第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第01讲 矩形的性质与判定（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01： 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02： 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【典型例题一 矩形性质理解】 【例1】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列性质中，矩形不一定具有的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级下·新疆塔城·期末）矩形的对角线 ． 【例4】（22-23八年级下·全国·单元测试）矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 【例6】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在矩形中（），仅用直尺和圆规在矩形的边上找一点，使平分．（不写作法，只保留作图痕迹）    【典型例题二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·重庆·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【例3】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 度． 【例4】（2023·河南·一模）如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 【例5】（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE＝3∠BAE，求∠DAE与∠DAO的度数． 【例6】（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE＝3∠BAE，求∠DAE与∠DAO的度数． 【典型例题三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（23-24九年级上·福建三明·期中）矩形中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（    ） A．10 B．8 C． D．5 【例3】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）线段为矩形的对角线，若，则的长为 ． 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ． 【例5】（22-23八年级下·广东江门·期中）如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长． 【例6】（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度． 【典型例题四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【例3】（23-24八年级下·广西玉林·期中）矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是 ． 【例4】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图求出图中阴影部分的面积 ．    【例5】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，八里庄孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高 ，长，求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．参考数据：． 【例6】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点E、F分别为垂足．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求矩形的面积． 【典型例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（2024·四川成都·三模）如图，在矩形中，对角线和相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点A，E，B在长方形的一边上，点C，D在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的（    ）    A．斜边相等 B．直角的角平分线相等 C．斜边上的高相等 D．一个锐角相等 【例3】 （22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，矩形中，对角线，相交于点，，，则 ， ．    【例4】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，矩形对角线、交于点，若，则 ．    【例5】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，且，．求证：四边形是菱形． 【例6】（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．       (1)在图1中作出矩形的对称轴，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴，使． 【典型例题六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（22-23八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【例3】（22-23七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 ． 【例4】（22-23九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 ． 【例5】（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示为（-2，y）（-1≤y≤2），边AD可表示为（x，2）（-2≤x≤4）．求： （1）长方形各顶点的坐标； （2）长方形ABCD的周长. 【例6】（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．    (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 【典型例题七 矩形与折叠问题】 【例1】（22-23九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【例2】 （22-23七年级上·江苏扬州·期末）将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）如图，把长方形沿对折，若，则等于 ．    【例4】（2024·甘肃·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ． 【例5】（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，与交于点E，求证：． 【例6】（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，与交于点E，求证：． 【典型例题八 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 【例2】（23-24八年级下·四川南充·期中）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，，垂足为，为的中点．若，则的长是 ． 【例4】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于 ． 【例5】（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，为斜边的中点，连接．若，求的长．    【例6】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，E为的中点．试判断与是否相等，并给出证明． 【典型例题九 矩形的判定定理理解】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）下列条件中，能判定四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等 【例2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【例3】（22-23八年级下·吉林四平·期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ． 【例4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）什么叫做矩形？ 【例6】（2023·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段； 求作：矩形，使． 【典型例题十 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（22-23九年级上·河南平顶山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·山西吕梁·期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（    ）    A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【例3】（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 【例4】（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，请添加一个条件使平行四边形成为矩形，这个条件可以是 ．    【例5】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【例6】（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 【典型例题十一 证明四边形是矩形】 【例1】（22-23八年级下·全国·假期作业）判断一个门框是否是矩形，可用的方法是（    ） A．测量两组对边是否相等 B．检查门框的三个角是否是直角 C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量两条对角线是否互相垂直平分 【例2】（22-23八年级下·河北保定·期末）依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 【例3】 （23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形． 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形． 【例5】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 【典型例题十二 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（22-23八年级下·全国·课后作业）在矩形中，相邻两边的长分别为，则两条对角线所夹的锐角是（    ） A．40° B．30° C．45° D．60° 【例2】（2023·湖南邵阳·二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是（ ） A．AC⊥BD B．AC="BD" C．BO="DO" D．AO=CO 【例3】（22-23八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【例4】（22-23八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【例5】 （2023·云南昭通·一模）如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【例6】（22-23八年级下·上海·期中）如图，矩形中，为对角线，为中点，，，当四边形为菱形时，求的值． 【典型例题十三 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（22-23九年级上·四川巴中·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（　　） A．6 B．5 C．4.8 D．4 【例2】（2023·台湾·中考真题）如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点连结，则线段的最小值为 ． 【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，，点从开始沿边以的速度向终点移动，点从开始沿边以的速度向终点移动，如果点分别从同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．则 时，四边形为矩形． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：． 【例6】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，有两根直立在水平地面上的电线杆，．工人计划在A，D之间架设一根电线，若米，米，米，则所需电线的长度至少为多少米？ 【典型例题十四 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=，BC=，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．4 B．2 C．2 D．2 【例2】（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【例3】 （22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为 ． 【例4】（2024七年级·全国·竞赛）如图，六边形的面积为 ． 【例5】（22-23八年级下·广东湛江·期末）如图，在中，，，．求的面积．    【例6】（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式训练1 矩形性质理解】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）矩形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 4．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则________cm． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）矩形的性质定理1：矩形的四个角都是 ． 矩形的性质定理2：矩形的对角线 ． 5．（2023·山东青岛·一模）已知：线段；求作：矩形，使． 6．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，四边形是矩形，E、F分别是线段上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点E与点F重合． 求证：四边形是菱形．    【变式训练2 利用矩形的性质求角度】 1．（22-23八年级上·四川·期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝ °． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）两个矩形的位置如图所示，若，则 ． 5．（22-23八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 6．（22-23八年级下·上海·期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数． 【变式训练3 根据矩形的性质求线段长】 1．（23-24九年级上·甘肃白银·期中）已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为（    ）    A．5 B．10 C．15 D．20 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为 ． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知矩形的长，宽，将矩形先向上平移，再向右平移得到矩形，连接，连接交于点，则图中面积为的三角形为 ． 5．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，求矩形对角线的长． 6．（22-23八年级下·北京房山·期末）如图，在中，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，作的平分线交于点，求的长． 【变式训练4 根据矩形的性质求面积】 1．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．18 C．12 D．15 2．（2024·甘肃天水·一模）如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ． 4．（2024·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ． 5．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）在矩形中，，，求矩形的面积．    6（2023·湖北随州·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式训练5 利用矩形的性质证明】 1．（22-23九年级下·江西宜春·开学考试）如图，是一块长为2，宽为1的矩形纸板，先将矩形纸板沿对角线剪开，再将得到的两部分重新拼接，则拼接后能得到不同形状的四边形（不含矩形）有（     ）      A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ） A．任意四边形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 3．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，若，则的大小是 ． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为 ． 5．（2024·湖北襄阳·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O ， ，．求证：四边形是菱形． 6．（2023·吉林·二模）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作射线平分，且点在格点上． (2)在图2中，作线段平分，且点在格点上． (3)在图3中，作直线垂直，且点在格点上． 【变式训练6 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 4．（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 5．（22-23九年级下·广东中山·阶段练习）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2．在坐标系中画出矩形P2M2O2N2，并求出直线P1P2的解析式． 6．（22-23八年级下·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题： （1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标； （2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标； （3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标； （4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明） 【变式训练7 矩形与折叠问题】 1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，把矩形沿折叠，若，则 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在矩形中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在上，，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ．    4（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，将长方形纸片沿线段折叠到的位置，若，则的度数为 ． 5．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 【变式训练8 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（2024年浙江省嘉兴市九年级中考三模数学试题）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 2．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是斜边上的中线，度，则 度． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知在中，斜边上的中线，求斜边的长． 6．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 【变式训练9 矩形的判定定理理解】 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（    ） A．测量两组对角是否互补 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 2．（23-24八年级下·河南信阳·期中）下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．用曲尺测量对角线是否互相垂直 C．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D．测量两条对角线是否平分 3．（22-23九年级上·河南平顶山·期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为 ． 4．（22-23八年级下·福建厦门·期中）工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是 . 5．（18-19八年级下·山东德州·阶段练习）请利用尺规作图，以Rt△ABC为依托，作一个矩形，并叙述作图过程（保留作图痕迹）． 6．（22-23九年级上·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【变式训练10 添一条件使四边形是矩形】 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 6．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点． （1）求证：F是AB的中点； （2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由． 【变式训练11 证明四边形是矩形】 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是 ．（填“平行四边形”或“矩形”）    5．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形． 6．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证，四边形是矩形； （2）若，．求的面积． 【变式训练12 根据矩形的性质与判定求角度】 1．（22-23九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ． 4．（22-23九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，矩形中于，若，则 度． 5．（20213·湖南长沙·中考真题）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 6．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 【变式训练13 根据矩形的性质与判定求线段长】 1．（23-24九年级上·山西太原·期中）已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北唐山·开学考试）如图，在矩形中，点E是上一动点，连接、，以、为边作，在点E从点B运动到点C的过程中，的面积（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．保持不变 D．一直变大 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当是 度时，两条对角线长度相等． 4．（22-23九年级上·山东·单元测试）中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．    5．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 6．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，为矩形对角线的交点，， ．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的周长和面积． 【变式训练14 根据矩形的性质与判定求面积】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为 ． 5．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 6．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，是矩形内的任意一点，连接，得到，，，，设它们的面积分别是．给出以下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②④ C．②③④ D．以上选项均不对 3．（2024·广东广州·二模）在四边形中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·福建龙岩·模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 5．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）“矩形的对角线相等”是 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”） 7．（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个平行四边形，当∠α的度数为 度时，两条对角线长度相等． 8．（2024·吉林·一模）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、处，若，则 度．     ‍ 9．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD如图放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是 ．（用m，n表示） 10．（22-23八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形内画了一些直线，已知，，四边形的面积分别是12，32，96，那么图中阴影部分的面积是 ．    11．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”形图案，求的度数． 12．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，在菱形中，对角线，交延长线于E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求线段的长． 13．（2023·江苏泰州·二模）如图矩形ABCD． （1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明） （2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．     14．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 15．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD=5，EC=2，求OE的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 矩形的性质与判定（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01： 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02： 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【典型例题一 矩形性质理解】 【例1】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列性质中，矩形不一定具有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，； 矩形的邻边不一定相等， 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 【例3】（22-23八年级下·新疆塔城·期末）矩形的对角线 ． 【答案】相互平分且相等 【分析】根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：矩形的对角线相互平分且相等． 故答案为：相互平分且相等． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是解答本题的关键． 【例4】（22-23八年级下·全国·单元测试）矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】矩形的短边长为，长边是短边的倍，可得长边为，即可计算周长． 【详解】解：∵矩形的短边长为，长边是短边的倍， ∴矩形的较长边长为， ∴矩形的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和周长，掌握矩形的性质是解题关键． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 【答案】是．它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线． 【分析】根据轴对称图形的概念和矩形的性质进行分析即可． 【详解】解：矩形是轴对称图形，有2条对称轴是过矩形两组对边中点的直线． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，关键是正确确定对称轴． 【例6】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在矩形中（），仅用直尺和圆规在矩形的边上找一点，使平分．（不写作法，只保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键是以为圆心，的长为半径画弧交于. 【详解】点即为所求作的点；   ， 由作图可得：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分． 【典型例题二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 【例2】（22-23八年级下·重庆·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 【例3】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 度． 【答案】45或135/135或45 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义得出，再分两种情况：①当的平分线交线段于点E，②当的平分线交线段外于点E，分别求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， 由题意可分：①当的平分线交线段于点E， ； ②当的平分线交线段外于点E， ； 综上所述： 或45°， 故答案为：45或135． 【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，分情况讨论是解题的关键． 【例4】（2023·河南·一模）如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 【答案】115° 【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，可得∠DFE＝∠2，由三角形的外角性质可求∠2的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠DFE＝∠2 ∵∠DFE＝∠1+∠E＝115° ∴∠2＝115° 故答案为115° 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形外角性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 【例5】（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE＝3∠BAE，求∠DAE与∠DAO的度数． 【答案】∠DAE=67.5°，∠DAO=22.5° 【分析】通过，=90°，按比例求得∠DAE度数，再由OA=OD，得到∠DAO=∠ADO，在直角三角形中两锐角互余求得∠ADO即可得到∠DAO的度数. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∵， ∴ 又OA=OD 则∠DAO=∠ADO 在直角三角形ADE中，∠ADO=90°-∠DAE=22.5° ∴∠DAO=∠ADO=22.5° 综上：∠DAE=67.5°，∠DAO=22.5° 【点睛】本题考查了矩形的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，务必清楚的是矩形的对角线互相平分且相等，四个角都是90°，直角三角形两锐角互余. 【例6】（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE＝3∠BAE，求∠DAE与∠DAO的度数． 【答案】∠DAE=67.5°，∠DAO=22.5° 【分析】通过，=90°，按比例求得∠DAE度数，再由OA=OD，得到∠DAO=∠ADO，在直角三角形中两锐角互余求得∠ADO即可得到∠DAO的度数. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∵， ∴ 又OA=OD 则∠DAO=∠ADO 在直角三角形ADE中，∠ADO=90°-∠DAE=22.5° ∴∠DAO=∠ADO=22.5° 综上：∠DAE=67.5°，∠DAO=22.5° 【点睛】本题考查了矩形的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，务必清楚的是矩形的对角线互相平分且相等，四个角都是90°，直角三角形两锐角互余. 【典型例题三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（23-24九年级上·福建三明·期中）矩形中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等即可求解，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及其应用． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 【例2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（    ） A．10 B．8 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：A． 【例3】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）线段为矩形的对角线，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】 本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等，即可得出结果． 【详解】解：∵线段为矩形的对角线，， ∴； 故答案为：6． 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，熟知矩形的性质是解题的关键； 本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，结合已知条件，列出等式进行计算即可． 【详解】∵矩形的周长为， ∴cm， ∴cm．① ∵的周长比的周长多cm， ∴cm． ∵点是矩形的对角线的交点， ∴， ∴cm．② 联立①②，解得cm， cm． ∴cm， cm． ∴矩形的各边长分别为． 故答案为： 【例5】（22-23八年级下·广东江门·期中）如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长． 【答案】矩形的周长为12， 【分析】连接，利用矩形周长公式和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，这个矩形的周长为， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟知矩形的性质是解题的关键． 【例6】（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度． 【答案】3 【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=12，=6，再根据三角形中位线定理可得． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ，， ， 点P、Q是AO，AD的中点， 是的中位线， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分． 【典型例题四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积等于2个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵ ∴，， ， 故选：A． 【例2】（22-23八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以BO=DO=AO=CO，在△ABO和△ADO中，因为底BO=DO，高相同，所以S△ABO=S△ADO，同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO，所以矩形ABCD面积=4S△ABO． 【详解】则由题意可得：BO=DO=AO=CO 则在△ABO和△ADO中， ∵BO=DO，高相同 ∴S△ABO=S△ADO 同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO ∴S矩形ABCD =4S△AOB=4×4=16 故选 D 【点睛】本题考查了矩形，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·广西玉林·期中）矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的面积等于长乘以宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意，矩形的面积为； 故答案为：6． 【例4】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图求出图中阴影部分的面积 ．    【答案】 【分析】根据题意，运用勾股定理求出的长，再根据矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理计算线段长是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，八里庄孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高 ，长，求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．参考数据：． 【答案】 【分析】考查了勾股定理的应用，矩形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键， 首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解∶ 依题意得：中，，，， ． ∵ 塑料薄膜的面积． 答∶覆盖在顶上的塑料薄膜需． 【例6】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点E、F分别为垂足．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由，，得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【典型例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（2024·四川成都·三模）如图，在矩形中，对角线和相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质．根据矩形的对角线相等，可得． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点A，E，B在长方形的一边上，点C，D在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的（    ）    A．斜边相等 B．直角的角平分线相等 C．斜边上的高相等 D．一个锐角相等 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，根据图形即可判断A，根据角平分线的定义即可判断B，根据平行线间的距离即可判断C，根据一副三角板的度数即可判断D． 【详解】解：由题意可知直角三角形和等腰直角三角形的斜边不相等，故A选项错误，不符合题意； 如图，过点D作平分交于点F，过点C作平分交于点G，    ∵， ∴， ∴，， ∵一副三角板摆放在长方形包装袋中， ∴， ∴， ∴直角三角形和等腰直角三角形的直角平分线不相等， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴直角三角形和等腰直角三角形斜边上的高相等，故C选项正确，符合题意； 在中，两锐角分别是，，在中，两锐角分别是，， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【例3】 （22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，矩形中，对角线，相交于点，，，则 ， ．    【答案】 /60度 【分析】①根据矩形的性质可知是等边三角形，再根据等边三角形的性质可知即可解答；②根据矩形的性质可知，再利用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：①∵在矩形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为； ②∵在矩形中， ∴， ∵，， ∴在中，， 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【例4】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，矩形对角线、交于点，若，则 ．    【答案】 【分析】由四边形是矩形，推出，推出，由，，推出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例5】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，根据矩形的性质得到，根据菱形的判定定理证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形． 【例6】（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．       (1)在图1中作出矩形的对称轴，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了求作矩形的对称轴，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． （1）连接，相交于点O，过O，E作直线m即可； （2）由（1）知四边形为矩形，连接交于点H，过O，H点作直线n即可． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示． 【典型例题六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（22-23八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 【例2】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【例3】（22-23七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的对边平行即可求得第四个点的坐标； 【详解】点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，准确判断是解题的关键． 【例4】（22-23九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 ． 【答案】5 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 【例5】（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示为（-2，y）（-1≤y≤2），边AD可表示为（x，2）（-2≤x≤4）．求： （1）长方形各顶点的坐标； （2）长方形ABCD的周长. 【答案】（1）A（-2，2），B（-2，-1），C（4，-1），D（4，2）（2）18 【详解】试题分析：1）根据边AB、AD的公共点为A，首先求出点A的坐标，从而得到点B、D的坐标，再根据点B的纵坐标与点D的横坐标求出点C的坐标即可；（2）根据x、y的取值范围求出AB、AD的长度，再根据长方形的周长公式列式进行计算即可得解． 试题解析：：（1）∵边AB可表示为（-2，y），边AD可表示为（x，2），∴点A的坐标为（-2，2），∵-1≤y≤2，∴点B的坐标为（-2，-1），∵-2≤x≤4，∴点D的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是长方形，∴点C的坐标为（4，-1）；（2）∵A（-2，2），B（-2，-1），D（4，2），∴AB=2-（-1）=2+1=3，AD=4-（-2）=4+2=6，∴长方形ABCD的周长=2（3+6）=18． 考点：坐标与图形性质． 【例6】（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．    (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，即可求解； （2）设把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，由折叠的性质的可得，，，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，， 点的坐标； （2），， ， 把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，    ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理得出方程是解题的关键． 【典型例题七 矩形与折叠问题】 【例1】（22-23九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BD，故∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC． 【详解】由折叠的性质，得∠BDC=∠BD， 则∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADB+∠BDC=90°， ∴∠BDC-20°+∠BDC=90°， 解得∠BDC=55°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC=90°列方程求解． 【例2】 （22-23七年级上·江苏扬州·期末）将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠前后的两个图形能够完全重合，再结合平角等于180°求出∠AED的度数，然后求出∠AEC 的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：由题意可得△ ADE≌△AD E ， ∴∠AED = ∠AED， ∵∠CED =60°， ∴∠AED=(180°-60°)=60°， ∴∠AEC =∠AED+ ∠CED =60°+60°=120° ∵矩形 ABCD， ∴AB // CD， ∴∠EAB =180°- ∠AEC =180°-120°=60°． .故选： B ． 【点睛】本题考查了角度的计算，矩形的对边平行，以及折叠的性质，根据折叠前后的两个图形能够完全重合得到∠AED = ∠AED 是解决本题的关键． 【例3】（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）如图，把长方形沿对折，若，则等于 ．    【答案】/度 【分析】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果． 【详解】解：如图所示，    由折叠可得：， 长方形中，， ， 故答案为： 【例4】（2024·甘肃·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据将沿折叠后，点恰好落到上的点处，可证明，得，设，则，在中，有，可解得，从而在中，．本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程． 【详解】解：连接，如图： 为中点， ， 将沿折叠后，点恰好落到上的点处， ，，， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 在中， ， 故答案为：． 【例5】（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，与交于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与折叠、等腰三角形的判定，根据矩形与折叠的性质得，进而可求证结论，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ， ， 将沿对角线折叠得到， ， ， ∴． 【例6】（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，与交于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与折叠、等腰三角形的判定，根据矩形与折叠的性质得，进而可求证结论，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ， ， 将沿对角线折叠得到， ， ， ∴． 【典型例题八 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中线与斜边的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·四川南充·期中）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 【例3】（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，，垂足为，为的中点．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， 故答案为：． 【例4】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为24， ∴，， ∴， ∵点E是中点， ∴， 故答案为：3． 【例5】（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，为斜边的中点，连接．若，求的长．    【答案】 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解． 【详解】中，，， ∵D为斜边的中点， ． 【例6】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，E为的中点．试判断与是否相等，并给出证明． 【答案】，证明见解析 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：．证明如下： ∵，， ∴、为直角三角形， ∵E为的中点 ∴，， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线性质性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答的关键． 【典型例题九 矩形的判定定理理解】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）下列条件中，能判定四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件． 根据矩形的判定即可得到结论． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 【例3】（22-23八年级下·吉林四平·期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ． 【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”） 【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形 【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案是三个角是直角的四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用． 【例4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）什么叫做矩形？ 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】略 【例6】（2023·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段； 求作：矩形，使． 【答案】作图见详解 【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可． 【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点； （2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取， （3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形， 如图所示，即为所求图形． ∴矩形即为所求图形． 【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【典型例题十 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（22-23九年级上·河南平顶山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB ∴四边形ABCD是矩形 故选A 【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键． 【例2】（22-23八年级下·山西吕梁·期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（    ）    A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加的条件可以根据对角线相等的平行四边形是矩形说明是矩形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形． 【例3】（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 【答案】（或）（答案不唯一，正确即可） 【分析】此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定定理是解答此题的关键． 根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：若使变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） 等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或． 【例4】（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，请添加一个条件使平行四边形成为矩形，这个条件可以是 ．    【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形、菱形等特殊四边形的有别与平行四边形的性质是解决问题的关键．矩形是特殊的平行四边形，矩形有平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角相等且都等于，可针对这些特点来添加条件． 【详解】解：若使平行四边形变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） ．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或（答案不唯一）． 【例5】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：添加的条件是， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：，是边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【例6】（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)（或或，，） (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定方法添加条件即可； （2）证明，得到，从而证明四边形是平行四边形，再利用添加的条件证明即可． 【详解】（1）解：添加：（或或，，）； （2）证明：证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典型例题十一 证明四边形是矩形】 【例1】（22-23八年级下·全国·假期作业）判断一个门框是否是矩形，可用的方法是（    ） A．测量两组对边是否相等 B．检查门框的三个角是否是直角 C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量两条对角线是否互相垂直平分 【答案】B 【解析】略 【例2】（22-23八年级下·河北保定·期末）依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 【答案】B 【分析】根据已知得线段、相等且平分，即可判断出为矩形． 【详解】解： ∵线段、相等且平分， ∴四边形为矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 【例3】 （23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形． 【答案】矩 【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形． 【答案】矩 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．先证四边形为平行四边形，，从而得四边形为矩形． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 【例5】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为． 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等： （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，结合可证四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，结合可证是等边三角形，推出，再利用勾股定理解，再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ． ∵ ∴， 是等边三角形， ， ， 在中，． ∴四边形的面积为． 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 【答案】(1)矩形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形，证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 【典型例题十二 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（22-23八年级下·全国·课后作业）在矩形中，相邻两边的长分别为，则两条对角线所夹的锐角是（    ） A．40° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】先根据勾股定理算出AC的长,利用矩形对角线平分求出OA=OC=4,正好与AB相等即可证明△AOB是等边三角形,即可求出角度. 【详解】如图，∵四边形是矩形， ∴， ∴． 又∵，∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，∴， 即两条对角线的夹角是60°或120°，所夹的锐角是60°．故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质和等边三角形的性质,关键在于牢记基础知识,熟练运用性质. 【例2】（2023·湖南邵阳·二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是（ ） A．AC⊥BD B．AC="BD" C．BO="DO" D．AO=CO 【答案】A 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，BO=DO，AO=CO， ∴A不正确，B、C、D正确； 故选A． 考点：矩形的性质． 【例3】（22-23八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【例4】（22-23八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 【例5】 （2023·云南昭通·一模）如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）根据四边形是矩形，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【例6】（22-23八年级下·上海·期中）如图，矩形中，为对角线，为中点，，，当四边形为菱形时，求的值． 【答案】 【分析】设出，利用菱形的性质可得，在中，由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， 设，则， ∵矩形中，， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形与菱形的性质是解题的关键． 【典型例题十三 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（22-23九年级上·四川巴中·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（　　） A．6 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，由勾股定理可求BD的长，由面积法可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8， ∴BD＝＝＝10， ∵S△ABD＝×AB×AD＝×BD×AF， ∴6×8＝10AF， ∴AF＝4.8 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理及三角形的面积，灵活的表示三角形的面积是解题的关键. 【例2】（2023·台湾·中考真题）如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝8，AD∥BC，根据矩形的判定得出四边形ABFQ是矩形，求出AB＝FQ＝DC＝8，求出EQ＝FQ＝8，即可得出答案． 【详解】解：过作于，则， ∵四边形是长方形， ，，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点连结，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可． 【详解】解：连接， ，， ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ，， ， 的最小值为：． 线段长的最小值为 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，，点从开始沿边以的速度向终点移动，点从开始沿边以的速度向终点移动，如果点分别从同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．则 时，四边形为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．求出，，，由已知推出，，推出时，四边形是矩形，得出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 故答案为：4． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定及性质和菱形的性质．根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形，则该矩形的对角线相等，即． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形为矩形， ∴． 【例6】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，有两根直立在水平地面上的电线杆，．工人计划在A，D之间架设一根电线，若米，米，米，则所需电线的长度至少为多少米？ 【答案】25米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 过点A作，垂足为点E，先证明四边形为矩形，在求出和的长，最后根据勾股定理求出电线的长度． 【详解】 解：过点A作，垂足为点E， ， ，， ， 四边形为矩形， 米，米， 米， 米， 在中 米， 答：所需电线的长度至少为25米． 【典型例题十四 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=，BC=，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．4 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点， ∴矩形绕中心旋转180阴影部分恰好能够与空白部分重合， ∴阴影部分的面积等于空白部分的面积， ∴阴影部分的面积＝×矩形的面积， ∵AB=，BC= ∴阴影部分的面积＝××＝2． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键． 【例2】（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ∴， ， ， ， 故选：B． 【例3】 （22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知得出四边形是矩形，进而即可求解． 【详解】解：∵点，，，的坐标分别为，，，，，，， ∴的纵坐标相同，的纵坐标相同，则轴， 又的横坐标相同，的横坐标相同，则轴，，则 ∴四边形是平行四边， 又， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质与判定，根据题意得出四边形是矩形是解题的关键． 【例4】（2024七年级·全国·竞赛）如图，六边形的面积为 ． 【答案】135 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的判定，三角形面积公式，过点A作轴，交的延长线于点N，延长交x轴于点M，构造矩形，矩形的面积减去，，，的面积即为六边形的面积． 【详解】解：如图，过点A作轴，交的延长线于点N，延长交x轴于点M， ，， 轴， 又轴，x轴轴， 四边形为矩形， ，，，均为直角三角形， 六边形的面积 ， 故答案为：135． 【例5】（22-23八年级下·广东湛江·期末）如图，在中，，，．求的面积．    【答案】168 【分析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出是矩形即可． 【详解】解： 是平行四边形， ∴， ∵，， ， ， ， 是直角三角形，即是直角， ∴是矩形， ． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答． 【例6】（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练1 矩形性质理解】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）矩形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形的对边相等，对角相等，对角线也相等，但是矩形的对角线不一定互相垂直， 故选：D． 2．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质； 根据菱形和矩形的性质即可判断； 【详解】解：A、矩形邻边不一定相等，不符合题意， B、矩形和菱形对边相等，符合题意， C、矩形对角线不一定互相垂直，不符合题意， D、菱形对角线不一定相等，不符合题意， 故选：B． 4．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则________cm． 【答案】12 【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得BD的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AO=6cm， ∴BD=AC=2AO=12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）矩形的性质定理1：矩形的四个角都是 ． 矩形的性质定理2：矩形的对角线 ． 【答案】 直角 相等 【解析】略 5．（2023·山东青岛·一模）已知：线段；求作：矩形，使． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和矩形的判定与性质．①以点A为圆心，a为半径作弧，交m于点B；②以点A为圆心，b为半径作弧，交l于点D；③分别以点B、点D为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，利用作法得到；则可判断四边形是平行四边形，加上；则可判断四边形是矩形． 【详解】 解：如图，矩形为所作． 6．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，四边形是矩形，E、F分别是线段上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点E与点F重合． 求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，则，，进而结论得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，菱形的判定与性质，等角对等边．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练2 利用矩形的性质求角度】 1．（22-23八年级上·四川·期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵折叠 ∴，AB=AB’ ∵CD∥AB ∴ ∴ ∴AE=EC， ∴DE=EB’ ∵=3DE=DE+EC= DE+AE ∴AE=2DE ∵ ∴= 故选C． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质． 2．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=30°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°． 故选B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝ °． 【答案】57.5． 【分析】根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∵∠ADF=25°， ∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°， ∵DF=DC， ∴∠ECD=， 故答案为：57.5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF．是一道中考常考的简单题． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）两个矩形的位置如图所示，若，则 ． 【答案】117 【分析】本题主要考查矩形的性质及平行线的性质等知识．利用矩形的性质和余角的性质可得，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形、都是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：117． 5．（22-23八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键． 6．（22-23八年级下·上海·期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数． 【答案】 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，，证明三角形AOB是等边三角形即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质证明等边三角形． 【变式训练3 根据矩形的性质求线段长】 1．（23-24九年级上·甘肃白银·期中）已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，且对角线， ， 故选D． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为（    ）    A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】根据矩形性质，对角线相等即可得到答案． 【详解】解：矩形的对角线相交于点，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形性质求线段长，熟记矩形对角线相等是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知矩形的长，宽，将矩形先向上平移，再向右平移得到矩形，连接，连接交于点，则图中面积为的三角形为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、平移的性质及三角形的面积计算．熟知矩形及平移的性质是正确解决本题的关键． 找到图中面积接近的各三角形的底和高计算面积即可得出答案． 【详解】解：由平移及题意可知，底为m，高为，面积为； 底为m，高为，面积为； 底为m，高为，面积为； 底为n，高为m，面积为； 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，求矩形对角线的长． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 6．（22-23八年级下·北京房山·期末）如图，在中，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，作的平分线交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， 平行四边形为矩形； （2）如图， 四边形是矩形， ，． 为的平分线， ． ，，， ， ， ，， ， ． 【变式训练4 根据矩形的性质求面积】 1．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．18 C．12 D．15 【答案】A 【详解】因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半． 因为矩形的面积为18，所以其面积为9． 故选A． 2．（2024·甘肃天水·一模）如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质以及三角形面积；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质得，推出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，、相交于点， ，，， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴对角线、相等且互相平分，， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴矩形的面积是． 故答案为： 4．（2024·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】97 【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．令其中2个部分的面积分别为、，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，令其中2个部分的面积分别为、， 矩形面积的一半，矩形面积的一半， ， ， 故答案为：97． 5．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）在矩形中，，，求矩形的面积．    【答案】矩形的面积为 【分析】利用矩形的性质、等边三角形的判定及性质和矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键． 6（2023·湖北随州·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为， ∴的面积为， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 【变式训练5 利用矩形的性质证明】 1．（22-23九年级下·江西宜春·开学考试）如图，是一块长为2，宽为1的矩形纸板，先将矩形纸板沿对角线剪开，再将得到的两部分重新拼接，则拼接后能得到不同形状的四边形（不含矩形）有（     ）      A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】由图知，两三角形全等，将对应相等的边重合，其中，不同形状的四边形有三个． 【详解】解：将对应相等的边重合，知可得到三个不同形状的四边形，分别形如：，，． 故选：B．    【点睛】本题考查全等三角形，矩形的性质，图形的变换，理解图形变换的主要形式是解题的关键． 2．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ） A．任意四边形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解． 【详解】解：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，    由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 根据三角形中位线定理得：，； ∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG， ∴AC⊥BD． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 3．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，若，则的大小是 ． 【答案】/60度 【分析】根据矩形的性质可得，再由，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，可得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键． 5．（2024·湖北襄阳·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O ， ，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 首先证明出四边形是平行四边形，然后由矩形的性质得到，即可证明出四边形是菱形． 【详解】∵ ， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形 ∴ ∴平行四边形是菱形． 6．（2023·吉林·二模）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作射线平分，且点在格点上． (2)在图2中，作线段平分，且点在格点上． (3)在图3中，作直线垂直，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】 本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及矩形的性质是截图的关键． （1）根据网格线的特点作图； （2）根据网格线的特点及矩形的性质作图； （3）根据网格线的特点作图； 【详解】（1） 如图：射线即为所求； （2）如图：线段即为所求；    （3）如图：直线即为所求．    【变式训练6 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 2．（22-23九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 3．（22-23七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 4．（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 5．（22-23九年级下·广东中山·阶段练习）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2．在坐标系中画出矩形P2M2O2N2，并求出直线P1P2的解析式． 【答案】矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝﹣x +；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7. 【分析】由点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1，得到P1的坐标为（2，3）．将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，得P2的坐标为（7，2）；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，得P2的坐标为（1，﹣2），然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式． 【详解】解：如图： 当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2． ∵点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1， ∴P1的坐标为（2，3）， ∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2． ∴P2的坐标为（7，2）， 设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（7，2）代入得，2k+b＝3①，7k+b＝2②， 解由①②组成的方程组得，k＝﹣ ，b＝ ． 所以直线P1P2的解析式为y＝﹣x + ； 当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2．如图， ∴P2的坐标为（1，﹣2）， 设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（1，﹣2）代入得，2k+b＝3①，k+b＝﹣2②， 解由①②组成的方程组得，k＝5，b＝﹣7． 所以直线P1P2的解析式为y＝5x﹣7； 故答案为矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝﹣x +；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7. 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了图形的平移和矩形的性质以及用待定系数法求直线解析式． 6．（22-23八年级下·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题： （1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标； （2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标； （3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标； （4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明） 【答案】（1）图见解析，B(3，-2)；（2）图见解析，(-3，2)；（3）图见解析，(-3，-2)；（4）四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据题意作图； （2）根据题意作图； （3）根据题意作图； （4）根据有一个直角的平行四边形是矩形解题． 【详解】解：(1) 如图，B(3，-2) ； (2)如图，D(-3，2)； (3)如图，C(-3，-2)； (4)由图可知：AD=BD，AB=BC 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、矩形的判定等知识，基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练7 矩形与折叠问题】 1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，把矩形沿折叠，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质， 解题时注意： 折叠前后的图形全等， 找出图中相等的角是解答此题的关键． 根据折叠的性质及可求出的度数， 再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 四边形是四边形折叠而成， ，． ，， ， 又， ， ． 故选C． 2．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在矩形中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在上，，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 由翻折变换可知，，，得出，所以， 在中，，即可求出答案． 【详解】解：由翻折变换可知，，， ∵，在中， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选：D． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 4（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，将长方形纸片沿线段折叠到的位置，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质等知识点，由，求出，由折叠的性质可求出，四边形是长方形，得，进而即可求解，熟练掌握平行线的性质，折叠的性质并能够灵活运用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 由翻折知， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质即可求解； （2）利用翻折变换的性质即可求解． 【详解】（1）是直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴是直角三角形； （2）∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； （2），， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 【变式训练8 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（2024年浙江省嘉兴市九年级中考三模数学试题）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线， ∴斜边的长为或， 故选：A． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是斜边上的中线，度，则 度． 【答案】70 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在中，根据是斜边上的中线，得，可求出即可解决问题． 【详解】解：在中， 是斜边上的中线， ， ， ， 故答案为：70． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定义斜边一半的性质是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知在中，斜边上的中线，求斜边的长． 【答案】 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可进行解答． 【详解】解：∵在中，斜边上的中线， ∴． 【点睛】本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，解题的关键是熟练掌握相关内容． 6．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握这个性质是解题的关键． 【变式训练9 矩形的判定定理理解】 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（    ） A．测量两组对角是否互补 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：A、测量两组对角是否互补，不能判定四边形的形状，故本选项不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意； C、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意； D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·期中）下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．用曲尺测量对角线是否互相垂直 C．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D．测量两条对角线是否平分 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的三种判定方法①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 根据矩形的判定方法即可判断． 【详解】解：因为有三个角是直角的四边形是矩形， 所以用曲尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故选：C． 3．（22-23九年级上·河南平顶山·期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可． 【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN， ∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5， ∴S阴=5+5=10， 故答案为10． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 4．（22-23八年级下·福建厦门·期中）工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是 . 【答案】三个角都是直角的四边形是矩形 【分析】直角尺的角度是90°，门框四个角，利用“三个角都是90°的四边形是矩形”这一判定方法 【详解】用直角尺判定门框的三个角是否都为90°，故采用的判定方法是三个角都是直角的四边形是矩形， 故答案为：三个角都是直角的四边形是矩形 【点睛】本题考查矩形的判定，熟悉矩形的判定方法是解题关键 5．（18-19八年级下·山东德州·阶段练习）请利用尺规作图，以Rt△ABC为依托，作一个矩形，并叙述作图过程（保留作图痕迹）． 【答案】见解析. 【分析】根据矩形的判定：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，作线段AC的垂直平分线交AC与点O，连接BO并延长使OD=OB，四边形ABCD即所求作的矩形. 【详解】 作作法：如图， （1）分别以点A，点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点E、F，连接EF交AC与点O， （2）连接BO并延长，使得OD=OB， （3）连接AD、CD，四边形ABCD即所求作的矩形. 【点睛】本题考查矩形的判定，基本尺规作图，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 6．（22-23九年级上·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定（有两组对边分别相等的四边形是平行四边形）判断是否是平行四边形，再根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）判断是否是矩形． 【详解】解：①先用线测量，，则四边形是平行四边形， ②再用线测量， 则四边形就是矩形，否则就不是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，注意：有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式训练10 添一条件使四边形是矩形】 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定方法．根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：A、，根据对角线相等且平分的四边形是矩形，能判定四边形是矩形，本选项符合题意； B、，，能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； C、，，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； D、，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等判定方法一一判定即可． 【详解】解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形常见的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：（答案不唯一）． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 【答案】能．理由见解析 【分析】根据这一个角为直角的平行四边形，即矩形判断即可． 【详解】能，如图， 依题意,,， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，理解矩形的性质与判定是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点． （1）求证：F是AB的中点； （2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）添加AB＝BC； 【分析】（1）根据已知条件证明四边形ADBE是平行四边形即可求解； （2）根据矩形的判定定理即可求解. 【详解】证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC ∴四边形DBCE是平行四边形 ∴DB＝EC， ∵E是AC中点 ∴AE＝EC ∵AE＝EC＝DB，AC∥DB ∴四边形ADBE是平行四边形 ∴AF＝BF，即F是AB中点． （2）添加AB＝BC ∵AB＝BC，AE＝EC ∴BE⊥AC ∴平行四边形DBEA是矩形． 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的判定定理. 【变式训练11 证明四边形是矩形】 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A符合题意； B、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形， ∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误； ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平形四边形为矩形； 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【详解】本题考查了勾股定理逆定理在实际中的应用以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法． 解：∵， 即：， ∴， 同理：， ∴四边形是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是 ．（填“平行四边形”或“矩形”）    【答案】矩形 【分析】 本题主要考查平行四边形的判定和矩形的判定，根据它们的判定方法直接进行判断即可． 【详解】解：由两组对边长度相等可得这个木框的形状是平行四边形； 再由有一个内角是直角的平行四边形可知它是矩形， 故答案为：矩形． 5．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据O为AC的中点， OD＝OB，可得四边形 是平行四边形，再由∠B＝90°，即可求证． 【详解】证明：如图， ∵O为AC的中点， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证，四边形是矩形； （2）若，．求的面积． 【答案】(1)证明见详解；（2）12 【分析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，求得∠DAO=∠ADO，推出AC=BD，于是得到四边形ABCD是矩形； (2)根据，设AB=3x，则AD=4x,求出x的值，再求的面积即可. 【详解】(1)证明：∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴AO=DO， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形； (2)解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10， ∵， ∴设AB=3x，则AD=4x, ∴(3x)2+(4x)2=102， 解得x=2或x=-2(舍去) ∴AB=6，AD=8 ∴S△ABO=S△ABD=××6×8=12． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角函数的定义，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键． 【变式训练12 根据矩形的性质与判定求角度】 1．（22-23九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 2．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 3．（22-23八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ． 【答案】75° 【分析】根据四边形ABCD为矩形,利用矩形的对角线互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形,进而求出∠ACB为30°,由DE为直角的角平分线,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC为等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代换可得EC=OC,即三角形OEC为等腰三角形,由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数. 【详解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AO=CO=BO=OD,（矩形的对角线相等且互相平分） ∵∠AOB=60°, ∴∠COD=60°,（对顶角相等） ∴△AOB和△COD为等边三角形,（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）, ∴∠BAC=60°,CD=OC, 则∠ACB=30°,（直角三角形两锐角互余） ∵DE平分∠ADC, ∴∠EDC=45°, 可得△DCE为等腰直角三角形, ∴CD=EC, ∴EC=OC,（等量代换） ∴∠COE=∠CEO, ∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）. 故答案为75°. 【点睛】解决本题的关键是得到所求角所在的三角形的形状及相应的角的度数. 4．（22-23九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，矩形中于，若，则 度． 【答案】 【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， ∵∠DCE=3∠ECB， ∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°， ∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°， ∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解. 5．（20213·湖南长沙·中考真题）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2）是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 6．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题； （2）只要证明AC＝EF即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE，AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． （2）∵∠FOC＝∠OEC＋∠OCE＝2∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OC，OE＝OF， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练13 根据矩形的性质与判定求线段长】 1．（23-24九年级上·山西太原·期中）已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握有三个角均为的四边形是矩形，矩形对角线相等，是解题的关键． 根据矩形的判定与性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 2．（22-23九年级上·河北唐山·开学考试）如图，在矩形中，点E是上一动点，连接、，以、为边作，在点E从点B运动到点C的过程中，的面积（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．保持不变 D．一直变大 【答案】C 【分析】过点E作于G，证四边形是矩形，得出EG=AB， ，即可得出结论． 【详解】解：过点E作于G，如图所示：    则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即的面积保持不变，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，证出，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当是 度时，两条对角线长度相等． 【答案】90 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，根据矩形的对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到答案． 【详解】解：∵在平行四边形中只有矩形和正方形的对角线相等， ∴时，即四边形是平行四边形时，两条对角线长度相等， 故答案为：90． 4．（22-23九年级上·山东·单元测试）中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，可推出四边形是矩形，可得；当时，线段有最小值，此时也有最小值． 【详解】解：∵ ∴四边形是矩形 连接，则过点M，且    当时，线段有最小值，此时也有最小值 ∵ ∴ 则有 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等．确定是解题关键． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)点C在线段和交点处时最小为10 (2)10 【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段和交点处时的值最小，如图所示： 过点A、D分别作，，交于一点F， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （2）解：由（1）可知：的最小值为10； 故答案为10． 6．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，为矩形对角线的交点，， ．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)周长是，面积是 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据， 可得四边形是平行四边形，根据菱形的判定方法是即可求证； （2）根据矩形的性质，勾股定理可求出的长，的面积，由此可求出菱形的周长，和面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 又∵，， ∴在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与菱形的综合，掌握矩形的性质，菱形的性质及周长、面积的计算方法是解题的关键． 【变式训练14 根据矩形的性质与判定求面积】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为 ． 【答案】S1=S2 【分析】由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵，， ∴四边形和四边形都是矩形． ∵，，四边形为矩形， ∴四边形和四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 5．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ∵点E是的中点，点H为的中点， ∴，， 四边形的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积． 6．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据格点的特点及矩形的性质即可作图； （3）连接对角线交于O点，再连接OM,交BC与N点，即可求解． 【详解】（1）= 故答案为：； （2）四边形 ABCD 是长与宽之比为2∶1的矩形，AB=，BC=2=，点B向右平移6个格，再向上平移2个格为点C，连结BC，点C向上平移3个格，再向左1个格得点D，连结AD，CD， 如图，四边形为所求； （3）连结AC，BD交于O，连结MO，并延长交网格于N， 如图，直线为所求． 【点睛】此题主要考查几何作图，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，是矩形内的任意一点，连接，得到，，，，设它们的面积分别是．给出以下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②④ C．②③④ D．以上选项均不对 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、， ∴， 不能得出， 故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∴点一定在对角线上，故④正确． 故选：B． 3．（2024·广东广州·二模）在四边形中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．根据“有一个是直角的平行四边形是矩形”可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 若添加，则该四边形是矩形． 故选：D． 4．（2023·福建龙岩·模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OE＋CE． 【详解】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示： 则BE＝AB＝3， ∵∠MON＝90°， ∴OE＝AB＝3． 在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝＝5． 在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC， ∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 5．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质推出，得到平行四边形，推出，，同理得到，，推出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接、， ∵矩形， ∴，， ∵H、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形的面积是 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出、的长和是解此题的关键． 6．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）“矩形的对角线相等”是 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”） 【答案】必然 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．本题也考查了矩形的性质．根据事件的分类和矩形的性质判断即可． 【详解】解：矩形的对角线相等，故“矩形的对角线相等”是必然事件． 故答案为：必然 7．（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个平行四边形，当∠α的度数为 度时，两条对角线长度相等． 【答案】90 【详解】设∠α的度数为m度时，该平行四边形的两条对角线长度相等. ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当∠α的度数为m度时，该平行四边形应为矩形， ∵该平行四边形为矩形 ∴∠α的度数应为90°， ∴m=90. 故本题应填90. 8．（2024·吉林·一模）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、处，若，则 度．     ‍ 【答案】 【分析】利用矩形可知，，所以，又因为沿折叠，根据折叠的性质可知的度数． 本题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是掌握折叠前后图形的对应边和对应角相等，另外要熟练运用平行线的性质，难度一般． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， 又∵矩形沿折叠， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD如图放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是 ．（用m，n表示） 【答案】 【分析】根据矩形的性质以及矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：AD＝ED，DG＝CD， 设AD＝ED＝x， ∴x+n+x＝m， ∴x＝， ∴AD＝，CD＝， ∴长方形ABCD的面积为AD•CD＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，属于基础题型，关键是要熟练运用矩形的性质． 10．（22-23八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形内画了一些直线，已知，，四边形的面积分别是12，32，96，那么图中阴影部分的面积是 ．    【答案】52 【分析】设矩形的面积为S，则，由图形可知，，从而得到阴影部分的面积． 【详解】解：设矩形的面积为S，作，，如图所示：      ∵， ， 又∵四边形为矩形 ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：52． 【点睛】本题考查阴影部分的面积，分析整体和部分的和差关系，利用相加、相减的方法是常用的方法． 11．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”形图案，求的度数． 【答案】，． 【分析】根据两个大小完全相同的矩形可证得△ADC≌△CGF，从而利用对应边相等，对应角相等即可解决问题． 【详解】解：由题可知，CD=GF，AD=CG，∠ADC=∠CGF=90°， ∴在△ADC与△CGF中， , ∴△ADC≌△CGF（SAS）， ∴∠DAC=∠GCF， 又∵∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°， ∴∠DCA+∠GCF=90°， ∴； ∵△ADC≌△CGF， ∴AC=FC， ∴∠CAF=∠AFC， ∴． 因此，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，找到全等三角形是解题的关键． 12．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，在菱形中，对角线，交延长线于E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题主要考查特殊平行四边形的判定，根据是菱形可得边长平行，再根据已知判定为平行四边形，再根据垂直即可判定为矩形，解答本题的关键在于熟练掌握矩形的判定条件． （2）本题主要考查了矩形的性质，根据矩形对角线平分且相等可求得，再运用勾股定理求出与，结合矩形的性质即可求出，解答本题的关键在于熟练掌握矩的性质． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． （2）解：如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴， 又∵四边形为矩形， ， 又， ， ∴． 在中， ， ． 13．（2023·江苏泰州·二模）如图矩形ABCD． （1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明） （2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．     【答案】（1）见解析；（2）△BEC的面积为7.5． 【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可； （2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积． 【详解】解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E； （2）由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=AD-DE=x-1， 在△ABE中，∠A=90°， ∴AB2+AE2=BE2， 故32+(x-1)2=x2， 解得x=5， ∴△BEC的面积为×5×3=7.5． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 14．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质； （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长； 解决本题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）∵，点F是的中点， ∴， ， ∴． 15．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD=5，EC=2，求OE的长度． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=4，AC=2，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC， ∵BE=CF， ∴BC=EF， ∴AD=EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF=90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD=5， ∴AD=AB=BC=5， ∵EC=2， ∴BE=5-2=3， 在Rt△ABE中， ， 在Rt△AEC中， ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC， ∴OE=AC=． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$