精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校中考模拟数学试题

2023—2024学年度下学期哈尔滨市第四十九中学校九年级毕业考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 2. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 3. 下列立体图形中，三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰内接于，点D是圆中优弧上一点，连接，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（ ） A. B. C. D. 8. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. （－2，4） B. （3，－4） C. （2，6） D. （－4，－3） 9. 如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为秒，，则y与x的函数图象大致为（ ） A. A B. B C. C D. D 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”.已知:1纳米米，则32.95纳米用科学记数法表示为 米. 12. 在函数中，自变量x的取值范围为________． 13. 计算的结果是______． 14. 分解因式：________． 15. 2019年泉州市初中学业水平考试中，每位参加体育考试的学生都必需从“篮球、足球、排球”中选择一种球类参加测试，则小聪和小明同时选考“足球”的概率是______． 16. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝_____度． 17. 在中，，D为边的中点，，交直线于点E，连接，若，则的度数为______． 18. 某医院内科病房有护士人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人同班，最长需要的天数是70天，则______． 19. 如图，边长为1的正方形的顶点A在扇形的半径上，点B．C在上，点D在上，若，则扇形的面积为______． 20. 如图，在矩形中，点为边上一点，连接，作的平分线，交于点，连接，若，，且，则___________． 三、解答题（21、22各7分，23、24各8分，25，26，27各10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中画出等腰直角三角形，使点N在格点上，且； （2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形的面积等于（1）中等腰直角三角形面积的4倍． 23. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______，本次调查数据的中位数落在______组内； （3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？ 24. 如图，菱形ABCD中，E为对角线BD的延长线上一点． （1）求证：AE=CE． （2）若BC=6，AE=10，∠BAE=120º，求BE的长，并直接写出DE的长为 ． 25. 某居民小区为美化环境，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ （2）若小区每天需付给甲队的绿化费用为0.2万元，乙队为0.15万元，要使这次的绿化总费用不超过5万元，至少应安排甲队工作多少天？ 26. 已知，在圆O中，是圆O的弦，点C是优弧的中点，点E在弦上，且，连接并延长交圆O于点D． （1）如图（1）求证：是圆O直径； （2）如图（2）连接，点F在弦上，且，连接，并延长交圆O于点G，连接，求证：； （3）如图（3）在（2）的条件下，过点D作，交于点K，，过B作于点M，交于点N，若，求的长． 27. 如图：直线分别与轴负半轴、轴正半轴交于点、，点在轴正半轴上，， （1）求值； （2）直线过点交轴负半轴于点，点在线段上，，垂足为，交轴于点，点的横坐标为，若线段，求与之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （3）在（）的条件下，若延长和相交于点，点在延长线上一点，点为第四象限内线段右侧一点，连接并延长交轴于点，若，，，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期哈尔滨市第四十九中学校九年级毕业考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项：是无限不循环小数，故是无理数； B选项：是有理数； C选项：＝3，故是有理数； D选项：＝2，故是有理数； 故选A. 2. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3. 下列立体图形中，三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知常见的几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项不符合题意； B、三棱柱主视图与左视图都是长方形，俯视图三角形，故此选项不符合题意； C、圆柱的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合题意； D、球的主视图与左视图都是圆，俯视图是圆，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：由抛物线向左平移1个单位得表达式为：， 再向下平移3个单位得表达式为：， 故选：A． 6. 如图，等腰内接于，点D是圆中优弧上一点，连接，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 7. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作于，作于，如图： 依题意得：， 在中，，，， ， ，，且， ， 在中，，，， ，即：， 解得：， 点C在尺上的读数约为， 故选：C． 8. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. （－2，4） B. （3，－4） C. （2，6） D. （－4，－3） 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 【详解】∵y=-，∴xy=-12 A．（-2，4），此时xy=-2×4=-8≠-12，不符合题意； B、（3，-4），此时xy=3×（-4）=-12，合题意； C、（2，6），此时xy=2×6=12≠-12，不合题意； D、（-3，-4），此时xy=-3×（-4）=12≠-12，不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题 9. 如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线等知识点，根据作法得到是线段的垂直平分线是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线的性质解答即可． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴是的中位线， ∴． 故选B． 10. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为秒，，则y与x的函数图象大致为（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】 【分析】如图，根据矩形的性质，∠BOC＝60°，AD＝3可得OD＝OA＝AD，再根据直角三角形的性质，可得OF、OE、CG的长，S△POC要分类讨论，当0≤x＜3时，y＝S△POC＝S△ACD−S△APO−S△PDC，可得y与x的函数关系，当3＜x≤6时，y＝S△POC，可得y与x的函数关系． 【详解】作OE⊥DC，作OF⊥AD，作CG⊥DB， ∵矩形ABCD，AD=3， ∴BC=3， ∵矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC=60°， ∴△BOC是等边三角形，OB=OC=BC=3， ∵△BOC≌△AOD， ∴∠ADO=∠AOD=60°，DO=AO=3， 在Rt△OAF中，∠AOF=30°，OA=3，AF=， ∴由勾股定理得OF=， 在Rt△DOE中，∠ODE=30°，OD=3， ∴OE=， 由勾股定理得DE=， ∴DC=2DE=， 在Rt△DCG中，∠CDG=30°，DC=， ∴CG=， 当0⩽x<3时，y=S△POC=S△ACD−S△APO−S△PDC=×3×−×⋅x−×(3−x) =x，即y是x的正比例函数， 当3<x⩽6时，y=S△POC=(x−3)⋅ ，即y是x的一次函数， 故选：A． 【点睛】此题考查动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”.已知:1纳米米，则32.95纳米用科学记数法表示为 米. 【答案】米 【解析】 【分析】先将32.95纳米转化为米，再将米用科学记数法表示 【详解】32.95纳米=米=米 【点睛】考查科学记数法的表示，只是中间增加了一步转化 12. 在函数中，自变量x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式函数有意义的条件可得，求解即可． 【详解】解：根据分式函数有意义的条件可得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式函数有意义的条件，掌握分式函数的分母不能为0，函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负是解题的关键． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法，正确化简计算是本题的解题关键．先将二次根式进行化简，然后合并同类二次根式进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查提取公因式和公式法综合因式分解，熟练掌握因式分解的步骤与方法是解题关键． 15. 2019年泉州市初中学业水平考试中，每位参加体育考试的学生都必需从“篮球、足球、排球”中选择一种球类参加测试，则小聪和小明同时选考“足球”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小聪和小明同时选考“足球”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中小聪和小明同时选考“足球”的结果数为1， 所以小聪和小明同时选考“足球”的概率=． 故答案为: . 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 16. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝_____度． 【答案】70 【解析】 【分析】根据图中的角的等量关系即可求出答案． 【详解】解： ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠AOC=∠CEA，∠BED=∠BOD， ∵∠CEA=∠BED， ∴∠AOC=∠BOD， ∵∠AOD=110°， ∴∠AOC+∠COD=110°， ∴∠AOC=20°， ∴∠BOC=90°-∠AOC=70°, 故答案为：70°． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质，本题属于基础题型． 17. 在中，，D为边的中点，，交直线于点E，连接，若，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意，画出示意图，分点E在上，点E在延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】解：如图，当点E在上时， D为边的中点，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 如图，当点E在延长线上， 同理可得：， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 18. 某医院内科病房有护士人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人同班，最长需要的天数是70天，则______． 【答案】21 【解析】 【分析】由题意得两个人下次轮换最长经过次轮班，根据题意列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得两个人下次轮换最长经过次轮班， 护士人，每个人都需要和其他个人轮换，总共为次， 此时每两个人之间轮换了两次，由题意得，每两个人之间轮换了一次， 由此可得， 解得（舍）或 故答案为：21． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 19. 如图，边长为1的正方形的顶点A在扇形的半径上，点B．C在上，点D在上，若，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和扇形的面积计算，能求出半径的长度是解此题的关键．连接，根据正方形的性质得出，，求出，求出，根据勾股定理求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴扇形的面积为． 故答案为：． 20. 如图，在矩形中，点为边上一点，连接，作的平分线，交于点，连接，若，，且，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】过点F作交BC于G，过点E作于H，连接FG，证明，再根据矩形的性质证明，根据勾股定理计算，即可得到结果； 【详解】过点F作交BC于G，过点E作于H，连接FG，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 在△BEF和△BGF中， ， ∴， ∴EF=GF，BE=BG， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， AB=CD=CF+DF=4+2=6， 在△DEF和△CFG中， ， ∴， ∴DF=CG，DE=CF， ∵CF=4，DF=2， ∴CG=2，DE=4， 在Rt△DEF中， ， ∴， 在Rt△GEF中， ， ∵， ∴四边形ABHE是矩形， ∴，， 在Rt△EGH中， ， 设， 则， ∴， 在Rt△BAE中， ，即， 解得：， ∴； 故答案是10． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 三、解答题（21、22各7分，23、24各8分，25，26，27各10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里面的异分母加法，再算分式除法，代入特殊角的三角函数值，由二次根式的混合运算法则求出x的值，再代入即可． 【详解】解：原式 ； ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握基础知识是解题的关键． 22. 图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中画出等腰直角三角形，使点N在格点上，且； （2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形的面积等于（1）中等腰直角三角形面积的4倍． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，从而可得，结合网格特点找出点即可得； （2）先求出正方形的边长为，再结合网格特点和勾股定理画图即可得． 【小问1详解】 解：如图，等腰直角三角形即为所求． 【小问2详解】 解：（1）中等腰直角三角形的面积为， 则正方形的面积为，它的边长为， 如图，正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格特点的结合是解题关键． 23. 为了解学生完成书面作业所用时间情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______，本次调查数据的中位数落在______组内； （3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？ 【答案】（1）50，图见解析 （2）， （3）1920人 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中组人数除以扇形统计图中组占比，计算求解可得样本容量，总人数与其他各组人数的差即为B组人数，然后补全统计图即可； （2）根据计算求解A组的圆心角，然后根据中位数的定义求解判断即可； （3）2000乘以该校随机抽取部分学生完成书面作业不超过90分钟的学生人数的占比，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，样本容量为， B组人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由题意知，在扇形统计图中，A组的圆心角为， ∵样本容量为50， ∴将数据排序后，第25个和第26个数据的平均数为中位数， ∵，， ∴本次调查数据的中位数落在组内， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）, 答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角，中位数，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 24. 如图，菱形ABCD中，E为对角线BD的延长线上一点． （1）求证：AE=CE． （2）若BC=6，AE=10，∠BAE=120º，求BE的长，并直接写出DE的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）BE=11，. 【解析】 【分析】（1）由菱形性质得出AB=CB，∠ABE=∠CBE，证明△ABE≌△CBE，即可得出结论； （2）连接AC交BD于O，作EF⊥BA延长线于点F，先求AF，EF的长度，再根据勾股定理求出BE长，证明△AOB∽△EFB，从而求出BO长，即可求出DE的长度. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CB，∠ABE=∠CBE， 在△ABE和△CBE中 ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE=CE； （2）连接AC交BD于O，作EF⊥BA延长线于点F，如图所示： ∵∠BAE=120°， ∴∠EAF=180°-∠BAE=60°， ∴∠AEF=90°-60°=30°， ∵AE=10， ∴AF=， ∴， ∵BC=6， ∴BA=BC=6， ∴BF=11， ∴， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD, ∴△AOB∽△EFB， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 25. 某居民小区为美化环境，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ （2）若小区每天需付给甲队的绿化费用为0.2万元，乙队为0.15万元，要使这次的绿化总费用不超过5万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是，乙队每天能完成绿化的面积是；（2）至少安排甲工作10天． 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据“在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论； （2）设安排甲工程队工作a天，则乙工程队工作＝（40−2a）天，根据总费用＝需付给甲队总费用＋需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过5万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可． 【详解】（1）设乙队每天能完成绿化的面积是， 则甲队每天能完成绿化的面积是． 方程两边同乘， 得，解得， 检验：当时，， 原分式方程的解是． ． 答：甲队每天能完成绿化的面积是， 乙队每天能完成绿化的面积是． （2）设安排甲工作天，则安排乙工作天， 那么：，解得． 答：至少安排甲工作10天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x的分式方程；（2）根据总费用＝需付给甲队总费用＋需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过5万元，列出关于y的一元一次不等式． 26. 已知，在圆O中，是圆O的弦，点C是优弧的中点，点E在弦上，且，连接并延长交圆O于点D． （1）如图（1）求证：圆O直径； （2）如图（2）连接，点F在弦上，且，连接，并延长交圆O于点G，连接，求证：； （3）如图（3）在（2）的条件下，过点D作，交于点K，，过B作于点M，交于点N，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 点C是优弧的中点， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 是圆O直径； （2） 证明：连接， 由（1）得是等腰三角形， 设， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，易证是等腰三角形，由，可得，得到，证明，得到，推出，进而得到，从而得出结论； （2）连接，设，则，，证明，得到，，推出，根据三角形内角和定理求出，从而得到，即可得到，从而证明结论； （3）连接，过点G作，交于点Q，证明，根据，得到，推出，，从而得到，设，则，，则，由（2）得，得到，利用勾股定理求出，则，利用三角形面积公式求出，利用勾股定理求出，再证明，利用相似的性质求出，解直角三角形求出，进而得到，即可求出将结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点G作，交于点Q， 由（2）知， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，则， 由（2）得， ， 在中，， （负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形全等与相似，是解题的关键． 27. 如图：直线分别与轴负半轴、轴正半轴交于点、，点在轴正半轴上，， （1）求值； （2）直线过点交轴负半轴于点，点在线段上，，垂足为，交轴于点，点的横坐标为，若线段，求与之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （3）在（）的条件下，若延长和相交于点，点在延长线上一点，点为第四象限内线段右侧一点，连接并延长交轴于点，若，，，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得点，根据勾股定理求得，进而即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作于点，进而根据得出，根据得出，进而根据，即可求解； （3）作,，垂足分别为，证明，，得出，设，，，进而求得的正弦和余弦值，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，分别求得，，得出则，根据，求得，在，中，勾股定理求得，根据得，进而求得，过点作交直线于点，求得，设进而得出,联立求得，过点作轴交的延长线于点，连接交于点，设，得出，解得出，求得直线的解析式，联立的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴， 解得， 【小问2详解】 由（1）可得点A的坐标为，点B的坐标为， 把代入得，解得， ∴点D的坐标为， 又， ∴ 点C的坐标为， 设直线的解析式为，代入 得，解得： ∴直线的解析式为， ∵ 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，作,，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 设，， ∴，， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴ 在中， 在中， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∵ ∴， ∴， 过点作交直线于点， 在中， ∴ ∴ ∵直线的解析式为，直线的解析式为 设 ∴ 解得： ∴ 联立 ∴ ∵ ∴轴， 如图所示，过点作轴交的延长线于点，连接交于点， ∵ 设， ∴ 如图所示，取点，则，过点作 ∴平分 ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ 在中， ∵ ∴，即 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴ 联立 解得： ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，一次函数交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $