ABC【详解】 对于A项，如图①，分别连接,在正方体中， 易得四边形是矩形,故有，又分别是棱的中点，则, 故,即可确定一个平面，故A项正确； 对于B项，如图②，,故B项正确； 对于C项，如图③，连接交于，， 平面,平面,所以， 又，，平面,平面， 所以平面,即是二面角的平面角， 又， 故，故C项正确； 对于D项，如图④，连接易得 因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线， 即过点的平面即平面. 由，可得四边形为等腰梯形， 故其面积为：，故D项错误。故选：ABC. 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有唯一解，则或 D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，所以，故， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确． 对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确，故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 【答案】【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为．故答案为： 13．如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线 SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______. 【答案】 ①. ②. 【详解】折叠后可得⊥，⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故异面直线SG与EF所成的角为； 取的中点，连接，过点作⊥于点， 因为，，所以⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面，因为平面， 所以⊥，因为，平面，所以⊥平面， 则即为直线SG与平面SEF所成角，设正方形的边长为2，则， 故，所以，因为，由勾股定理得，则.故答案：； 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由， 令，可得， 所以只需，解得，又因为，所以，即， 所以的取值范围是．故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平 均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该 组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第 三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分 和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别 为87分和2，求这200人中分数在区间的学生 成绩的方差. 【答案】（1）图见解析，平均数67分，80%分位数76.67分 （2）55.4 【解析】【小问1详解】 成绩落在的频率为， 补全的频率分布直方图，如图样本的平均数（分） 设80%分位数为，则， 解得：（分）； 【小问2详解】由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取30人和20人 分层抽样的平均值：（分） 分层抽样的方差： 所以这200人中分数在区间所有人的成绩的方差为55.4 16．已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 【答案】(1)；，(2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1），因为，， 所以，因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 17．已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，函数的图象关于直线对称 （1） 求函数的解析式； （2） 求函数在上的取值范围. 解：函数的图象相邻两条对称轴的距离为 ,即，， 函数的图象关于直线对称，的图象关于直线对称 ，， 函数的解析式为 (2)由(1)得， ，， 函数在上的取值范围是 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】【小问1详解】 ，由正弦定理得，， ， ， ，又，，， 【小问2详解】 因为，所以， 所以，，， ，，， 所以 . 19．在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】【小问1详解】如图，设的中点为， 连接，，因为，所以， 又因为，且， 所以，因为，平面，且， 所以平面，因为平面， 所以，在中，，， 由余弦定理求得， 则，， 因为，所以，解得， 在，，，可知，又， 在中，，因此. 由（1）知，，且，平面，且， 所以平面， 平面，因此平面平面. 【小问2详解】 由第一问证明易得，， 且. 取的中点，为二面角的平面角， 且， ，所以二面角的平面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$