精品解析：辽宁省沈阳市翔宇中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023-2024学年度（下）第二次月考测试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，4只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的递增区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵定义域是，∵ 当时，或（舍），故选C. 2. 设等差数列的前n项和为，若；则等于（ ） A. 18 B. 36 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，计算求解. 【详解】，， ， . 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质，前项和，属于基础题型. 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 4. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】设等差数列公差d＝2， 由，，成等比数列得，，即，解得，∴n×0＋＝ 故选：B. 5. 某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人． 参考数据：，） A. 261 B. 341 C. 477 D. 683 【答案】B 【解析】 【详解】分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果． 详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人. 故选B . 点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 6. 已知数列满足且，的通项公式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到，再利用“叠加法”，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】由题意，数列满足， 可得， 这个式子相加可得. 当，也符合该式，故. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据数列的递推公式，合理利用叠加法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 7. 若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值. 【详解】对于函数，，则，又， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得， 所以，切点坐标为，代入切线方程得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点. 8. 设，，，则，，大小关系是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系． 【详解】考查函数，则，在上单调递增， ，（3），即， ， 故选：． 【点睛】本题考查了利用函数单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知{}是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. 最小 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件得到和的关系，然后对选项逐一分析即可. 【详解】根据题意，数列是等差数列，若 即 变形可得 ，则故A正确； 不能确定和的符号，不能确定最小，故B不正确； 由， 由二次函数图像的性质可知，故C正确； 当公差不为0时，, 则 D 不正确. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B. 从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出判断A；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用二项分布的方差公式计算判断C，利用正态分布的特定区间的概率判断D. 【详解】对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误； 对于B，显然随机变量服从超几何分布，则，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确. 故选：BCD 11. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数有意义的条件可求得函数的定义域判断A选项；当时，判断函数的符号可判断B选项； 利用导数判断出导函数的零点个数，可判断C选项； 解不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数有意义，有，解得且， 则函数的定义域为，A选项错误； 对于B选项，当时，，，则， 即当时，函数图象位于轴下方，B选项正确； 对于C选项，，令. 当时，，，则， 函数在区间上单调递减，无极值点； 当时，，函数在上单调递增， 由于， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得. 当时，，；当时，，， 所以，函数存在唯一的极值点，C选项错误； 对于D选项，由C可知，函数在区间上单调递增，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数单调性，确定极值点个数，其中构造新函数是常用方法. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】已知函数，则， 且，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合全概率公式与条件概率公式计算即可得. 【详解】设表示“取到的零件是第台车床加工”，表示“取到的零件是次品”， 则 ， ， 故. 故答案为：. 14. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解 【详解】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得 故答案为：． 【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. （1）求通项及； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和. 【答案】（1）,;（2）. 【解析】 【详解】（1）因为是首项为，公差的等差数列 所以 ． （2）由题意，所以 = 考点：1．等差数列；2．等比数列；3．数列求和． 16. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 【答案】（1） （2）， （3）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间； （3）根据（2）可求极值. 【小问1详解】 由题意得：， ，又， 的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，. 【小问3详解】 根据（2）可知，当为函数的极小值点，且， 当为函数的极大值点，且， 所以的极大值为，极小值为. 17. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率； （2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小. 【答案】（1） （2）乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望 【解析】 【分析】（1）记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，利用全概率公式计算可得； （2）设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，设表示丙同学答题得分，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望，从而判断. 【小问1详解】 记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，即，， 由得，，， 设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项， 则，， 则. 【小问2详解】 由得，，， 设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，， 所以， ， ， 所以， 设表示丙同学答题得分，则可能取值为，，， 所以， ， ， 所以，即， 故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望． 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）数列的通项，求的前项和； （3）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前项和公式求. 【小问1详解】 因为，所以，则， 当时，， 当时，， 当时也成立， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以， 则 ， 所以； 【小问3详解】 由题意，数列元素依次为， 在到之间的个数为，故到处共有个元素， 所以前项中含及个， 故 19. 已知函数． （1）在定义域内单调递减，求的范围； （2）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （3）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由导函数恒小于0，可求的范围； （2）分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点； （3）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是. 【小问1详解】 函数定义域， ，因为在定义域内单调递减， 则在上恒成立，可得， 函数在单调递减，的取值范围为； 【小问2详解】 当时，在定义域内单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增， 即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． 【小问3详解】 ∵函数在处取得极值，，∴， ∴， 令，， ，则， 可得在上递减，在上递增， ∴，即． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度（下）第二次月考测试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，4只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的递增区间为 A. B. C. D. 2. 设等差数列的前n项和为，若；则等于（ ） A. 18 B. 36 C. 45 D. 60 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n项和（ ） A. B. C. D. 5. 某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人． 参考数据：，） A. 261 B. 341 C. 477 D. 683 6. 已知数列满足且，的通项公式为（ ）. A. B. C. D. 7. 若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，大小关系是　　 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知{}是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确有（ ） A. B. 最小 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B. 从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 11. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存单调递增区间 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 有3台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为__________. 14. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是首项为19，公差为-2等差数列，为的前项和. （1）求通项及； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和. 16. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求极大值和极小值． 17. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率； （2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小. 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）数列的通项，求的前项和； （3）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 19. 已知函数． （1）在定义域内单调递减，求的范围； （2）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （3）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$