4.3 任意角的三角函数课件-2023-2024学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

4.3 任意角的三角函数 1 锐角三角函数的定义是什么？ 创设情景 兴趣导入 角的概念推广之后, 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？ 任意角的三角函数定义 4.3.1 4 创设情景 兴趣导入 B C（x , y) o x y 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 动脑思考 探索新知 B P（x , y) o x y 动脑思考 探索新知 在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照 相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别 有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的 函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统 称为三角函数． 对任意角α，有如下定义： 可以看出, 对于每一个确定的角α , 都有唯一确定的正弦值、余弦值和正切值与之对应. 动脑思考 探索新知 sinα与cosα是以角α为自变量的函数, 分别称为正弦函数与余弦函数, 它们的定义域都是R. 当 时, tanα也是以角α为自变量的函数, 称为正切函数, 其定义域为 . 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 动脑思考 探索新知 三角函数 定 义 域 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示： 动脑思考 探索新知 三角函数 当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α为自变量的函数． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 巩固知识 典型例题 例2 求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切. 解 在射线y=2x(x≥0)上取点P(1,2), 则x=1，y=2 ， 所以 巩固知识 典型例题 13 由三角函数的定义可知, 角α的三角函数值只与这个角有关, 与点P在角 终边上的位置无关． 因此, 点P的坐标的选取应尽量使计算简便． 运用知识 强化练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 求a的值. 已知角α为第二象限角, 其终边上一点P的横坐标 为−8, |OP|＝10. 求角α的正弦、余弦和正切值． 运用知识 强化练习 17 单位圆与三角函数 4.3.2 18 半径为1的圆称为单位圆． 在平面直角坐标系中, 以原点O为圆心, 1为半径的圆就是单位圆． 在单位圆上, 角的终边与单位圆的交点P的坐标可以用角的三角函数表示吗？ 角的终边与单位圆相交于点P(x,y), 则 r =|OP|=1, 由正弦函数和余弦函数的定义, 得 角的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为(sin,cos). 一般地, 角α的终边与单位圆的交点为P(x,y), 那么 创设情景 兴趣导入 x y o 当角α的终边在第一象限时，点P在第一象限，x 0, y 0， 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0； sinα>0 cosα>0 tanα>0 当角α的终边在第二象限时，点P在第一象限，x 0, y 0， 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0； sinα>0 cosα<0 tanα<0 sinα<0 cosα<0 tanα>0 sinα<0 cosα>0 tanα<0 当角α的终边在第三象限时，点P在第一象限，x 0, y 0， 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0； 当角α的终边在第四象限时，点P在第一象限，x 0, y 0， 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0； 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 根据点P的横坐标 x 和纵坐标 y 的符号, 可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα, cosα与tanα的符号． 动脑思考 探索新知 全正 正切正 余弦正 正弦正 x y o 30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______. 巩固知识 典型例题 三角函数 x y o + + - - sinα x y o + + - - tanα 0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值 例4 判断下列各三角函数值的符号. 解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角，故sin(−325°)＞0； (2) 巩固知识 典型例题 例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角  是第几象限角． 又因为tan＜0，所以角  可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角  是第四象限角． 解 因为cos＞0, 所以角  可能是第一或第四象限角, 也可能终边在 x 轴的正半轴上. 巩固知识 典型例题 应用知识 强化练习 三角函数 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.计算： 7cos270°+12sin0°+2tan0°−8cos180°； 5cos180°−3sin90°+2tan0°−6sin270°； 应用知识 强化练习 33 归纳小结 自我反思 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 布置作业 继续探究 再见 36 将Rt⊿ABC放在直角坐标系中，使得点A与坐标原点重合， AC边在 轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作： 设 是任意大小的角，点 为角 的终边上 不与原点重合的任意一点，点P到原点的距离为 ，角 的正弦、余弦、正切分别定义为 例1 已知角 的终边经过点 ，求角 的 正弦、余弦、正切值． 首先要根据关系式 ，求出点P到坐标原点的距离 ， 然后根据三角函数定义进行计算． 解 因为 ， ， 所以 ， ， ， ． 已知角 的终边经过点P， 求：角 的正弦、余弦、正切值： ⑴ P（3，−4）； ⑵ P（−1，2）； ⑶ P（ ）． 例3 根据条件 且 ， 确定 是第几象限的角． 1.判断下列角的各三角函数符号 （1）525º；（2）-235 º；（3） ；（4） ． 2．根据条件 且 , 确定 是第几象限的角． $$